Обсуждение и разбор марафонских задач

[Masik]

VAL в сообщении #797627 писал(а):

Не подтвердилась и вторая моя гипотеза. Я полагал, что задача получит низкую оценку из-за "муторности" решения. Однако, задача участникам Марафона, в целом, понравилась.

Не скажу за всех участников, но лично я никакой "муторности" решения в этой задаче не вижу (в отличие от ММ186, где требовались утомительные арифметические вычисления). Небольшая ручная группировка вариантов требуется, не случайно же решение Виктора Филимоненкова и дополнение к моему решению заканчиваются одной и той же фразой: "Если я нигде не ошибся".

Пользуясь случаем, приведу небольшое уточнение условия задачи ММ190 (ведущий посчитал это уточнение само собой разумеющимся, но мне оно представляется важным): "Если расстояние от всех вершин тетраэдра до прямой E равно e, а расстояние от всех вершин тетраэдра до прямой F равно f \neq e, то прямые E и F считаются равноудалёнными от всех вершин тетраэдра". Также, я полагаю тетраэдр не вырожденным. Если ошибаюсь, прошу ведущего поправить.

[VAL]

Masik в сообщении #797636 писал(а):

Не скажу за всех участников, но лично я никакой "муторности" решения в этой задаче не вижу (в отличие от ММ186, где требовались утомительные арифметические вычисления).

За эту промашку я уже покаялся.
При попадании кораблей на одну прямую с маяком в 12:45 вычисления проще, плюс "изюминка", о которой я тут уже писал.

Цитата:

Небольшая ручная группировка вариантов требуется, не случайно же решение Виктора Филимоненкова и дополнение к моему решению заканчиваются одной и той же фразой: "Если я нигде не ошибся".

Отличная фраза. Надо взять на вооружение

Цитата:

Пользуясь случаем, приведу небольшое уточнение условия задачи ММ190 (ведущий посчитал это уточнение само собой разумеющимся, но мне оно представляется важным): "Если расстояние от всех вершин тетраэдра до прямой E равно e, а расстояние от всех вершин тетраэдра до прямой F равно f \neq e, то прямые E и F считаются равноудалёнными от всех вершин тетраэдра".

Раз уж этот момент перекочевал сюда, займусь самоцитированием и я

Цитата:

Возьмем, известный школьный пример: геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от концов данного отрезка, есть серединный перпендикуляр к данному отрезку.
Означает ли это, что все точки перпендикуляра удалены от концов отрезка на одно и то же расстояние? Нет.
Возникает ли неоднозначность понимания формулировки? Тоже нет?
Есть ли принципиальные отличия этого случая, от того, что использован в формулировке ММ190? Полагаю, тоже нет.

Цитата:

Также, я полагаю тетраэдр не вырожденным.

Разумеется. Четырехугольник, мы обзывать тетраэдром не будем. Отрезок и точку - тем паче

[Masik]

Я вот не понимаю, почему такая разница в количестве скачиваний:
Решение Олега Полубасова: 16,
Решение Дмитрия Филимоненкова: 7,
Дополнение к решению Олега Полубасова: 3?
Ладно, я своё решение не скачивал, а Дмитрий не скачивал своё, но это плюс-минус 1.
Пытаюсь восстановить ход мыслей скачивающего: "Так, диалап нынче дорог, а у первого пункта фамилия короче, поэтому скачаю только его. Ничего не понял, так что остальное даже смотреть не буду".
У каждого из нас есть свои любимые методы решения задач, например, рассматривая ММ178 с первых семи сторон, я привычно использовал теоретико-графовый подход, в следующих четырёх перешёл на комбинаторный, а потом и линейная алгебра пригодилась, но по-другому, чем у Дмитрия. Или вспомним решение nnosipov задачи ММ157. Одним способом решается долго и нудно, а другим - легко и прозрачно. Кто эти люди, которые читают условие задачи, но не интересуются решениями других? Мне страшно. Бабушка!!!

Вот, например, если в ММ176 систему координат связать с одним из судов, то решение сводится к нахождению расстояния от точки до прямой. Можно сначала найти момент достижения минимкма (через косинус угла), затем найти точку, а лишь потом - расстояние, а можно сразу вычислить расстояние через синус угла, не рассчитывая момент времени.

[VAL]

Masik в сообщении #797816 писал(а):

Я вот не понимаю, почему такая разница в количестве скачиваний:
Решение Олега Полубасова: 16,
Решение Дмитрия Филимоненкова: 7,
Дополнение к решению Олега Полубасова: 3?

Полагаю, скачавшие решение ОП удалились штудировать роман Стендаля "Красное и черное", без которого не разобраться в решении и, уж тем более, обобщении ММ188.

А если серьезно, для меня столь радикальные расхождения в количестве скачиваний - тоже загадка. Причем это особенность именно нынешнего тура. В предыдущих все было относительно равномерно..

Кстати, на e-science количество скачиваний решения ОП и дополнения ОП одинаковы.

[Yadryara]

Masik в сообщении #797816 писал(а):

Решение Дмитрия Филимоненкова:

Не будучи лично знакомым, всё-таки позволю себе уточнить. Виктора, а не Дмитрия.

Masik в сообщении #797816 писал(а):

У каждого из нас есть свои любимые методы решения задач, например, рассматривая ММ178 с первых семи сторон, я привычно использовал теоретико-графовый подход, в следующих четырёх перешёл на комбинаторный, а потом и линейная алгебра пригодилась, но по-другому, чем у Дмитрия.

Видимо, всё же ММ188.

Полагаю, что всё же не Дмитрий, а Виктор. Впрочем, возможно Виктор сменил имя, а я и не в курсе

Masik в сообщении #797816 писал(а):

Вот, например, если в ММ176 систему координат связать с одним из судов, то решение сводится к нахождению расстояния от точки до прямой.

Видимо, ММ186.

Спасибо.

[Masik]

Здравствуйте, Антон!

Вы совершенно правы, старость - не радость. Избыток кальция и недостаток женщин в организме влечёт за собой склероз и, как следствие, маразм. Приношу свои глубочайшие извинения Вам, Виктору Филимоненкову, его брату Дмитрию Филимоненкову и нумерованным задачам.

- Алло! Это Михаил Сахаров?
- Нет. Это Моисей Цукерман.
- Это телефон [phone]?
- Нет, 123-45-68.
- Ошибка в седьмом знаке, а какой эффект!!!

[VAL]

========= ММ189 ==========

Псевдогеометрия

ММ189 (6 баллов)

Для каких натуральных m существует треугольник с целочисленными сторонами и медианой m?
Для каждого подходящего m найти наибольшую возможную сторону.


Решение

Привожу решения Анатолия Казмерчука и Олега Полубасова.

Обсуждение

ММ189 неожиданно для меня (и, полагаю, еще более неожиданно для Константина Кнопа, посчитавшего цену задачи завышенной) оказалась трудным орешком для участников.
На нее поступило наименьшее в туре количество решений (да и те не все безупречны). Объяснение, что задача просто не вызвала интереса, не проходит: ММ189 оказалась одной из редких задач оцененных участниками максимальным баллом (правда, после округления оценки до десятых).

Обобщение про чевиану представляется мне не слишком интересным, поскольку не особо интересна одна отдельно взятая чевиана: свобода ее выбора слишком велика.

Я ожидал модификации задачи в несколько ином направлении. Более того, сам я пришел к ММ189 рассматривая треугольники с тремя целочисленными медианами.
Потратив много усилий и найдя бесконечную серию (разумеется, не подобных между собой) таких треугольников, я уже довольно потирал руки, полагая, что у меня есть забойная задача тура. И только потом удосужился погуглить.
Удивительнее всего, что первая же ссылка привела меня не куда-нибудь, а dxdy (одну из главных марафонских площадок). Не знаю, как я ухитрился пропустить эту тему, когда она обсуждалась на форуме.
Дальше события развивались по известному сценарию. В течение трех месяцев, прошедших с момента "усекновения" задачи про треугольники с целочисленными сторонами и медианами до ММ189, я натыкался на первоначальную формулировку чуть ли не каждый день:
Смотрю книжку Ричарда Гая "Нерешенные проблемы теории чисел" - там фигурирует проблема существования треугольника с целочисленными сторонами, медианами и площадью. При этом, разумеется, констатируется, что без требования целочисленности площади, бесконечность множества подходящих треугольников доказана.
Читаю в вики статью "Открытые проблемы математики" - там приведена та же задача.
Попадается на глаза статья про Морделла - там указано, что Морделл интересовался этой задачей и именно он доказал, существование бесконечного множества треугольников с целочисленными сторонами и медианами (вот тут-то без эллиптических кривых наверняка не обошлось).
Читаю (далеко не первую) заметку о проблеме существования эйлерова кирпича - там проводится параллель между "кирпичом и треугольником".
И т.д.

У меня имеется еще одно интересное обобщение ММ189 (наверное, все же, не обобщение, а родственная задача). Уже хотел поделиться, но передумал, приберегу для следующего тура

Награды

За решение и обобщение задачи ММ189 участникам начислены следующие призовые баллы: Олег Полубасов - 9; Анатолий Казмерчук - 7; Виктор Филимоненков и Антон Никонов - по 6; Дмитрий Пашуткин - 4; Сергей Половинкин - 3.

Эстетическая оценка задачи 5 баллов

[Yadryara]

VAL в сообщении #800122 писал(а):

ММ188 неожиданно
...
ММ188
...
ММ188
...
ММ188
...
ММ188
...
За решение и обобщение задачи ММ188 участникам начислены

Да вы с Олегом сговорились, не иначе

За ММ189 ничего не надо начислить? Только по второму разу за ММ188?

[VAL]

Yadryara в сообщении #800136 писал(а):

Да вы с Олегом сговорились, не иначе

Просто болезнь оказалась заразной
Спасибо!

[VAL]

========= ММ190 ==========

Настоящая геометрия

ММ190 (12 баллов)

Найти наименьшее возможное число прямых, равноудаленных от всех вершин тетраэдра?

Примечание: под тетраэдром понимается произвольная треугольная пирамида.

Решение

Традиционно привожу решения (и обобщения) Анатолия Казмерчука и Олега Полубасова.

Обсуждение

То ли конкурсанты выдохлись к концу года, то ли "настоящих геометров" среди них мало, но ММ190 вызвала наибольшие затруднения в туре.
В чем именно проявлялись трудности тех, кто не прислал решения, судить не берусь. Расскажу про свои, которые вылились в самую высокую в туре стартовую оценку задачи.
Я давно (со школы) помню задачку: сколько существует плоскостей, равноудаленных от всех вершин тетраэдра. Решается она устно. Но ответ, на первый взгляд, неожиданный - 7 (4 параллельных граням и 3 - парам скрещивающихся ребер). Странно, что мне только в этом году (после нескольких десятилетий знакомства с исходной задачей) пришло в голову преобразовать ее в ММ190.
Сразу же после постановки задачи я пришел к выводу, что требуемых прямых для любого тетраэдра будет бесконечно много. В пользу этого говорит следующее простое рассуждение:
Прямая в пространстве имеет 4 степени свободы. А для обеспечения равноудаленности от вершин требуется выполнение всего трех равенств: $d(a)=d(b)=d(c)=d(D)$. Лишняя степень свободы должна обеспечить бесконечное множество решений.
Но это рассуждение нестрогое. Система, в которой уравнений меньше чем переменных, в принципе, может быть и неразрешима или иметь конечное число решений..
Вместо того, чтобы попытаться придать вышеприведенному рассуждению строгость, я решил сначала поискать подходящие прямые для конкретных тетраэдров (ведь заранее, кроме бимедиан правильного тетраэдра, таковых не видно).
И тут меня ждал сюрприз: мне "удалось доказать", что искомых прямых всегда конечное число.

Я стартовал с геометрического места прямых, равноудаленных от двух данных точек $A$ и $B$. И "выяснил", что требуемые прямые принадлежат одному из трех семейств:
а) прямые параллельные $AB$;
б) прямые, проходящие через середину $AB$;
в) прямые, лежащие в плоскости, перпендикулярной отрезку $AB$ и проходящей через его середину.
Легко доказывается, что для первого случая для любого тетраэдра существует ровно 6 искомых прямых, по одной на каждое ребро.
В самом деле, достаточно провести плоскость, перпендикулярную ребру и рассмотреть треугольник (он всегда получится), образованный точкой пересечения этой плоскости с данным ребром и проекциями двух оставшихся вершин на эту плоскость. Прямая, проходящая через центр описанной окружности этого треугольника и параллельная выбранному ребру, будет искомой.
Во втором случае ситуация не столь прозрачна. По-видимому, чаще всего существует три искомых прямых, по одной для каждой пары скрещивающихся ребер. Но это не важно, важно, что их тоже конечное число!
Третий случай тоже не очень прозрачен. Тем более, что прямые, подходящие для третьего случая, могут оказаться сосчитанными уже во втором. Но и в этом случае получится не более конечного числа искомых прямых!

Получив выводы, противоречащие предыдущим, я некоторое время пребывал в ступоре (и задержал и без того позднее начало тура). Пока не нашел прокол (слона-то я и не приметил) в своем описании геометрического места прямых, равноудаленных от двух данных точек.
Кроме, описанных в пунктах a), б), в) случаев есть еще и четвертый, более общий, чем каждый из трех перечисленных:
г) общий перпендикуляр (единственный для скрещивающихся прямых) $AB$ и данной прямой проходит через середину $AB$.
Любопытно, что один из участников сделал по сути ту же ошибку, не заметив, что двух сфер одинакового радиуса могут касаться не только образующие цилиндра и конуса, натянутого на эти сферы, но и однополостного гиперболоида.
Легко показать, что именно с использованием последнего случая возникает "утерянная бесконечность".

Награды

За решение и обобщение задачи ММ190 Анатолий Казмерчук получает 16, а Олег Полубасов - 14 призовых баллов. За разумные шаги, не приведшие, однако, к решению задачи Виктор Филимоненков и Сергей Половинкин получают по 4 призовых балла.

Эстетическая оценка задачи 5 баллов

Спасибо всем участникам! Итоги тура подведу чуть позже (но в этом году).

[Masik]

Хоть я и оценил эстетическое удовольствие, полученное от решения задачи ММ190 в 5 баллов, но её постановку не могу не покритиковать. Как найти наименьшее число среди континиумов? Интеграл, что ли, брать, тогда какой? Впредь обязуюсь любую задачу Марафона, содержащую в условии подвох, оценивать в 0 баллов.
В этом туре, кроме ММ190, подвох ещё был в задаче ММ186, причём, один - из-за опечатки ведущего, а второй - запланированный. В одной из ветвей дуали суда сталкиваются, поэтому эта ветвь отсекается. Второй подвох понять могу, а первый, извините, нет.

Впереди - юбилейный тур Марафона. Ведущий, понятное дело, постарается сделать задачу ММ200 незабываемой. У меня есть личная просьба ко всем участникам: если кто-нибудь когда-нибудь вас спросит, какая задача Математического Марафона вам наиболее понравилась, прежде чем ответить, полюбуйтесь, пожалуйста, ещё раз на задачу ММ50.

За помощь в проверке решения ММ190 выражаю благодарность Константину Кнопу, Алексею Ерёмину и Игорю Горбатенко.

[Masik]

Незакрытые причастные обороты можно наблюдать как в моём предыдущем сообщении, так и в сообщении Владимира Лецко. Обычное дело. Но перепутать вписанную окружность с описанной... Тоже всего одна буква, а какой эффект!

[VAL]

Masik в сообщении #805074 писал(а):

Но перепутать вписанную окружность с описанной... Тоже всего одна буква, а какой эффект!

Очевидно, это на уровне подсознания происходит. Термин "описанная" с детства вызывал у меня какие-то левые ассоциации

[kknop]

Masik в сообщении #804986 писал(а):

если кто-нибудь когда-нибудь вас спросит, какая задача Математического Марафона вам наиболее понравилась, прежде чем ответить, полюбуйтесь, пожалуйста, ещё раз на задачу ММ50.

Посмотрел. Что-то я не вижу в ней особой красоты. Возможно, чтобы оценить, ее нужно было решать. Но разве это правильное свойство для по-настоящему красивой задачи?

[VAL]

kknop в сообщении #806173 писал(а):

Masik в сообщении #804986 писал(а):

если кто-нибудь когда-нибудь вас спросит, какая задача Математического Марафона вам наиболее понравилась, прежде чем ответить, полюбуйтесь, пожалуйста, ещё раз на задачу ММ50.

Посмотрел. Что-то я не вижу в ней особой красоты. Возможно, чтобы оценить, ее нужно было решать. Но разве это правильное свойство для по-настоящему красивой задачи?

А в чем же тогда красота?!
Вопрос, конечно, ... ну, в общем, где рядом с вопросом о смысле жизни.

Поэтому претендовать на монополию владения окончательным ответом не буду Но мнение выскажу.
На мой взгляд, среди критериев этой самой красоты выделяются три:

1. Неожиданность ответа. Это не про ММ50. Здесь для меня эталон - задача про сто узников и сто коробок.
2. Изящность решения. По этому критерию ММ50 смотрится неплохо. Но есть примеры и поярче.
3 (по номеру, но не по значимости). Возникновение порядка из хаоса. А вот здесь ММ50 очень хороша.

Поэтому я Олега понимаю и во многом поддерживаю.