===========ММ192=============== ММ192 (5 баллов)
Рассматриваются целочисленные треугольники со сторонами, не превосходящими данного натурального числа n.
Каких треугольников больше: остроугольных или тупоугольных?
РешениеПриведу решения Олега Полубасова, Дмитрия Пашуткина, Ариадны и Антона Никонова,.
Вложение:
Комментарий к файлу: Решение Олега Полубасова
MM192_Полубасов.pdf [380.72 Кб]
Скачиваний: 540
Вложение:
Комментарий к файлу: Решение Дмитрия Пашуткина
MM192_Pashutkin.pdf [133.69 Кб]
Скачиваний: 572
Вложение:
Комментарий к файлу: Решение Ариадны
MM192_Ariadna.doc [1.49 Мб]
Скачиваний: 552
(Решение Антона Никонова)
MM192
Если
, тогда тупо: угольных
Зависимость разности(
) между количеством тупоугольных и остроугольных от
можно вычислить по формуле:
, где
Шаг увеличения
равен
.
А вот и табличка для первых 50-ти членов последовательности:
Из формулы следует, что перевес тупоугольных будет неуклонно возрастать при дальнейшем увеличении
.
ОбсуждениеВ данной задаче меня привлекло то, что перевес тупоугольных наступает при достаточно большом
. И это притом, что в пределе этот перевес довольно значителен (в пределе примерно
).
Задача ММ192 оказалась труднее предыдущей. Это выразилось в меньшем числе ответов при одновременном увеличении числа ошибок.
Часть ошибок связана неверным определением
, при котором тупоугольных треугольников становится больше. Это связано с "погореловской" трактовкой треугольников, когда тройки
и
определяют разные треугольники. Сторонники этой версии даже нашли ей подтверждение в виде последовательности
A006003. При этом их не смутило ни то, что среди многочисленных интерпретаций этой последовательности не упоминаются целочисленные треугольники, ни то, что в обсуждении прошлой задачи явно указана совсем другая последовательность (
A002623), отвечающая за за количество целочисленных треугольников.
Кстати, об OEIS. К моему удивлению, там не обнаружилось последовательностей, отвечающих за количества целочисленных остроугольных и тупоугольных треугольников. Ни с фиксированной большей стороной, ни с большей стороной, не превышающей данного числа. (Даже последовательность
A224921, отвечающая за число пифагоровых троек с гипотенузой, не превышающей
, появилась лишь в прошлом году!) Постараюсь в ближайшее время восполнить этот пробел. Надеюсь, что Антон Никонов дополнит соответствующие статьи явными формулами.
Почему именно Антон? Потому что только он нашел соответствующие явные формулы. Безусловно этот подвиг (см. формулы в решении Антона) заслуживает отдельных призовых баллов. Я их и добавил. Но при этом вычел такое же число баллов за традиционное нежелание приводить пояснения и обоснования.
Особняком стоит решение Константина Хадаева. Применив тот же подход, что большинство остальных участников, Константин перепутал области, отвечающие за остроугольные и тупоугольные треугольники. Я бы не стал столь жестко снижать баллы за такую ошибку, если не два обстоятельства:
1. На мой взгляд, слишком самонадеянно не проверить свое решение хотя бы на простейших частных случаях. В данном случае достаточно было взять
, чтобы понять, что в решении что-то не так, если единственный для этого случая равносторонний треугольник превратился в тупоугольный.
2. Как я это обычно делаю в ситуации, когда решение прислано загодя и ошибка имеет характер "с точностью до наоборот", я намекал Константину на его ошибку. Но безрезультатно.
Вслед за Константином Хадаевым (но с другим результатом) я подсчитал "средний больший угол" в треугольнике (или больший угол в "среднем" треугольнике). У меня получилось примерно
.
НаградыЗа правильное решение задачи ММ192 Олег Полубасов, Антон Никонов, Виктор Филимоненков, Ариадна и Анатолий Казмерчук получают по 5 призовых баллов. Сергей Половинкин и Дмитрий Пашуткин получают по 4 призовых балла. Константин Хадаев - 2 призовых балла.
Эстетическая оценка задачи - 4.9 балла