Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874424 писал(а):

mishafromusa в сообщении #874421
писал(а):
модуль непрерывности при интегрировании становится половиной модуля дифференцируемости, и наоборт, модуль непрерывности производной в 2 раза больше модуля дифференцируемости функции, которую дифференцируют.

Вот этого я совсем не понимаю. Любую функцию из Вашего класса, что ли, можно бесконечно много раз дифференцировать?

Да нет, когда функцию интегрируют, то получается функция с модулем дифференцируемости , который равен половине модуля непрерывности подинтегральной функции, итд.

-- 11.06.2014, 22:15 --

g______d в сообщении #874424 писал(а):

У меня все-таки в голове не укладывается, чем Вам так не угодила обычная непрерывность.

Это довольно тонкое математическое понятие, и начинать с него плохо. То же самое с пределами, студенты вовсе не тупые, но зачем им создавать искусственные препятствия к пониманию? Про пределы и непрерывность можно рассказать, когда они становятся нужны, а не задолго до того, ну и конечно для общего развития тоже. Никто же не объясняет детям что такое коммутативное кольцо до того, как они научилиссь считать.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874425 писал(а):

Это довольно тонкое математическое понятие, и начинать с него плохо.

Так никто не начинает обучение математике с непрерывности. Даже обучение анализу. С предела — да, начинают.

mishafromusa в сообщении #874425 писал(а):

То же самое с пределами, студенты вовсе не тупые, но зачем им создавать искусственные препятствия к пониманию?

Цель анализа как раз в том, чтобы понять такие вещи, как предел, непрерывность, дифференцируемость. Именно в таком порядке. Даже для не-математиков; по-моему, Вы забываете, что предмет-то по-прежнему является мат. анализом, кому бы его ни читали.

mishafromusa в сообщении #874425 писал(а):

Про пределы и непрерывность можно рассказать, когда они становятся нужны

Ну так пределы как раз сразу и нужны. А непрерывность чуть позже.

mishafromusa в сообщении #874425 писал(а):

Никто же не объясняет детям что такое коммутативное кольцо до того, как они научилиссь считать.

Потому что дети изучают кольцо $\mathbb Z$, и про другие им сразу знать не обязательно. А студенты анализа изучают, вообще говоря, произвольные функции и произвольные последовательности, поэтому им нужны непрерывность и пределы.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874322 писал(а):

Ну я изначально имел в виду не это, но, тем не менее: композиция непрерывных функций непрерывна; обратная к взаимно однозначной (т. е. монотонной) непрерывной функции непрерывна. Тоже будете говорить, что определение монотонной функции слишком абстрактно и надо вводить какую-нибудь гёльдерову монотонность?

При композиции модули непрерывности могут портиться, и это важно понимать при вычислениях, при композиции с липшицевыми функциями они ведут себя просто, например при замене переменной в интеграле, Обращение просто монотонной функции с практической точки зрения невыполнимо, и может приводить к совершенно ужасающим результатам при вычислениях, нужны дополнительные условия. Например, теорема о неявной функции нарушается, если производная обращается в нуль. Вообще общее понятие непрерывности само по себе мало пригодно для вычислительных применеий.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874429 писал(а):

Обращение просто монотонной функции с практической точки зрения невыполнимо

Тем не менее, обратная к монотонной непрерывной функции тоже непрерывна, следовательно, равномерно непрерывна и обладает некоторым модулем непрерывности.

mishafromusa в сообщении #874429 писал(а):

и может приводить к совершенно ужасающим результатам при вычислениях

Назовите свой предмет "основы численного анализа", и возражений будет гораздо меньше. Там как раз важны все эти конкретные оценки, интервальная арифметика и т. д.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874428 писал(а):

Потому что дети изучают кольцо $\mathbb Z$, и про другие им сразу знать не обязательно. А студенты анализа изучают, вообще говоря, произвольные функции и произвольные последовательности, поэтому им нужны непрерывность и пределы.

Но сначала они работают почти исключительно с кусочно-аналитическими функциями, для которых липшицева теория вполне адэкватна, и общность непрерывности просто не нужна.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874431 писал(а):

Но сначала они работают почти исключительно с кусочно-аналитическими функциями, для которых липшицева теория вполне адэкватна, и общность непрерывности просто не нужна.

С конкретными кусочно-аналитическими функциями они работают в школе. А в курсе анализа они работают сразу с произвольными (достаточно хорошими) функциями, а не с конкретными. Конкретные функции нужны для иллюстрации, а не наоборот.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874428 писал(а):

Ну так пределы как раз сразу и нужны.

Для чего?

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874433 писал(а):

Для чего?

Для непрерывности и производной. Непрерывность важна сама по себе.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874432 писал(а):

С конкретными кусочно-аналитическими функциями они работают в школе.

Ну так зачем тогда в школе разговаривать о пределах и непрерывности при объснении производной и интеграла?
И зачем это делать в институте, пока студенты не научились дифференцировать и интегриривать?

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874435 писал(а):

Ну так зачем тогда в школе разговаривать о пределах и непрерывности при объснении производной и интеграла?

Нет, я имел в виду школьную тему "исследование функций", там никаких производных и интегралов нет. Даже непрерывность в этой теме не всегда есть. А вот монотонность и обратные функции — есть.

mishafromusa в сообщении #874435 писал(а):

И зачем это делать в институте, пока студенты не научились дифференцировать и интегриривать?

Вы имеете в виду объяснить, как механически дифференцировать, а потом рассказать, что такое производная? Так никто не делает и это неправильно по всем возможным причинам. В любом случае сначала объясняется физический смысл производной, а потом уже учат ее считать.

[mishafromusa]

Производную можно определить и без пределов, непрерывность можно определить саму по себе. И вообще можно не начинать с определений в терминах неравенств, а сначала научиться дифференцированию и интегрированию на формальном уровне, испольауя правила дифференцирования и интегрирования, а оценками заняться потом.

[nnosipov]

mishafromusa в сообщении #874435 писал(а):

Ну так зачем тогда в школе разговаривать о пределах и непрерывности при объснении производной и интеграла?

Раньше это считалось вполне нормальным явлением. В мое время вся страна училась по учебнику Коломогорова (1982) "Алгебра и начала анализа". Неужели сейчас дела настолько плохи, что даже студенты не в состоянии понять, что написано в этом школьном учебнике про пределы и непрерывность? А ведь написано там очень неплохо.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874437 писал(а):

Производную можно определить и без пределов

Можно, но зачем, если в непрерывности уже фактически используются пределы?

-- Ср, 11 июн 2014 20:21:59 --

nnosipov в сообщении #874438 писал(а):

Раньше это считалось вполне нормальным явлением.

По-моему, они даже сейчас в школьную программу входят.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874436 писал(а):

Вы имеете в виду объяснить, как механически дифференцировать, а потом рассказать, что такое производная?

Не механически, а на примерах, где смысл очевиден, без формальных определений через неравенства. Например, показать как придать смысл разностному отношениюю при нулевом приращении аргумента, и сказать, что обычно ответ только один. Из этого сразу следуют правила дифференцирования. Синус и косинус очевидны просто из картинок, т.е. начать можно без формальных оценок и оффициальных определений.

[nnosipov]

g______d в сообщении #874440 писал(а):

По-моему, они даже сейчас в школьную программу входят.

Входят, конечно, но в обрезанном виде --- пределы функций есть, а пределов последовательностей нет. Но есть и школьные учебники для продвинутых (например учебники Пратусевича), где всё, фактически, по Колмогорову.