Трудность изучение теории №2. Время от времени в литературе возникает вопрос о влиянии координатных условий на физически измеряемые величины в ОТО. Казалось бы, в корректно построенной теории при условии общековариантности уравнений такого влияния не должно быть. Но в случае с уравнениями ОТО все не так просто. Книга Темчина "уравнения Эйнштейна на многообразии" ( ссылку приведу позже в конце ) еще раз заставило задуматься о данной проблеме. Сразу возникает вопрос, что значит единственность решение уравнений в задачах по ОТО, и что значит те инвариантные величины, измеряемые непосредственно, которые не должны зависеть от координатных условий. Чисто с точки зрения математики даже решение Шварцшильда не является единственным, поскольку аналитический вид метрических компонент, как функций координат, зависит от дополнительных уравнений связи. Я приведу несколько примеров на непрофессиональном уровне, которые заставляют задуматься, что закрывать вопрос о координатных условиях в рамках ОТО рано.
Когда решают какую-то задачу по гравитации в рамках ОТО, чтобы проверить правильность теории, обычно сначала находят метрику в каких-то координатах, то есть решают вот такую систему дифференциальных уравнений ( запишу уравнений Гильберта- Эйнштейна вне вещества для простоты рассмотрения) :
. Вторая система уравнений есть условия связи, которые накладываются теоретиком, чтобы получить какое-то определенное (хотелось бы сказать единственное) решение относительно метрических компонент и которое в дальнейшем потребуется, чтобы решить задачу в рамках ОТО. Это решение определяет псевдориманову геометрию пространства-времени. А вот далее хотелось бы услышать комментарии профессиональных математиков.
Приведу пример некоторых уравнений связи для нахождения вакуумных решений вне шара для сферически симметричной задачи:
0 – временная компонента, пространственные i=1,2,3. Стандартные:
Гауссовы:
Гармонические:
В учебнике Ландау ЛЛ-2 пар. 100, когда приводится вывод метрики Шварцшильда в стандартных координатах, постоянно сталкиваешься с выражением типа: у нас есть произвол в выборе координаты r, есть произвол в выборе t и т.д. Почему-то я не встречал критику данного метода, хотя тут есть явная не строгость. Так интуитивно получает решение физик, зная, что оно должно быть. Когда за дело берется математик, то начинаются проблемы. Ему надо строго решить систему из 10 уравнений, найти все постоянные интегрирования, доказать, что решение единственно. Причем для каждого класса системы уравнений (1,2) , (3,4) , (5,6)…
Если взять систему (1), (2) , то сразу видно, что хотя она и полная: (10 независимых уравнений и 10 неизвестных),
но при этом нековариантная, поскольку дополнительные условия (2) не могут быть ковариантными в принципе. Данный выбор доп. условий продиктован тем, что у экспериментаторов имеется уверенность, что радиальную координату r тела можно определить исходя из измерения длины дуги
,и она, предполагается теоретиком, определяется с бесконечно высокой точностью. Это вообще говоря, не так, да и не всегда тела свободно движутся по окружности вокруг гравитирующего тела.
По сути эти условия связи (2) ставят некоторые условия на калибровку пространства. К этому моменту я вернусь в примере №3.
В самом общем виде система уравнений 2-го порядка из 10 неизвестных функций имеет 20 постоянных интегрирования (так мне указали математики).
Но где уверенность, что эти самые постоянные, которых реально оказываются гораздо меньше, будут совпадать с постоянными решений системы уравнений (1), (2) и (5), (6)? Если это так, это необходимо строго доказать.
При нахождении класса решений метрики Шварцшильда накладываются краевые условия: на бесконечности метрические компоненты переходят в компоненты плоского пространства. Это очень неясное условие. Непонятно, почему обязательно в плоское, неясно с какой асимптотикой это происходит.
Существует бесконечно много таких решений. С другой стороны, как показала дискуссия в печати о доказательстве равенства инертной и тяжелой массы для одинокого статического тела, компоненты должны переходить именно в галилеевы координаты, то есть это должно было быть, видимо, оформлено как дополнительный постулат теории? Посмотрим на примерах, как тут могут проявляться сложности в неопределенности выбора условий связи.
Пример 1. Строгого решения системы уравнений (3) и (4) (в гауссовых координатах) даже для сферически симметричной задачи я в литературе не встречал (хотя может он и существует). Обычно берут стандартное решение Шварцшильда, где область координаты
и применяют недопустимые в некоторых областях преобразование координат. Таким образом, получается другой класс решений типа Леметра, которое имеет область определения
.
Но совершенно непонятно, почему выбирая другие координатные условия ( гауссовы координаты (4)), и честно решая данную систему, мы получили вдруг другую область определения и другое неэквивалентное решение, если при этом утверждается, что все координатные системы равноценны в теории? Я не нашел ответы на этот вопрос.
По этому поводу была ремарка у Хоккинга-Эллиса, что эквивалентными моделями гр. поля являются не все решения уравнений Эйнштейна
, а только если соблюдается принцип диффеоморфизма (если необходимо - процитирую). Поэтому видимо, поле Черной дыры, согласно критерию Хокинга, неэквивалентна полю вне вещества статического шара.
Поэтому можно предположить, что при таком неясном методе выбора условий связи - (2), (4), (6), мы, можем найти такие координатные условия, что можем вообще получить нефизические решения, которые не будут отвечать какой-либо реальной модели гравитационного поля.
Надо отметить, что сама метрика нам нужна только, как начало. Чтобы доказать правильность общепризнанной теории ОТО нужно например, изучить геодезические. Кроме того было отмечено в ряде работ, что для корректной постановке задачи Коши и доказательства единственности, координатные условия очень важны. Тут начинаются свои сложности. (Арифов Л.Я. «Общая теория относительности и тяготение», стр. 132-135 (
http://www.twirpx.com/file/869066/) . Но я не буду сейчас углубляться в эту сложную тему.
Так же отмечу, что если при использование координатных условий (2) мы привязываемся при калибровке пространства к длине дуги, то в случае (4) этого сделать уже сложно, длина дуг зависит от временной координаты.
Теперь давайте посмотрим на условия Фока (=Ланцоша) (6). Там стоят первые обычные производные от метрических компонент. Тут наиболее явно видно, что система нековариантная, хотя она вошла во многие учебники, как удачный выбор координатных условий. Темчин пишет, что при этом система дифференциальных уравнений (5) и (6) с точки зрения математики совершенно другого класса, чем например (3),(5).
От себя могу отметить "забавный" факт: то, что Вайнберг называет метрикой в "гармонических" координатах
(
) не удовлетворяет гармоническим условиями Фока (6)
(что можно проверить непосредственно), а какая же удовлетворяет? А вот такая:
(Фок стр 287, (58.05)).
Это наводит на мысль, что эти 2 решения отвечают разным моделям поля, и постоянная интегрирования m и m’, которые входят в них, возможно не равны между собой, но как-то связаны.
Пример 2. Если все таки мы ищем решение уравнений Г-Э. на элементарном многообразии, но покрыли ее 2-мя картами, то вполне может сложиться ситуация, когда функция сшивки карт и переход между 2-мя решениями разные. ( Рассматривать не буду, он мне неинтересен).
После небольшого перерыва и умных (и не очень ) комментариев я рассмотрю Пример №3 , наверное, наиболее интересный.
Для интересующихся данной проблемой ссылка на книгу Темчина
http://www.twirpx.com/file/1294932/ .