fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 ... 67  След.
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 19:34 


10/02/11
6786

(Оффтоп)



-- Вт июн 10, 2014 19:44:22 --

Munin в сообщении #874082 писал(а):
Можете привести физический пример функции, в которой производная не определена нигде, кроме множества меры нуль?

а причем тут мера? Возьмите любую кусочно дифференцируемую функцию и посадите меру на множество, на котором она не дифференцируема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 19:53 


12/02/14
808
Oleg Zubelevich в сообщении #874076 писал(а):
Проблема в том, что для человека, который изучал анализ вот так , путь в общую нелипшицеву (и негельдерову) науку закрыт.
Ну я же не предлагаю совсем не учить общую непрерывность, я прелагаю просто начать с конкретных модулей непрерывности, а потом хоть целый год заниматься непрерывностью. Посмотрите на мой разговор с g______d, я просто не могу себе представить, чтоб человек, разобравшийся с конкретными модулями непрерывности, не смог бы освоить эпсилоны и дельты, ведь это очень похоже. И потом правда, что следить за модулями непрерывности часто утомительно, да и ни к чему, и это дополнительная причина выучить общую непрерывность тоже. И потом модули непрерывности полезны для УЧП, нет?

-- 10.06.2014, 13:03 --

Oleg Zubelevich в сообщении #874086 писал(а):
Вы, не обращайте внимания. Помните у Гашека в "Швейке":

По крайней мере, у Вас есть чувство юмора :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 20:07 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #874082 писал(а):
Да вот в том-то и дело, что и вы, и каждый физик всё это помнит и знает, и ощущает интуитивно, и полагает как само собой разумеющееся (только иногда удивляющее, при рефлексии). А вот ewert этого не просто не понимает - он в это не верит, и даже твердит, что этого не существует - не просто в природе, но даже в головах физиков!

Это просто бред какой-то. Все физики под пределами подразумевают ровно пределы -- не более и не менее. И Вы отнюдь не исключение. Только Вы тщательно стесняетесь в этом признаться; а вот зачем стесняетесь -- это уже вопрос не ко мне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 20:10 


12/02/14
808
ewert в сообщении #874077 писал(а):
Меня не интересует, о чём Вы там с OZ и где-то там договорились. "Здесь Родос -- здесь и прыгай". Пока же Вы прыгнули крайне неудачно (ну т.е. Ваша аргументация в предпоследнем посте просто тривиально неверна).
А Зубелевич сказал мне, что он понял, спросите у него :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 20:13 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 20:21 


12/02/14
808
ewert, ну это же обычные итерации Пикара, которые есть в любом ОДУ учебнике, мне лень разжёвывать. А что не понятно-то конкретно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 20:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Munin в сообщении #874006 писал(а):
Простите, а вы знаете, что в физическом смысле показывает спидометр? Именно $\Delta s/\Delta t.$


Да, разумеется. Но измеряет-то он производную, просто с погрешностью.

Munin в сообщении #874006 писал(а):
Хорошо. Вопрос: как дать понятие производной, используя понятие непрерывности, но не используя понятие предела?


Производная – это следующий шаг. Я не говорил, что не буду использовать предел. Но я считаю определение с пределом проще, чем с равномерно липшицевой оценкой. Потому что в физике уже есть понятие "мгновенная скорость в точке", а понятия "мгновенная скорость сразу во всех точках, удовлетворяющая липшицевой оценке" нет.

То, что мгновенная скорость в физике – это средняя скорость на достаточно малом интервале, а не на бесконечно малом, – это другой вопрос, к конструкциям mishafromusa не имеющий отношения. Просто с бесконечными величинами проще работать, чем с конечными. С пределами проще работать, чем следить за явными оценками. Это абстракция, упрощающая дело.

Munin в сообщении #874012 писал(а):
Ну вот не надо подменять понятия.

Любой ребёнок отличит график непрерывной функции от графика функции, непрерывной всюду кроме разрыва 1 или 2 рода.


Не понял, в чём подмена понятий. Понятие непрерывности абсолютно интуитивно и приходит в голову значительно раньше, чем человек узнает о пределах.

Munin в сообщении #874012 писал(а):
Всё-таки, это уровень начальных классов для "довольно хороших" примеров. А изучение "патологий" и контрпримеров - уже сложно.

Да, класс "довольно хороших" примеров шире элементарных функций. Но он и у́же того, за что вы ратуете. Формализовать его - задача непростая и неоднозначная. Модуль может как попасть в него, так и не попасть.


Важен тот факт, что можно нарисовать мелом на доске любую кривую (ну, допустим, однозначно проецирующуюся на $x$), и она будет графиком функции. Или наставить любых точек. Я против того, чтобы считать, что, кроме элементарных, других функций нет или что любая функция задается формулой. Этот момент был очень важным в истории и привёл к современному анализу.

Разумеется, функции должны быть "довольно хорошими". И важным моментом также было понимание того, что "довольно хорошая" – это аналитическое свойство, а не алгебраическое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 20:28 
Заслуженный участник


02/08/11
7127
ewert в сообщении #874097 писал(а):
Все физики под пределами подразумевают ровно пределы -- не более и не менее.
Не знаю насчёт пределов, которые не пределы, но производных, которые не являются пределом отношения двух бесконечно малых много. Например, отношением каких пределов может быть производная количества уровней с энергией, меньшей данной, по энергии $dN/dE$ (а также обратная величина $dE/dN$), если $N$ - целое, а $E$ принимает дискретный ряд значений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Munin в сообщении #874082 писал(а):
Можете привести физический пример функции, в которой производная не определена нигде, кроме множества меры нуль?


Я подозреваю, что траектория броуновского движения будет с вероятностью 1 обладать таким свойством.

-- Вт, 10 июн 2014 10:33:27 --

warlock66613 в сообщении #874114 писал(а):
Например, отношением каких пределов может быть производная количества уровней с энергией, меньшей данной, по энергии $dN/dE$, если $N$ - целое, а $E$ принимает дискретный ряд значений?


Это обобщённая производная от ступенчатой функции. Получится сумма $\delta$-функций.

Цитата:
а $E$ принимает дискретный ряд значений?


Это вольность речи. Аргумент $E$ пробегает вещественные числа, просто функция $N(E)$ кусочно постоянная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 20:35 


12/02/14
808
Oleg Zubelevich в сообщении #874076 писал(а):
А нелипшицевой науки хватает, в том числе в приложениях.
Негёльдеровой, правда, поменьше, но тоже попадается :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 20:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Oleg Zubelevich в сообщении #874086 писал(а):
а причем тут мера?

Чёрт, меня подвело желание высказаться по-учёному. Хорошо, физический пример функции от действительной переменной, не дифференцируемой нигде, кроме одной точки.

За цитату из "Швейка" - респект! :-)

Надо "Швейка" перечитать, в свете нонешних российских реалий...

ewert в сообщении #874097 писал(а):
Это просто бред какой-то. Все физики под пределами подразумевают ровно пределы

Угу. Это-то бесспорно. А вот вы, почему-то, заявляете, что они и под другими вещами подразумевают пределы.

Кто тут шизофреники: вы, или все физики вместе взятые?

ewert в сообщении #874097 писал(а):
И Вы отнюдь не исключение. Только Вы тщательно стесняетесь в этом признаться

Я не стесняюсь признаться, что под пределом подразумеваю предел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 20:38 
Заслуженный участник


02/08/11
7127
g______d в сообщении #874115 писал(а):
Получится сумма $\delta$-функций
Ну у вас возможно и получится :-) , но у физиков как-то получается гладкая кривая. (Здесь можно вспомнить сравнительно недавнюю тему про плотность и её строгое определение.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 20:42 


12/02/14
808
g______d в сообщении #874111 писал(а):
То, что мгновенная скорость в физике – это средняя скорость на достаточно малом интервале, а не на бесконечно малом, – это другой вопрос, к конструкциям mishafromusa не имеющий отношения.
Вот именно имеющий, неравномерные производные в физике попадаются редко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 20:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
g______d в сообщении #874111 писал(а):
Да, разумеется. Но измеряет-то он производную, просто с погрешностью.

Вот именно, что с погрешностью. И эта погрешность приводит к вопросу, а где есть эта производная? В природе, или только у нас в голове? И ответ: только у нас в голове. Потому что в природе её точно нет, это физики выяснили, опустившись на уровень квантовой механики. (Надеюсь, вам достаточно этих отсылок, и вы не будете устраивать безобразную комедию а-ля ewert. По крайней мере, если недостаточно, то можно спокойно спросить, и я разверну.)

g______d в сообщении #874111 писал(а):
Производная – это следующий шаг. Я не говорил, что не буду использовать предел.

Как сделать производную из предела - это-то понятно. Вопрос в другом: как наоборот?

g______d в сообщении #874111 писал(а):
Но я считаю определение с пределом проще, чем с равномерно липшицевой оценкой. Потому что в физике уже есть понятие "мгновенная скорость в точке", а понятия "мгновенная скорость сразу во всех точках, удовлетворяющая липшицевой оценке" нет.

Тут картина такая: в физике есть понятие "мгновенная скорость в точке" в рамках некоторой математической модели. Физик легко заменит её на другую. Если с ней тоже можно будет работать. И почему бы и не на кусочно-липшицеву?

g______d в сообщении #874115 писал(а):
Я подозреваю, что траектория броуновского движения будет с вероятностью 1 обладать таким свойством.

О, это прекрасно! :-)

Потому что как раз траектории-то у броуновского движения и не существует! Существуют траектории, зарисованные с интервалами, скажем, в 5 секунд, в 2 секунды, в 1 секунду - а траектории самой по себе нет! Её можно воображать только как математическую абстракцию.

И потом, ну допустим, вы назвали траекторией броуновского движения некоторый фрактал. И в какой точке у него будет производная?

-- 10.06.2014 21:49:35 --

mishafromusa в сообщении #874123 писал(а):
g______d в сообщении #874111 писал(а):
То, что мгновенная скорость в физике – это средняя скорость на достаточно малом интервале, а не на бесконечно малом, – это другой вопрос, к конструкциям mishafromusa не имеющий отношения.
Вот именно имеющий, неравномерные производные в физике попадаются редко.

+1

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение10.06.2014, 20:59 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
warlock66613 в сообщении #874114 писал(а):
Например, отношением каких пределов может быть производная количества уровней с энергией, меньшей данной, по энергии $dN/dE$ (а также обратная величина $dE/dN$), если $N$ - целое, а $E$ принимает дискретный ряд значений?

А это называется просто вульгаризованным пределом. Физикам простительно. Они прекрасно понимают, что дискретность уровней в данном случае -- не более чем идеализация, просто не считают нужным произносить это.

mishafromusa в сообщении #874105 писал(а):
ewert, ну это же обычные итерации Пикара, которые есть в любом ОДУ учебнике, мне лень разжёвывать. А что не понятно-то конкретно?

Это у Пикара -- итерации. У Вас же -- ничто, т.к. Вы не удосужились привести точных формулировок. А те, что были приведены -- просто формально неверны.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 991 ]  На страницу Пред.  1 ... 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 ... 67  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: gris


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group