Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[ewert]

mishafromusa в сообщении #874788 писал(а):

Я не ссылаюсь, я просто приближаю интеграл интегралами одноузловых функций,

Нет уж извините. Вы или математик -- или абы чего. Ежели Вы математик, то Вы обязаны ссылаться на точно сформулированные утверждения. Уж насколько они доказаны -- вопрос другой; но сформулированы они должны быть точно. Уж извините.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #874756 писал(а):

3). То, что Вы там доказываете -- это вовсе не теорема Ньютона-Лейбница; эта теорема при Вашем подходе верна просто по определению. Доказываете Вы существование первообразных у липшицевых функций. Пустячок, конечно, но нелепость логики немножко раздражает.

Я обе их доказываю одной выкладкой, т.е. я проверяю, что производная расширенного интеграла по верхнему пределу равна значению подинтегральной функции на этом пределе.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #874791 писал(а):

Я обе их доказываю одной выкладкой, т.е. я проверяю, что производная расширенного интеграла по верхнему пределу равна значению подинтегральной функции на этом пределе.

Это ровно и означает, что Вы не понимаете, что в точности доказываете.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #874790 писал(а):

mishafromusa в сообщении #874788 писал(а):

Я не ссылаюсь, я просто приближаю интеграл интегралами одноузловых функций,

Нет уж извините. Вы или математик -- или абы чего. Ежели Вы математик, то Вы обязаны ссылаться на точно сформулированные утверждения. Уж насколько они доказаны -- вопрос другой; но сформулированы они должны быть точно. Уж извините.

Ну в этом конкретном случае это не особенно важно, и у нас уже была похожая дискуссия, когда мы обсуждали длину дуги, можно поговорить о полноте, а можно и не говорить, судя по аудитории. На то, математик я или нет, я особенно не напираю.

-- 12.06.2014, 17:39 --

ewert в сообщении #874792 писал(а):

mishafromusa в сообщении #874791 писал(а):

Я обе их доказываю одной выкладкой, т.е. я проверяю, что производная расширенного интеграла по верхнему пределу равна значению подинтегральной функции на этом пределе.

Это ровно и означает, что Вы не понимаете, что в точности доказываете.

Я замечательно понимаю что я доказываю, и не вижу проблемы, может поясните?

[ewert]

mishafromusa в сообщении #874794 писал(а):

На то, математик я или нет, я особенно не напираю.

Да ради бога. Но Вы ж напираете на то, что Ваш курс -- математический. А это попросту неверно, в его нонешнем состоянии.

Хотя привести его в хоть сколько-то математическое чувство можно; но это надо ещё попыхтеть.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #874756 писал(а):

4). Вы совершенно напрасно пытаетесь улучшить оценки аж в четыре раза -- это практически абсолютно бессмысленно, не говоря уж о теоретически. И при этом отвлекает внимание. Лучше уберите этот фрагмент вообще нафиг.

Может быть.

-- 12.06.2014, 17:54 --

ewert в сообщении #874756 писал(а):

5). Я не увидел чёткой привязки интеграла к площадям (смутные и туманные полунамёки не в счёт). Между тем это вопрос идейный.

Ну, это видно из картинки аппроксимации интеграла и других примеров. О площади, конечно, можно поговорить и поподробнее, если хочется.

-- 12.06.2014, 18:09 --

ewert в сообщении #874756 писал(а):

а) с самого начала определять определённый интеграл именно через ну пусть даже и ломаные, но никак не через первообразные;

Мне это представляется не особенно важным, для начала можно и через первообразные, и, посмотрев на простые примеры, увидеть, что это как раз и есть площадь подграфика, а в других примерах проверить, что площадь подграфика -- первообразная, т.е. это одно и то же. Про полноту мы уже достаточно поговорили, формулировать ли её явно -- личное дело преподавателя, и к основному содержанию заметок это имеет лишь косвенное отношение. Но всё равно спасибо за советы.

-- 12.06.2014, 18:28 --

ewert в сообщении #874796 писал(а):

Хотя привести его в хоть сколько-то математическое чувство можно; но это надо ещё попыхтеть.

Мне не кажется, что это сложно, т,к, весь важный материал уже есть, а логику пригладить -- это достаточно просто.

-- 12.06.2014, 18:33 --

ewert в сообщении #874796 писал(а):

Но Вы ж напираете на то, что Ваш курс -- математический.

Для школьной математики точно сойдёт, например чтоб Munin мог объяснить школьникам про это, хотя кое-что можно, конечно, и причесать.

[mishafromusa]

mishafromusa в сообщении #874773 писал(а):

Ваш липшицев подход ...мне так и остаётся глубоко отвратительным...

Жалко, надеюсь, что Вы признаёте, что содержание довольно тривиально по сравнению с "настоящим" анализом, хотя и содержит некоторые идеи оттуда. Собственно, в рамках этой методы можно много чего понять, в особенности если добавить другие модули непрерывности или перейти к равномерной непрерывности, что тоже не представляет особого труда, т.к. почти никаких новых трюков не нужно. Собственно говоря, книжка по анализу, основанная на равномерной непрерывности уже есть, вот тут, например: http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitl ... 92306.html У меня есть pdf, или djvu, точно не помню, могу поделиться. Кстати, там вещественные числа строятся из интервальной арифметики, а дифференцируемость определяется как выделение множителя $x-a$ из $f(x)-f(a)$ в кольце непрерывных функций двух переменных.

-- 12.06.2014, 19:05 --

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874797 писал(а):

Для школьной математики точно сойдёт

Если причесать изложение, чтобы было понятно, что доказывается, что принимается на веру, а что предполагается известным, – то для матшкольников может пойти в качестве спецкурса. В матшколах часто бывает следующая проблема: нужно детей чем-то математическим занять. При этом, если рассказывать 1 курс университетской математики, то есть опасность, что в университете ребёнок подумает, что он всё знает, сдаст легко первую пару сессий в перерывах между уходами в запой, а ко 2-3 курсу обнаружит, что он уже ничего не понимает, а учиться разучился.

Поэтому в матшколах есть смысл рассказывать что-то в стороне от мейнстрима. Меня, например, в школе научили очень многому, но что такое определитель матрицы, я узнал только на 1 курсе, вместе со всеми. Думаю, что это было сделано специально.

В некоторых школах всё свободное время натаскивают на олимпиады, но это в целом не очень круто и важно эту деятельность вовремя закончить.

Можно, например, какой-то подобный курс анализа, если не хочется покрывать университетский курс.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874752 писал(а):

Даже теорема о промежуточном значении здесь очень к месту, это один из неформально очевидных и важных фактов.

Кстати, для монотонных функций теорему о среднем значении можно взять за определение непрерывности, а потом сказать, что функция непрерывна в точке $a$, если $|f(x)-f(a)| \le m(|x-a|)$, где $m$ -- возрастающая монотонная, и $m(0)=0$. У меня есть бумажная книжка "Infinite Series Approach to Calculus," где так и сделано.

-- 12.06.2014, 20:08 --

g______d в сообщении #874807 писал(а):

Если причесать изложение, чтобы было понятно, что доказывается, что принимается на веру, а что предполагается известным, – то для матшкольников может пойти в качестве спецкурса.

Да, а в качестве одного из упражнений предложить взять задачник по Calculus, или ещё какой-нибудь, и решить все задачи.

-- 12.06.2014, 20:48 --

Munin в сообщении #874776 писал(а):

Вот проблема в том, что:
- "я не вижу способа изложить производную, не воткнув перед ней непрерывность";
- "я не вижу способа изложить непрерывность, не воткнув перед ней предел" -
эти утверждения оба спорные, и не такие уж абсолютные, но приняв их оба, мы получаем то, что имеем: стандартный курс со стандартной проблемой: производные даются намного позже, чем нужны.

У меня есть 2 с хвостиком странички про непрерывность, но я потом решил эту тему не трогать. Посмотрите, может понравится: http://mathfoolery.com/broch.pdf

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874809 писал(а):

Да, а в качестве одного из упражнений предложить взять задачник по Calculus, или ещё какой-нибудь, и решить все задачи.

Можно дать, а можно не давать. Матшкольникам эти задачи все равно будут не очень интересны, примерно как вступительная математика.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874807 писал(а):

При этом, если рассказывать 1 курс университетской математики, то есть опасность, что в университете ребёнок подумает, что он всё знает, сдаст легко первую пару сессий в перерывах между уходами в запой, а ко 2-3 курсу обнаружит, что он уже ничего не понимает, а учиться разучился.

А что, на второй курс сразу не берут? Это неправильно. Некоторые матшкольники могли бы всё выучить в школе и пойти прямо в аспирантуру.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874813 писал(а):

А что, на второй курс сразу не берут?

Увы.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874811 писал(а):

Матшкольникам эти задачи все равно будут не очень интересны, примерно как вступительная математика.

Ну почему же? Там попадаются и интересные задачки, правда не так уж часто. И потом, их можно будет более серьёзной физике научить, особенно если они подучат линейную алгебру и многую переменную, которую тоже можно объяснить на липшицевом уровне.
Одну комплексную переменную переменную или классическую дифференциальную геометрию они тоже смогут понять. Вообше если начать серьёзно учить школьников, то все учебные программы рухнут.

-- 12.06.2014, 23:48 --

g______d в сообщении #874814 писал(а):

Увы.

А почему? Всё решают бюрократы? Надо революцию организовать. Или слишком умных школьников можно послать попрограммировать вместо первого курса.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874815 писал(а):

А почему?

Скорее всего, потому что экзаменов за первый курс матмеха, мехмата или физфака он не сдаст.

mishafromusa в сообщении #874815 писал(а):

Одну комплексную переменную переменную или классическую дифференциальную геометрию они тоже смогут понять.

У нас, очевидно, разные представления о слове "понять".

mishafromusa в сообщении #874815 писал(а):

Вообше если начать серьёзно учить школьников, то все учебные программы рухнут.

Я был школьником, которого, как мне кажется, достаточно серьезно учили. На некоторые лекции в университете я не ходил, но на многие ходил. Более того, в университете было много курсов, которые я считал очень сложными. Так что ничего не рухнет.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #874776 писал(а):

Нет, там просто звуковые.

Может, мы по-разному термин используем? Ударная волна в физике - это разрывная функция, движущаяся быстрее звука (физически это происходит за счёт содержащейся в ней энергии, частицы вещества летят вперёд быстрее обычной средней скорости). Просто разрывная функция называется просто волной, а не ударной.

то, что не звуковая это точно, задача про поршень это Седов МСС том 1, в конце там где-то