===========ММ192=============== ММ192 (5 баллов)
Рассматриваются целочисленные треугольники со сторонами, не превосходящими данного натурального числа n.
Каких треугольников больше: остроугольных или тупоугольных?
РешениеПриведу решения Олега Полубасова, Дмитрия Пашуткина, Ариадны и Антона Никонова,.
Вложение:
Комментарий к файлу: Решение Олега Полубасова
MM192_Полубасов.pdf [380.72 Кб]
Скачиваний: 355
Вложение:
Комментарий к файлу: Решение Дмитрия Пашуткина
MM192_Pashutkin.pdf [133.69 Кб]
Скачиваний: 386
Вложение:
Комментарий к файлу: Решение Ариадны
MM192_Ariadna.doc [1.49 Мб]
Скачиваний: 367
(Решение Антона Никонова)
MM192
Если
![$n>38$ $n>38$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/d/ffd8cdd63ff4a68ea1280f44e870360d82.png)
, тогда тупо: угольных
![Smile :-)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Зависимость разности(
![$raz$ $raz$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/3/7b3853b9e3347d41127c2441ad7cd1d282.png)
) между количеством тупоугольных и остроугольных от
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
можно вычислить по формуле:
![$$raz(n) = \sum_{c=1}^n \left( k(k + \frac{1+(-1)^c}2) - c + \sum_{s=\lfloor-\frac32c\rfloor + 5k + 4 + (-1) ^ c}^{c-5} \lfloor y - c\rfloor + \frac{(-1) ^ {\lfloor y \rfloor}-1}2-\lfloor 1 - y + \lfloor y \rfloor\rfloor\right)$$ $$raz(n) = \sum_{c=1}^n \left( k(k + \frac{1+(-1)^c}2) - c + \sum_{s=\lfloor-\frac32c\rfloor + 5k + 4 + (-1) ^ c}^{c-5} \lfloor y - c\rfloor + \frac{(-1) ^ {\lfloor y \rfloor}-1}2-\lfloor 1 - y + \lfloor y \rfloor\rfloor\right)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/a/f2ab3b0adfc4a528ae3689b796a84e3282.png)
, где
![$$k =\lfloor\frac{2c(\sqrt{2} - 1) + 1-(-1)^c}4\rfloor $$ $$k =\lfloor\frac{2c(\sqrt{2} - 1) + 1-(-1)^c}4\rfloor $$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e54047e058cdbc441c8ea08ac25694482.png)
![$$y = \frac{2\sqrt{9c^2 - 8sc - s^2}}5$$ $$y = \frac{2\sqrt{9c^2 - 8sc - s^2}}5$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/0/47076fea5c2acf07b00014d7d056196682.png)
Шаг увеличения
![$s$ $s$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/9/6f9bad7347b91ceebebd3ad7e6f6f2d182.png)
равен
![$5$ $5$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/1/9612eecfec9dadf1a81d296bd247377782.png)
.
А вот и табличка для первых 50-ти членов последовательности:
![\begin{array}{rr}
n & raz(n)\\
\\
1 & -1\\
2 & -3\\
3 & -5\\
4 & -9\\
5 & -13\\
6 & -17\\
7 & -23\\
8 & -29\\
9 & -34\\
10 & -39\\
11 & -45\\
12 & -53\\
13 & -59\\
14 & -65\\
15 & -70\\
16 & -76\\
17 & -82\\
18 & -88\\
19 & -92\\
20 & -95\\
21 & -100\\
22 & -102\\
23 & -104\\
24 & -108\\
25 & -109\\
\end{array} \begin{array}{rr}
n & raz(n)\\
\\
1 & -1\\
2 & -3\\
3 & -5\\
4 & -9\\
5 & -13\\
6 & -17\\
7 & -23\\
8 & -29\\
9 & -34\\
10 & -39\\
11 & -45\\
12 & -53\\
13 & -59\\
14 & -65\\
15 & -70\\
16 & -76\\
17 & -82\\
18 & -88\\
19 & -92\\
20 & -95\\
21 & -100\\
22 & -102\\
23 & -104\\
24 & -108\\
25 & -109\\
\end{array}](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/0/700483288301687a993c702e9fc32ffa82.png)
![\begin{array}{rr}
26 & -108\\
27 & -104\\
28 & -102\\
29 & -100\\
30 & -95\\
31 & -91\\
32 & -83\\
33 & -74\\
34 & -63\\
35 & -48\\
36 & -36\\
37 & -20\\
38 & -6\\
39 & 15\\
40 & 38\\
41 & 58\\
42 & 82\\
43 & 108\\
44 & 140\\
45 & 174\\
46 & 206\\
47 & 242\\
48 & 278\\
49 & 319\\
50 & 363\\
\end{array} \begin{array}{rr}
26 & -108\\
27 & -104\\
28 & -102\\
29 & -100\\
30 & -95\\
31 & -91\\
32 & -83\\
33 & -74\\
34 & -63\\
35 & -48\\
36 & -36\\
37 & -20\\
38 & -6\\
39 & 15\\
40 & 38\\
41 & 58\\
42 & 82\\
43 & 108\\
44 & 140\\
45 & 174\\
46 & 206\\
47 & 242\\
48 & 278\\
49 & 319\\
50 & 363\\
\end{array}](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/8/138e745c300758bc95bb923bb923529082.png)
Из формулы следует, что перевес тупоугольных будет неуклонно возрастать при дальнейшем увеличении
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
.
ОбсуждениеВ данной задаче меня привлекло то, что перевес тупоугольных наступает при достаточно большом
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
. И это притом, что в пределе этот перевес довольно значителен (в пределе примерно
![$1.33:1$ $1.33:1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/6/3a63f6c0853d0d3e5ddd95a0bd98446082.png)
).
Задача ММ192 оказалась труднее предыдущей. Это выразилось в меньшем числе ответов при одновременном увеличении числа ошибок.
Часть ошибок связана неверным определением
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
, при котором тупоугольных треугольников становится больше. Это связано с "погореловской" трактовкой треугольников, когда тройки
![$(2,3,4,)$ $(2,3,4,)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/0/870a656dbe0631ef1af0693b79e0ea0182.png)
и
![$(3,2,4)$ $(3,2,4)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/f/98f9b59d5fa40d56451f523939d5032482.png)
определяют разные треугольники. Сторонники этой версии даже нашли ей подтверждение в виде последовательности
A006003. При этом их не смутило ни то, что среди многочисленных интерпретаций этой последовательности не упоминаются целочисленные треугольники, ни то, что в обсуждении прошлой задачи явно указана совсем другая последовательность (
A002623), отвечающая за за количество целочисленных треугольников.
Кстати, об OEIS. К моему удивлению, там не обнаружилось последовательностей, отвечающих за количества целочисленных остроугольных и тупоугольных треугольников. Ни с фиксированной большей стороной, ни с большей стороной, не превышающей данного числа. (Даже последовательность
A224921, отвечающая за число пифагоровых троек с гипотенузой, не превышающей
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
, появилась лишь в прошлом году!) Постараюсь в ближайшее время восполнить этот пробел. Надеюсь, что Антон Никонов дополнит соответствующие статьи явными формулами.
Почему именно Антон? Потому что только он нашел соответствующие явные формулы. Безусловно этот подвиг (см. формулы в решении Антона) заслуживает отдельных призовых баллов. Я их и добавил. Но при этом вычел такое же число баллов за традиционное нежелание приводить пояснения и обоснования.
Особняком стоит решение Константина Хадаева. Применив тот же подход, что большинство остальных участников, Константин перепутал области, отвечающие за остроугольные и тупоугольные треугольники. Я бы не стал столь жестко снижать баллы за такую ошибку, если не два обстоятельства:
1. На мой взгляд, слишком самонадеянно не проверить свое решение хотя бы на простейших частных случаях. В данном случае достаточно было взять
![$n=1$ $n=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/2/3d2be9e2108301e9097fa4bc5104664182.png)
, чтобы понять, что в решении что-то не так, если единственный для этого случая равносторонний треугольник превратился в тупоугольный.
2. Как я это обычно делаю в ситуации, когда решение прислано загодя и ошибка имеет характер "с точностью до наоборот", я намекал Константину на его ошибку. Но безрезультатно.
Вслед за Константином Хадаевым (но с другим результатом) я подсчитал "средний больший угол" в треугольнике (или больший угол в "среднем" треугольнике). У меня получилось примерно
![$94^014'$ $94^014'$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/a/c5ab4a89292674b05b047b74be0f2eec82.png)
.
НаградыЗа правильное решение задачи ММ192 Олег Полубасов, Антон Никонов, Виктор Филимоненков, Ариадна и Анатолий Казмерчук получают по 5 призовых баллов. Сергей Половинкин и Дмитрий Пашуткин получают по 4 призовых балла. Константин Хадаев - 2 призовых балла.
Эстетическая оценка задачи - 4.9 балла