Координатные условия и единственность решения уравнений ОТО

[schekn]

Someone в сообщении #818044 писал(а):

Извините, но раньше с Вами было интереснее.

Извините, но раньше Вы тоже приводили более вразумительные и аргументрованные доводы.
Второй пример мой касался ситуации, когда мы при решении все той же задачи о нахождении метрики вне статического шара ( или совершающего сферически-симметричные движения), ослабили условия связи, либо вообще их не накладываем, оставаясь наедине с шестью уравнениями Эйнштейна и краевыми условиями. В этом случае , как показал Пенлеве, у нас получается 2 произвольные функции от r B(r) и W(r), кроме постоянной r_g. Координатную сетку мы при этом пока не меняли. В этом случае у нас в метрики появятся еще дополнительные неизвестные, которые перекочуют в геодезические. В данном случае понятие "единственности" выгядит по другому. Кроме тех произвольных функций, которые могут возникнуть в решении системы диф. уравнений, возникает произвол связанный с тем, что система уравнений недоопределена.

-- 23.01.2014, 11:42 --

SergeyGubanov в сообщении #818183 писал(а):

Эквивалентность "решения" в смысле преобразования координат (в том числе комплексного) совершенно не обязательно влечёт за собой эквивалентность гравитационных полей в физическом смысле.

С выражением в принципе согласен, хотя Ваш пример мне не понятен. У меня другие примеры.

-- 23.01.2014, 11:46 --

Цитата:

KVV в сообщении #818065 писал(а):

Munin в сообщении #818020
писал(а):
Вы до сих пор не понимаете, что для разных многообразий в принципе не может быть одной координатной сетки?

Присоединяюсь к вопросу. schekn, дайте ответ, пожалуйста.

Для разных многообразий действительно не может быть одной сетки, но в литературе часто это используют. Скажем переходя от метрики Леметра в обасти r>r_g к метрики Шварцшильда ( стандартного) фактически делается переход с одного многообразия в другое, при этом молчаливо считается, в некоторой области координатные сетки совпадают. Такой переход я считаю не вполне корректный и это может сказаться в расчетах.

-- 23.01.2014, 11:55 --

Цитата:

KVV в сообщении #818065 писал(а):

schekn в сообщении #817776
писал(а):
Поскольку эти решения относятся к разным типам дифференциальных уравнений

Каким разным типам

Я кажется уже об этом писал, Вы невнимательны. В 2-х системах (A) и (B) первая приводится ( все в той же задачи из пар 100 ЛЛ-2) к системе обычных ДУ от одной переменной, соответственно получается постоянная интегрирования.
Во-втором случае - система диф. уравнений с частными производными от 2-х переменных. Разница понятна?

KVV в сообщении #818065 писал(а):

Предположить то можно. Только после того, как будет обнаружена возможность перейти от одного решения системы ДУЧП (СК Шварцшильда) к другому (СК Леметра) путем преобразований координат, станет ясно, что эти решения - координатные сетки одного и того же многообразия, а значит - это одно и то же решение уравнения Эйнштейна (которое, на минуточку, тензорное). Одно решение. Одно и то же. Одно.

Чтоб вы знали, важный момент - в процессе решения уравнения Эйнштейна получают именно многообразие, а не только координатную сетку.

Нет, не одно и то же многообразия. Я ответил Someone почему: нарушается принцип диффеоморфизма.

По последней фразе: получается в процессе решения именно риманово многообразие ( точнее пространство Эйнштейна). До решения полной системы уравнений, Вы вообще говоря, его не знаете ( не знаете и топологию).

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #818183 писал(а):

Решение может быть одним и тем же в смысле преобразования координат (в том числе комплексного), а вот в физическом смысле ему могут отвечать разные гравитационные поля. Например, гравитационные поля чёрной и белой дыры физически конечно же разные, но в параметризации Пэнлеве $ds^2_{+}$ и $ds^2_{-}$ связаны друг с другом подстановкой $t \to - t$, то есть в смысле преобразования координат это одно и то же "решение".

А Вы не забывайте, что собственноручно "перевернули" временнýю координату, и что теперь направлению в будущее соответствует уменьшение $t$. Тогда никакой "физической неэквивалентности" у Вас не будет.

schekn в сообщении #818179 писал(а):

В одном мы имеем 2 решения одной задачи в гауссовых координатах и в стандартных Шварцшильдовских. В первом область определения r>0, в другом r>r_g. Это решения на разных многообразиях.

Это две разные карты на одном многообразии, о чём Вам в своё время говорили. Не дошло, или просто троллингом занимаетесь?

schekn в сообщении #818179 писал(а):

Нет взаимооднозначного соответствия всех элементов первого со вторым пространствами.

Самая обычная ситуация в теории многообразий. Преобразование координат между разными картами действует только ни общей части этих карт. Между картами на одном многообразии может не быть вообще никаких координатных преобразований, если эти карты не пересекаются.

schekn в сообщении #818179 писал(а):

Значит некоторые явления будут "выглядеть", иметь разные геодезические и пр. при расчете в разных метриках.

Вы путаете метрику на многообразии с её выражением в координатах конкретной карты. Координаты — это вообще вспомогательный объект, нужный только для того, чтобы мы могли записать формулы в удобном для нас виде.

schekn в сообщении #818179 писал(а):

Someone в сообщении #818044 писал(а):

Поскольку в данном случае $x'^k$ и $g'_{ik}$ получаются из $x^k$ и $g_{ik}$ заменой координат (ЛЛ2, § 94), то ничего не мешает: делаем обратную замену координат и получаем исходную систему координат и исходные $g_{ik}$.

К сожалению, Вы не хотите понять собеседника, поэтому Вам мерещатся одни идиоты.

А чего я здесь не понял? Вы ссылались на указанный мной параграф. Я показал, что истолковали Вы его по-идиотски: одно решение, записанное в разных системах координат, объявили двумя разными решениями в одной системе координат.

[schekn]

Someone в сообщении #818215 писал(а):

Это две разные карты на одном многообразии, о чём Вам в своё время говорили.

Нет , это 2 карты разных многообразий. Любая точка поверхности r=r_g в классе решений типа Леметра не имеет аналога в классе Шварцшильдовских метрик ( в даном случае в стандартных координатах).

-- 23.01.2014, 13:23 --

Someone в сообщении #818215 писал(а):

А чего я здесь не понял? Вы ссылались
на указанный мной параграф. Я показал, что истолковали Вы его по-идиотски: одно решение, записанное в разных системах координат, объявили
двумя разными решениями в одной системе координат.

Тут меня Munin немного запутал, и слегка увел тему, но так и не дал обоснование своего утверждения. Я в предыдущем сообщении вернулся в тему, сославшись на метрику Пенлеве.

-- 23.01.2014, 13:34 --

Someone в сообщении #818215 писал(а):

Самая обычная ситуация в теории многообразий. Преобразование координат между разными картами действует только ни общей части этих карт. Между картами на одном многообразии может не быть вообще никаких координатных преобразований, если эти карты не пересекаются.

Это и входит в противоречие с замечанием Хоукинга, которое я процитировал.

-- 23.01.2014, 13:39 --

Someone в сообщении #818215 писал(а):

Вы путаете метрику на многообразии с её выражением в координатах конкретной карты. Координаты — это вообще вспомогательный объект, нужный только для того, чтобы мы могли записать формулы в удобном для нас виде.

Мы не знаем метрику на многообразии, пока не решим систему диф. уравнений, где $g_{\mu\nu}$ это пока только функции. Координатаная сетка - это вспомогательный объект, а сама система уравнений дает разные решения в зависимости от "уравнений связи" , некоторые из которых я привел. Причем , если мы сетку не меняли, то и получим в той же координатной сетке другие выражении для данных функций, в зависимости от дополнительных условий ( доп. уравнений). Там только 6 уравнений имеет общую структуру. У нас было многообразие $M^{4} $, а стало $V^{4}$. Метрика получается зависит от дополнительных уравнений связи. Почему Вам это сложно понять?

[Someone]

schekn в сообщении #818222 писал(а):

Нет , это 2 карты разных многообразий.

schekn в сообщении #818222 писал(а):

Любая точка поверхности r=r_g в классе решений типа Леметра не имеет аналога в классе Шварцшильдовских метрик

А так и должно быть. Карты на многообразии потому и вводятся, что одной картой не всегда возможно покрыть всё многообразие. Но Вам же это в своё время объясняли. Вы необучаемы или тролль?
Возьмите географический атлас, там найдёте множество пар карт, которые перекрываются только частично или вообще не перекрываются. Карты на многообразии ведут себя аналогично.

schekn в сообщении #818222 писал(а):

Тут меня Munin немного запутал

Ах, это, оказывается, Munin напутал, а на Вы!

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #818183 писал(а):

Эквивалентность "решений" в смысле преобразования координат (в том числе комплексного) не всегда влечёт за собой эквивалентность гравитационных полей в физическом смысле.

Это проблема надуманная. Достаточно ограничиться действительными преобразованиями, и зафиксировать ориентацию пространства и времени (то есть, ориентацию вообще). После этого, в физическом смысле всё будет эквивалентно.

[SergeyGubanov]

Someone в сообщении #818215 писал(а):

А Вы не забывайте, что собственноручно "перевернули" временнýю координату, и что теперь направлению в будущее соответствует уменьшение $t$. Тогда никакой "физической неэквивалентности" у Вас не будет.

Это-то понятно, но... чему соответствует физическое будущее (росту или уменьшению $t$) выясняется экспериментально, что и даёт два физически разных гравитационных поля: чёрной и белой дыры. А просто так глядя на формулы невозможно сказать что же изначально более истинно: $t$ или $-t$. Формально, a priori, они оба одинаково хороши.

Munin в сообщении #818269 писал(а):

Это проблема надуманная. Достаточно ограничиться действительными преобразованиями, и зафиксировать ориентацию пространства и времени (то есть, ориентацию вообще). После этого, в физическом смысле всё будет эквивалентно.

Это так, но Вы потребовали чрезвычайно жёсткое ограничение. Например, теорема Бирхгофа с таким ограничением не верна: все сферически симметричные вакуумные решения "эквивалентны" Шварцшильдовскому только если допускаются комплексные преобразования.

[Munin]

Someone в сообщении #818227 писал(а):

Вы необучаемы или тролль?

И то и другое, разумеется. Я вот думаю, что здесь причина, а что следствие.

SergeyGubanov в сообщении #818305 писал(а):

Это так, но Вы потребовали чрезвычайно жёсткое ограничение. Например, теорема Бирхгофа с таким ограничением не верна: все сферически симметричные вакуумные решения "эквивалентны" Шварцшильдовскому только если допускаются комплексные преобразования.

А какие неэквивалентны?

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #818317 писал(а):

А какие неэквивалентны?

Сферически симметричное вакуумное решение может быть недиагональным (как у Пэнлеве), соответственно там будет что-то такое: $A \, dt'^2 - B \, dr' dt' - C \, dr'^2$. Диагонализируя это выражение переходя от координат $t'$, $r'$ к координатам $t$, $r$ получим что-то такое: $D \, dt^2 - E \, dr^2$. Так вот формулы связывающие функции $A$, $B$, $C$ с функциями $D$ и $E$ содержат квадратный корень. Но выражение под квадратным корнем, вообще говоря, в некоторой области значений координат может быть отрицательным, а значит преобразование к диагональной форме, вообще говоря, может оказаться комплексным. Что как раз и происходит в случае преобразования между метриками Шварцшильда и Пэнлеве, там формулы преобразования при $r < r_g$ становятся комплексные.

[Munin]

Так к каким-то новым физическим сферически симметричным вакуумным решениям это ведёт или нет?

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #818369 писал(а):

Так к каким-то новым физическим сферически симметричным вакуумным решениям это ведёт или нет?

На сколько мне известно их два. Два физически разных решения. Ну, по крайней мере если ограничиться статическим случаем. Как там с динамикой я не знаю.

Метрика Пэнлеве для чёрной дыры:

$$ds^2_{+} = c^2 dt^2 - \left( dr + \sqrt{\frac{r_g}{r}} c \, dt \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2,$$

и метрика Пэнлеве для белой дыры:

$$ds^2_{-} = c^2 dt^2 - \left( dr - \sqrt{\frac{r_g}{r}} c \, dt \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$

Физическая разница в том, что падение тела на белую дыру останавливается при $r=r_g$ (внутрь белой дыры невозможно попасть), а падение тела на чёрную дыру продолжается вплоть до $r=0$.

При $r>r_g$ они оба сводятся к Шварцшильду вещественным преобразованием.

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #818367 писал(а):

Но выражение под квадратным корнем, вообще говоря, в некоторой области значений координат может быть отрицательным

Конкретный примерчик приведите. Чтобы это было сферически симметричным решением уравнений ОТО в вакууме, чтобы сигнатура была правильная, и чтобы под корнем было что-нибудь отрицательное.

SergeyGubanov в сообщении #818367 писал(а):

Что как раз и происходит в случае преобразования между метриками Шварцшильда и Пэнлеве, там формулы преобразования при $r < r_g$ становятся комплексные.

Вообще-то, координаты в ОТО по определению вещественные, и все преобразования координат — тоже.
Если Вы имеете в виду формулу

Wikipedia писал(а):

$$f(r)= \int {\frac{\sqrt{\frac {2M}{r}}}{ 1-{\frac{2M}{r}}}} dr = 2M\left( 2y+\ln \left({\frac{y-1}{y+1}}\right)\right)$$ where $y=\sqrt{\frac{r}{2M}}$,

так там просто модуль забыли. Который должен присутствовать, но в таблицах интегралов его обычно не пишут "для экономии".

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #818374 писал(а):

На сколько мне известно их два. Два физически разных решения.

В общем, понятно. Чёрная дыра и белая дыра. Пенлеве тут абсолютно ни при чём, эти решения были известны и до, и помимо него. И оба не являются максимальным продолжением.

Спасибо. Мой интерес удовлетворён.

(Оффтоп)

Someone в сообщении #818386 писал(а):

но в таблицах интегралов его обычно не пишут "для экономии".

Круглые скобки забесплатно идут? :-)

[schekn]

Someone в сообщении #818227 писал(а):

А так и должно быть. Карты на многообразии потому и вводятся, что одной картой не всегда возможно покрыть всё многообразие. Но Вам же это в своё время объясняли. Вы необучаемы или тролль?

Где, скажите пожалуйста у ЛЛ-2 вводятся понятие карты и атласа? Покажите мне монографию где подробно было бы для этой важной задачи ( нахождение решения сф-сим тела) введены понятия карт и главное - решена эта конкретная задача? За 100 лет так и не начились решать данную задачу строго? Если Вам хочется уйти от ответа, Вы сразу обвиняете собеседника в троллизме, а сами не хотите понять его аргументов. Ваши так называемые объяснения мне категорически не нравятся, из-за отсутствия строгости ни сейчас ни ранее. Ну например, как Вы по виду уравнений (когда еще решение не найдено) поймете всю область найденная карта будет покрывать ?
Я видел нечно похожее у Толмена, когда он находит отдельно решение внутри статического шара и отдельно вне в стандартных координатах и показывает , и показывает, как их сшить на границе. Но это не совсем то, что мы обсуждаем, поскольку Вы говорите о 2-х картах именно в вакууме. Мне также интересно, как осуществляется переход между картами, например для задачи радиально падающего тела.

Someone в сообщении #818227 писал(а):

Ах, это, оказывается, Munin напутал, а на Вы!

Munin костатировал , что имеются калибровочные преобразования, которые не влияют на измеримые величины в уравнениях, но пояснения и доказательства не привел.

-- 24.01.2014, 09:02 --

Цитата:

Someone в сообщении #818215 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #818183
писал(а):
Решение может быть одним и тем же в смысле преобразования координат (в том числе комплексного), а вот в физическом смысле ему могут отвечать разные гравитационные поля. Например, гравитационные поля чёрной и белой дыры физически конечно же разные, но в параметризации Пэнлеве $ds^2_{+}$ и $ds^2_{-}$ связаны друг с другом подстановкой $t \to - t$, то есть в смысле преобразования координат это одно и то же "решение".

А Вы не забывайте, что собственноручно "перевернули" временнýю координату, и что теперь направлению в будущее соответствует уменьшение $t$. Тогда никакой "физической неэквивалентности" у Вас не будет.

Здесь хотелось бы вмешаться в Ваш спор. Получается, что если рассматривать замену t на -t , как преобразование координат, то мы получаем решение описывающее другую физическую реальность ( я не верю ни в белые ни в черные, но предположим мы их наблюдаем). С другой стороны, Вы недавно как раз ругались по этому поводу, что смена координат ни на что не влияет в смысле описание действительнсти.

[SergeyGubanov]

Someone в сообщении #818386 писал(а):

Конкретный примерчик приведите.

Бурланков Д. Е. Время, пространство, тяготение, 2006. - 420 с. ISBN 5-93972-465-5. Глава 12. Сферически-симметричный вакуум, раздел 2.4 Теорема Биркгофа, стр 287.

(Несколько страниц из книги)

Страница 284
Страница 285
Страница 286
Страница 287
Страница 288
Страница 289

Someone в сообщении #818386 писал(а):

Если Вы имеете в виду формулу

Да, с Пэнлеве это я уже подзабыл. Там проблема не в комплексности а в сингулярности преобразования. Пример с комплексным преобразованием есть в книге Бурланкова.

[Someone]

schekn в сообщении #818563 писал(а):

Где, скажите пожалуйста у ЛЛ-2 вводятся понятие карты и атласа?

А зачем им этим заниматься? Чтобы угодить лично Вам?

schekn в сообщении #818563 писал(а):

Покажите мне монографию где подробно было бы для этой важной задачи ( нахождение решения сф-сим тела) введены понятия карт и главное - решена эта конкретная задача?

Мне недосуг разыскивать для Вас литературу. Ищите сами.

Понятия карты и атласа вводятся, естественно, в теории многообразий, а не в ОТО. Возьмите учебник по дифференциальной геометрии и ищите там. Например:

И.Я.Бакельман, А.Л.Вернер, Б.Е.Кантор. Введение в дифференциальную геометрию «в целом»."Наука", Москва, 1973.

Понятия карты и атласа вводятся в параграфе 9.4. Делается всё это очень кратко, мимоходом, потому что это такая банальность… Впрочем, Вы до сих пор не можете понять, что замена координат ни на какую физику не влияет, поскольку от координат зависит не физика, а её описание; так что уж и не знаю, что Вы в этой книге поймёте.

schekn в сообщении #818563 писал(а):

Ну например, как Вы по виду уравнений (когда еще решение не найдено) поймете всю область найденная карта будет покрывать ?

Никак не пойму. Ну и что? Если окажется, что карта не полная, то надо будет искать способ продолжения. Как, например в случае решения Шварцшильда.

schekn в сообщении #818563 писал(а):

Munin костатировал , что имеются калибровочные преобразования, которые не влияют на измеримые величины в уравнениях, но пояснения и доказательства не привел.

Они по определению не влияют. Поэтому никакого "доказательства" там и нет.

schekn в сообщении #818563 писал(а):

Я видел нечно похожее у Толмена, когда он находит отдельно решение внутри статического шара и отдельно вне в стандартных координатах и показывает , и показывает, как их сшить на границе. Но это не совсем то, что мы обсуждаем, поскольку Вы говорите о 2-х картах именно в вакууме.

Без разницы.

schekn в сообщении #818563 писал(а):

Мне также интересно, как осуществляется переход между картами, например для задачи радиально падающего тела.

Тривиально. Когда падающее тело, двигаясь в пределах первой карты, попадает в точку, общую для двух карт, пересчитываем всё, что нужно, из первой карты во вторую (вот здесь и происходит замена координат в общей части двух карт), а потом продолжаем расчёт уже во второй карте.

schekn в сообщении #818563 писал(а):

Здесь хотелось бы вмешаться в Ваш спор. Получается, что если рассматривать замену t на -t , как преобразование координат, то мы получаем решение описывающее другую физическую реальность ( я не верю ни в белые ни в черные, но предположим мы их наблюдаем). С другой стороны, Вы недавно как раз ругались по этому поводу, что смена координат ни на что не влияет в смысле описание действительнсти.

Никакого спора и не было. Я и в этот раз обругал автора за эту выдумку. SergeyGubanov ведь предлагает сунуть человеку под нос какие-то формулы, ничего ему не сказать, и пусть этот человек сам думает, что хочет.

Между тем, физические формулы всегда должны сопровождаться их физической интерпретацией. В данном случае, поскольку положительное направление времени по виду формул определить невозможно, оно должно указываться явно (по крайней мере, если это существенно для понимания формул).
На самом деле в большинстве случаев системы координат выбирают так, что ровно одна из координат является времениподобной, и положительное направление времени соответствует возрастанию этой координаты. Приняв такое соглашение "по умолчанию", можно без необходимости не указывать направление времени. Однако, обратив времениподобную координату, мы нарушили это соглашение, поэтому обязаны сказать об этом явно.
Однако никто не обязан выбирать координаты непременно в соответствии с этим соглашением. Допустим, Вам подсунули под нос метрику $ds^2=-4d\alpha d\beta-d\gamma^2-d\delta^2$ (спасибо, хоть сказали, что это метрика, что $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ — координаты, а $d$, как обычно, обозначает дифференциал). Что Вы будете думать по поводу временной координаты и направления времени?

SergeyGubanov в сообщении #818305 писал(а):

чему соответствует физическое будущее (росту или уменьшению $t$) выясняется экспериментально

Не экспериментально, а интерпретацией. И, поскольку интерпретация без указания направления времени неоднозначна, направление времени должно быть тем или иным способом указано в интерпретации. А без интерпретации сравнить что либо с экспериментом невозможно.

SergeyGubanov в сообщении #818597 писал(а):

Пример с комплексным преобразованием есть в книге Бурланкова.

По определению все координаты вещественные. Соответственно, все преобразования координат — тоже.

Введение комплексных координат возможно, но это может выводить за пределы исходного многообразия (а может и не выводить, но в таком случае введение комплексных координат будет чисто формальным), поэтому возникающие в этом случае "замены" заменами координат на самом деле не будут.