2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 ... 67  След.
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 04:44 


12/02/14
808
g______d в сообщении #874424 писал(а):
mishafromusa в сообщении #874421
писал(а):
модуль непрерывности при интегрировании становится половиной модуля дифференцируемости, и наоборт, модуль непрерывности производной в 2 раза больше модуля дифференцируемости функции, которую дифференцируют.

Вот этого я совсем не понимаю. Любую функцию из Вашего класса, что ли, можно бесконечно много раз дифференцировать?
Да нет, когда функцию интегрируют, то получается функция с модулем дифференцируемости , который равен половине модуля непрерывности подинтегральной функции, итд.

-- 11.06.2014, 22:15 --

g______d в сообщении #874424 писал(а):
У меня все-таки в голове не укладывается, чем Вам так не угодила обычная непрерывность.
Это довольно тонкое математическое понятие, и начинать с него плохо. То же самое с пределами, студенты вовсе не тупые, но зачем им создавать искусственные препятствия к пониманию? Про пределы и непрерывность можно рассказать, когда они становятся нужны, а не задолго до того, ну и конечно для общего развития тоже. Никто же не объясняет детям что такое коммутативное кольцо до того, как они научилиссь считать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 05:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
mishafromusa в сообщении #874425 писал(а):
Это довольно тонкое математическое понятие, и начинать с него плохо.


Так никто не начинает обучение математике с непрерывности. Даже обучение анализу. С предела — да, начинают.

mishafromusa в сообщении #874425 писал(а):
То же самое с пределами, студенты вовсе не тупые, но зачем им создавать искусственные препятствия к пониманию?


Цель анализа как раз в том, чтобы понять такие вещи, как предел, непрерывность, дифференцируемость. Именно в таком порядке. Даже для не-математиков; по-моему, Вы забываете, что предмет-то по-прежнему является мат. анализом, кому бы его ни читали.

mishafromusa в сообщении #874425 писал(а):
Про пределы и непрерывность можно рассказать, когда они становятся нужны


Ну так пределы как раз сразу и нужны. А непрерывность чуть позже.

mishafromusa в сообщении #874425 писал(а):
Никто же не объясняет детям что такое коммутативное кольцо до того, как они научилиссь считать.


Потому что дети изучают кольцо $\mathbb Z$, и про другие им сразу знать не обязательно. А студенты анализа изучают, вообще говоря, произвольные функции и произвольные последовательности, поэтому им нужны непрерывность и пределы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 05:44 


12/02/14
808
g______d в сообщении #874322 писал(а):
Ну я изначально имел в виду не это, но, тем не менее: композиция непрерывных функций непрерывна; обратная к взаимно однозначной (т. е. монотонной) непрерывной функции непрерывна. Тоже будете говорить, что определение монотонной функции слишком абстрактно и надо вводить какую-нибудь гёльдерову монотонность?
При композиции модули непрерывности могут портиться, и это важно понимать при вычислениях, при композиции с липшицевыми функциями они ведут себя просто, например при замене переменной в интеграле, Обращение просто монотонной функции с практической точки зрения невыполнимо, и может приводить к совершенно ужасающим результатам при вычислениях, нужны дополнительные условия. Например, теорема о неявной функции нарушается, если производная обращается в нуль. Вообще общее понятие непрерывности само по себе мало пригодно для вычислительных применеий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 05:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
mishafromusa в сообщении #874429 писал(а):
Обращение просто монотонной функции с практической точки зрения невыполнимо


Тем не менее, обратная к монотонной непрерывной функции тоже непрерывна, следовательно, равномерно непрерывна и обладает некоторым модулем непрерывности.

mishafromusa в сообщении #874429 писал(а):
и может приводить к совершенно ужасающим результатам при вычислениях


Назовите свой предмет "основы численного анализа", и возражений будет гораздо меньше. Там как раз важны все эти конкретные оценки, интервальная арифметика и т. д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 05:56 


12/02/14
808
g______d в сообщении #874428 писал(а):
Потому что дети изучают кольцо $\mathbb Z$, и про другие им сразу знать не обязательно. А студенты анализа изучают, вообще говоря, произвольные функции и произвольные последовательности, поэтому им нужны непрерывность и пределы.
Но сначала они работают почти исключительно с кусочно-аналитическими функциями, для которых липшицева теория вполне адэкватна, и общность непрерывности просто не нужна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 05:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
mishafromusa в сообщении #874431 писал(а):
Но сначала они работают почти исключительно с кусочно-аналитическими функциями, для которых липшицева теория вполне адэкватна, и общность непрерывности просто не нужна.


С конкретными кусочно-аналитическими функциями они работают в школе. А в курсе анализа они работают сразу с произвольными (достаточно хорошими) функциями, а не с конкретными. Конкретные функции нужны для иллюстрации, а не наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 06:00 


12/02/14
808
g______d в сообщении #874428 писал(а):
Ну так пределы как раз сразу и нужны.
Для чего?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 06:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
mishafromusa в сообщении #874433 писал(а):
Для чего?


Для непрерывности и производной. Непрерывность важна сама по себе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 06:06 


12/02/14
808
g______d в сообщении #874432 писал(а):
С конкретными кусочно-аналитическими функциями они работают в школе.

Ну так зачем тогда в школе разговаривать о пределах и непрерывности при объснении производной и интеграла?
И зачем это делать в институте, пока студенты не научились дифференцировать и интегриривать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 06:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
mishafromusa в сообщении #874435 писал(а):
Ну так зачем тогда в школе разговаривать о пределах и непрерывности при объснении производной и интеграла?


Нет, я имел в виду школьную тему "исследование функций", там никаких производных и интегралов нет. Даже непрерывность в этой теме не всегда есть. А вот монотонность и обратные функции — есть.

mishafromusa в сообщении #874435 писал(а):
И зачем это делать в институте, пока студенты не научились дифференцировать и интегриривать?


Вы имеете в виду объяснить, как механически дифференцировать, а потом рассказать, что такое производная? Так никто не делает и это неправильно по всем возможным причинам. В любом случае сначала объясняется физический смысл производной, а потом уже учат ее считать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 06:14 


12/02/14
808
Производную можно определить и без пределов, непрерывность можно определить саму по себе. И вообще можно не начинать с определений в терминах неравенств, а сначала научиться дифференцированию и интегрированию на формальном уровне, испольауя правила дифференцирования и интегрирования, а оценками заняться потом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 06:16 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
mishafromusa в сообщении #874435 писал(а):
Ну так зачем тогда в школе разговаривать о пределах и непрерывности при объснении производной и интеграла?
Раньше это считалось вполне нормальным явлением. В мое время вся страна училась по учебнику Коломогорова (1982) "Алгебра и начала анализа". Неужели сейчас дела настолько плохи, что даже студенты не в состоянии понять, что написано в этом школьном учебнике про пределы и непрерывность? А ведь написано там очень неплохо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 06:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
mishafromusa в сообщении #874437 писал(а):
Производную можно определить и без пределов


Можно, но зачем, если в непрерывности уже фактически используются пределы?

-- Ср, 11 июн 2014 20:21:59 --

nnosipov в сообщении #874438 писал(а):
Раньше это считалось вполне нормальным явлением.


По-моему, они даже сейчас в школьную программу входят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 06:25 


12/02/14
808
g______d в сообщении #874436 писал(а):
Вы имеете в виду объяснить, как механически дифференцировать, а потом рассказать, что такое производная?

Не механически, а на примерах, где смысл очевиден, без формальных определений через неравенства. Например, показать как придать смысл разностному отношениюю при нулевом приращении аргумента, и сказать, что обычно ответ только один. Из этого сразу следуют правила дифференцирования. Синус и косинус очевидны просто из картинок, т.е. начать можно без формальных оценок и оффициальных определений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 06:26 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
g______d в сообщении #874440 писал(а):
По-моему, они даже сейчас в школьную программу входят.
Входят, конечно, но в обрезанном виде --- пределы функций есть, а пределов последовательностей нет. Но есть и школьные учебники для продвинутых (например учебники Пратусевича), где всё, фактически, по Колмогорову.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 991 ]  На страницу Пред.  1 ... 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 ... 67  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group