дискретная математика (множества)

[AD]

Подумали вы правильно. А сначала написали глупость какую-то.
Ладно, показываю класс Предполагается примерно такое рассуждение.

Дано: $A_j=\Bigl\{x\in\mathbb{R}\mid4\le x\le2j+2\Bigr\}$, $j,m,n\in\mathbb{N}_0$, $m\ge n$.
Доказать: $A_n\cap A_m=A_n$.

Доказываем. Пусть $x\in A_n$. Тогда

$$4\le x\le2n+2\eqno(1)$$

по определению $A_n$. Но из этого следует, что

$$4\le x\le2m+2\eqno(2)$$

,
так как $m\ge n$, и раз выполнены неравенства (1), то тем более выполнены неравенства (2). А это и означает, что $x\in A_m$.

Поскольку $x$ был любым элементом множества $A_n$, то можно заключить, что все элементы $x\in A_n$ принадлежат также и множеству $A_m$.
То есть $A_n\subseteq A_m$, по определению значка $\subseteq$.

Наконец, $A_n\cap A_m$ есть множество всех $x\in\mathbb{R}$, принадлежащих одновременно $A_n$ и $A_m$. Но поскольку всякий элемент $x\in A_n$ по доказанному заведомо принадлежит $A_m$, и $A_n$ он тоже конечно принадлежит, то $x\in A_n \cap A_m$.То есть снова ввиду произвольности $x$ имеем $A_n\subseteq A_n\cap A_m$.

В то же время несложно видеть и обратное: $A_n\cap A_m\subseteq A_n$, поскольку если $x\in A_n$ и одновременно $x\in A_m$, то, в частности, $x\in A_n$. "Если я розовый крокодил, то я розовый"!

Итак, мы доказали, что $A_n\cap A_m\subseteq A_n$ и $A_n\subseteq A_n\cap A_m$. Но это и означает, что $A_n\cap A_m = A_n$ буквально по определению значка "=".
Что и требовалось доказать.

[SeverniyVeterok]

AD , спасибо

Цитата:

так как $m\ge n$, и раз выполнены неравенства (1), то тем более выполнены неравенства (2). А это и означает, что $x\in A_m$.

Вот этого я не смог сообразить, то есть такой вывод сделать из того как ты записал..

[AD]

Ну то есть запись $\Bigl\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 4\Bigl\}$ читается "множество таких (и только таких!) $x$ из $\mathbb{R}$, для которых имеет место свойство $x\ge4$".
Раз $x\in A_n$, то для $x$ выполнено свойство (1). А раз выполнено свойство (2), то $x\in A_m$.

[SeverniyVeterok]

Brukvalub писал(а):

\[ \begin{array}{l} (A_1 \cup A_2 )\backslash (B_1 \cap B_2 ) = (A_1 \backslash (B_1 \cap B_2 )) \cup (A_2 \backslash (B_1 \cap B_2 )) = \\ ((A_1 \backslash B_1 ) \cup (A_1 \backslash B_2 )) \cup ((A_2 \backslash B_1 ) \cup (A_2 \backslash B_2 )) = (A_1 \backslash B_1 ) \cup (A_1 \backslash B_2 ) \cup (A_2 \backslash B_1 ) \cup (A_2 \backslash B_2 ) \\ \end{array} \]

Привет.
А по каким правилам был сделан переход - (A_1 \cup A_2 )\backslash (B_1 \cap B_2 ) = (A_1 \backslash (B_1 \cap B_2 )) \cup (A_2 \backslash (B_1 \cap B_2 ))

[Taras]

Имеет место следущее равенство:

$$(A\bigcup B)\backslash C = (A \backslash C)\bigcup(B \backslash C) $$

Елементарно доказывается простым методом: пускай x принадлежит правой части, тогда он принадлежит и левой, и наоборот.

[SeverniyVeterok]

Taras писал(а):

Имеет место следущее равенство:

$$(A\bigcup B)\backslash C = (A \backslash C)\bigcup(B \backslash C) $$

Елементарно доказывается простым методом: пускай x принадлежит правой части, тогда он принадлежит и левой, и наоборот.

Привет.
Я имел ввиду по каким правилам алгебры множеств

[Brukvalub]

Это правило само является правилом алгебры множеств.

[SeverniyVeterok]

Brukvalub писал(а):

Это правило само является правилом алгебры множеств.

Привет.
Верю наслово- так и напишу согласно правилу и эту формулу

[AD]

По-моему, это вполне можно отнести к базовым правилам и доказывать именно так, как говорит Taras. Тем более что это совсем очевидно.

Если не согласны, выпишите, какие правила Вы считаете базовыми, то есть чем вы все-таки разрешаете пользоваться при доказательстве.

Добавлено спустя 1 минуту 25 секунд:

Верить наслово в математике не стоит

Добавлено спустя 41 секунду:

А, может, это и методический вопрос ...

[SeverniyVeterok]

Привет.
Я попробывал решить с помощью обычных (не знаю откуда у вас такие правила у нас в учебнике намного более простые)..

Можно ли записать вот так-

(A_1 \cup A_2)\backslash (B_1 \cap B_2 ) = / отсюда по правилу A-B=$A\cap B$' / = (A_1\cup A_2)\cap (B_1 \cap B_2)' = (A_1\cup A_2)\cap (B_1' \cup B_2') = /отсюда по правилу $A\cap B$' =A-B/ = (A_1 \backslash B_1 ) \cup (A_1 \backslash B_2 ) \cup (A_2 \backslash B_1 ) \cup (A_2 \backslash B_2)

[AD]

SeverniyVeterok писал(а):

не знаю откуда у вас такие правила у нас в учебнике

"Правил" не существует. Есть определения и теоремы. Учебников по теории множеств я лично не читал, поэтому методологические задачи типа "доказать утверждение, пользуясь только тем, что есть в учебнике X" мне решать трудно.

Записать так вроде можно. Но мне как-то проще вот такая выкладка: $(A\cup B)\setminus C=(A\cup B)\cap C'=(A\cap C')\cup(B\cap C')=(A\setminus C)\cup(B\setminus C)$ (средний переход понятен? это дистрибутивность такая, есть у вас такое правило?), далее заменим $A$ на $A_1$, $B$ на $A_2$, $C$ на $B_1\cap B_2$.

[SeverniyVeterok]

Цитата:

]"Правил" не существует. Есть определения и теоремы.

согласен, моя ошибка- имел ввиду определение.

Цитата:

(средний переход понятен? это дистрибутивность такая, есть у вас такое правило?)

Да так и называется..
Просто если бы ты не взял правый кусок за букву- С , то я бы и не увидел дистрибутивность, а так понятно стало.. А то если не использовать букву С вместо А и B -такой бардак

Добавлено спустя 10 минут 35 секунд:

Цитата:

далее заменим $A$ на $A_1$, $B$ на $A_2$, $C$ на $B_1\cap B_2$

бррр..
а как мне после этого к нужному ответу то прийти?

там опять всё раскрывать надо..

[AD]

Все эти свойства операций не являются определениями. Это несложные теоремы, которые доказываются "на низком уровне".

А определения выглядят примерно так:
Имеется предикат $\in$, то есть можно писать, что $x\in y$ или $x\notin y$. Будем говорить, что $x\subseteq y$, если $\forall z\in x\quad z\in y$. Будем говорить, что $x=y$, если $x\subseteq y$ и $y\subseteq x$. Объединение $x$ и $y$ - это такое $z$, что $w\in z\quad\Leftrightarrow\quad w\in x\ \vee\ w\in y$.(здесь $\vee$ - это логическое или) И т. д. Исходя из этого доказываются "правила".

SeverniyVeterok писал(а):

Просто если бы ты не взял правый кусок за букву- С

Эта идея принадлежит Tarasу.

Добавлено спустя 4 минуты 2 секунды:

SeverniyVeterok писал(а):

а как мне после этого к нужному ответу то прийти?

Ну так мое дело маленькое - переход обосновать ... Или следующий тоже непонятен?
Ну сделайте как вы сделали, тоже правильно, если вам у себя все понятно.

[vadim55]

есть несколько задач на Отношения.
правильно ли решение?
1.

$$ (A\bigcap {B)*C = (A*C)\bigcap \matrix \hfill \cr (B*C) \hfill \cr \hfill \cr \endmatrix } $$

доказать или опровергнуть

$$ (a,b) \in (A\bigcap {B)*C \Leftrightarrow a \in (A\bigcap {B)} } \wedge b \in C $$

$$ \Leftrightarrow a \in A \wedge a \in B \wedge b \in C $$

$$ \Leftrightarrow (a,b) \in (A*C) \wedge (a,b) \in (B*C) $$

$$ \Leftrightarrow (a,b) \in (A*C) \cap (B*C) $$

$$ 2.(A*B) \cap C = (A \cap C)*(B \cap C) $$

доказать или опровергнуть

$$ (A \cap C)*(B \cap C) \Leftrightarrow a \in (A \cap C)\wedge b \in (B \cap C) $$

$$ \Leftrightarrow a \in A\wedge a \in C \wedge b \in B \wedge b \in C \Leftrightarrow $$

$$ \Leftrightarrow a \in A\wedge b \in B \wedge (a,b) \in C \Leftrightarrow $$

$$ \Leftrightarrow (a,b) \in (A*B) \cap C $$

[Brukvalub]

Правильно.