Координатные условия и единственность решения уравнений ОТО

[SergeyGubanov]

Someone в сообщении #818605 писал(а):

Введение комплексных координат возможно, но это может выводить за пределы исходного многообразия (а может и не выводить, но в таком случае введение комплексных координат будет чисто формальным), поэтому возникающие в этом случае "замены" заменами координат на самом деле не будут.

Вот это как раз тот тонкий момент, который я и имел в виду. Можно такую "замену" провернуть (со сменой интерпретации координат), что получишь другое многообразие. При этом полученная штукенция всё равно будет решением уравнений потому, что самой по себе системе уравнений до геометрической интерпретации дела нет.

То есть как бы есть два слоя абстракции. На более низком слое есть просто сама по себе система дифференциальных уравнений в частных производных. Более высокий слой абстракции - геометрическая интерпретация в терминах многообразия. Забывая о геометрической интерпретации, спускаясь на нижний слой, для решения системы уравнений комплексные преобразования делать можно. Но когда, так сказать, вернёшься назад, то можешь попасть в другое многообразие.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #818633 писал(а):

Можно такую "замену" провернуть (со сменой интерпретации координат), что получишь другое многообразие. При этом полученная штукенция всё равно будет решением уравнений потому, что самой по себе системе уравнений до геометрической интерпретации дела нет.

Да, такие методы есть - они применяются, чтобы получить новые решения уравнений, которые трудно решаются.

Причём, кроме замены координат, применяются и более сложные математические преобразования решений.

Но при этом речь идёт о решении уравнения самого по себе, а не о решении задачи математической физики (например, граничной задачи, или задачи Коши). Граничные условия подвергать таким преобразованиям сложнее, и даже когда получается, то часто не получается физически осмысленного результата. Так что, просто создают решение, и кладут его в копилку - авось для чего-нибудь пригодится.

SergeyGubanov в сообщении #818633 писал(а):

То есть как бы есть два слоя абстракции. На более низком слое есть просто сама по себе система дифференциальных уравнений в частных производных. Более высокий слой абстракции - геометрическая интерпретация в терминах многообразия. Забывая о геометрической интерпретации, спускаясь на нижний слой, для решения системы уравнений комплексные преобразования делать можно. Но когда, так сказать, вернёшься назад, то можешь попасть в другое многообразие.

Скорее, наоборот. Есть более низкий слой - риманово $(1,3)$-многообразие. И есть более высокий слой: комплексификация этого многообразия, 4-мерное комплексное риманово многообразие. При этом необходимо, чтобы функции метрики были аналитическими, и рассматриваются их продолжения на комплексную плоскость аргументов. Такая метрика будет решением уравнения Эйнштейна, интерпретированного как комплексное же. Понятно, что "поворачивая его разными боками", и возвращаясь обратно в "действительный мир", мы будем получать валидные решения уравнения Эйнштейна, возможно, разные, и возможно, для чего-то пригодные. Но нельзя заранее сказать, что они будут удовлетворять изначальным физическим условиям - например, статичность + изотропность + асимптотический Минковский.

[evgeniy]

Someone в сообщении #818605 писал(а):

По определению все координаты вещественные. Соответственно, все преобразования координат — тоже.

Хочу высказать свои соображения по этому поводу. Уравнения ОТО существенно нелинейные. Это означает, что сведя их к счетной системе обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений можно получить комплексное решение для метрического тензора. Для установления соответствия между комплексным значением метрического тензора и координат, нужно считать координаты комплексными. Это не соответствует якобы имеющемуся определению координат вещественными. В общем случае координаты, как решения нелинейного уравнения комплексные. Я не знаю к каким последствиям это приведет в многообразиях, но так как решения нелинейных уравнений могут быть комплексные, значит и описывающие их координаты могут быть комплексные.
Причем переход к комплексным координатам реализуется с помощью формулы
$\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial i y}=2\frac{\partial }{\partial x+iy}$
Есть такая формула у Владимирова Обобщенные функции. Складывая эту формулу с комплексно сопряженной, получим выражение частной производной, через две комплексно сопряженные производные.

[schekn]

Someone в сообщении #818605 писал(а):

Понятия карты и атласа вводятся, естественно, в теории многообразий, а не в ОТО. Возьмите учебник по дифференциальной геометрии и ищите там. Например:

Мне вполне устраивает учебник Рашевского "Риманова геометрия и тензорный анализ". Вас он чем то не устраивает? Мне не нужно угождать. Это нужно Вам. Я просил именно по кокретному примеру.

Someone в сообщении #818605 писал(а):

Они по определению не влияют.

В ОТО влияют.

Someone в сообщении #818605 писал(а):

Тривиально. Когда падающее тело, двигаясь в пределах первой карты, попадает в точку, общую для двух карт, пересчитываем всё, что нужно, из первой карты во вторую (вот здесь и происходит замена координат в общей части двух карт), а потом продолжаем расчёт уже во второй карте.

Вот тут и начинаются нюансы. Я здесь уже подробно рассматривал поведение радиальных геодезических в разных картах. Скачок из одной ( шварцшильдовской стандартной) к другой ( Леметра) ведет к изменению описания физических процессов. По сути карты у нас неэквивалентные в том плане, что в них по разному ведут себя пробные тела. Это видно уже из того, в модели ЧД, радиально падающее тело стремиться к скорости света при приближении к поверхности $r_g,$ а значит времениподобная стремиться стать изотропной. То есть интервал $ds^2$ стремится к нулю.
Переход к другой карте типа Леметра ( Эддингтона-Финкельштейна) ведет не только к тому, что меняются так называемые хромоинварианты, но и к тому, что инвариант $ds^2$ не имеет особенности в данной точке и ее окрестности (на поверхности $r=r_g$). Когда Вы поймете, что уравнения связи меняют существенно не только систему дифференциальных уравнений, но и фактически описывает каждый раз другую физическую реальность, и это совершенно отличается от простой смены координат в рамках уже существующего решения, тогда может быть у Вас будет осознание, что сама теория неоднозначна.

Someone в сообщении #818605 писал(а):

Никакого спора и не было. Я и в этот раз обругал автора за эту выдумку. SergeyGubanov ведь предлагает
сунуть человеку под нос какие-то формулы, ничего ему не сказать, и пусть этот человек сам думает, что хочет.

Ну то есть Вы согласны, что ни по виду метрики , ни по виду координатных преобразований, еще ничего нельзя сказать о физической реальности, которую они описывают. У нас может быть просто смена значков t на -t, а может быть и то, время начало двигаться в другую сторону.

-- 24.01.2014, 16:12 --

Someone в сообщении #818605 писал(а):

что замена координат ни на какую физику не влияет, поскольку от координат зависит не физика, а её описание; так что уж и не знаю, что Вы в этой книге поймёте.

Так я об этом и говори уже сколько страниц. Только теория дает при смене "уравнений связи" решения, которые могут описывать другую физическую реальность. Только Вы это не хотите понять.

[Someone]

schekn в сообщении #818692 писал(а):

Мне вполне устраивает учебник Рашевского "Риманова геометрия и тензорный анализ". Вас он чем то не устраивает?

Меня устраивает. А Вы поняли по этой книге, что такое многообразие, карта, атлас?

schekn в сообщении #818692 писал(а):

Я здесь уже подробно рассматривал поведение радиальных геодезических в разных картах. Скачок из одной ( шварцшильдовской стандартной) к другой ( Леметра) ведет к изменению описания физических процессов.

Я и говорю: при переходе к другим координатам меняется описание процесса, а не сам процесс. И любую величину, характеризующую процесс (процесс "сам по себе", а не его выражение в конкретных координатах), можно вычислять в любых координатах (используя при необходимости несколько карт).

schekn в сообщении #818692 писал(а):

В ОТО влияют.

Значит, то, о чём Вы говорите — не калибровочные преобразования, что бы это ни было(а я не помню, о чём Вы говорите).

schekn в сообщении #818692 писал(а):

Ну то есть Вы согласны, что ни по виду метрики , ни по виду координатных преобразований, еще ничего нельзя сказать о физической реальности, которую они описывают.

По-моему, я выразился достаточно ясно: формулы должны сопровождаться их интерпретацией. Интерпретация при определённых условиях подразумевается "по умолчанию". Если подразумевается другая интерпретация, или если интерпретация "по умолчанию" не работает, то интерпретация должна быть указана явно.

schekn в сообщении #818692 писал(а):

У нас может быть просто смена значков t на -t, а может быть и то, время начало двигаться в другую сторону.

С какой это стати время "пойдёт в другую сторону" от замены $t$ на $-t$? Кстати, уравнения ОТО симметричны относительно такой замены. ОТО не содержит "стрелы времени".

schekn в сообщении #818692 писал(а):

Только теория дает при смене "уравнений связи" решения, которые могут описывать другую физическую реальность. Только Вы это не хотите понять.

Я вообще не понимаю, что Вы хотите сказать. Сами по себе дифференциальные уравнения имеют бесконечное множество решений. Если Вы хотите получить какое-то конкретное решение или семейство решений, то Вы должны задать соответствующие условия (начальные, граничные, условия типа какой-нибудь симметрии и т.п.). С чего Вы взяли, что при любых условиях такого рода должно получаться одно и то же решение, пусть и в разных координатах? В чём претензия-то состоит?

[Munin]

Someone в сообщении #818869 писал(а):

Значит, то, о чём Вы говорите — не калибровочные преобразования, что бы это ни было

Или он ошибается, говоря, что влияют (а с ним это постоянно...).

[EvgenB]

Someone в сообщении #818869 писал(а):

Я и говорю: при переходе к другим координатам меняется описание процесса, а не сам процесс.

Применительно к механике. В одной системе координат объект покоится, в другой движется. По-вашему, это два различных описания одного и того же процесса. Какого процесса? Я к тому, что в математике разделяют "активные" и "пассивные" преобразования системы координат. Как в физике - не знаю. Для меня этот вопрос является трудным. Подозреваю, что и для других тоже.

[Joker_vD]

EvgenB в сообщении #818925 писал(а):

По-вашему, это два различных описания одного и того же процесса. Какого процесса?

Процесса существования вдоль прямой мировой линии

[EvgenB]

Система координат, в которой объект покоится, и система координат, в которой этот объект движется, соответствуют различным физическим ситуациям. Я пытаюсь понять, всегда ли различным системам координат в физике соответствуют различные физические ситуации, или не всегда.
Например, космология. В одной системе координат галактики удаляются от центра системы с различными скоростями; в другой системе координат галактики неподвижны относительно этой системы, но расширяется разделяющее их пространство. Это различные физические ситуации, или нет?

[Munin]

В физике всегда различные системы координат соответствуют одной физической ситуации.
Физическая ситуация - это то, что происходит на самом деле.
Наблюдаемая картина - это то, как это выглядит для конкретного зрителя.

Например, физическая ситуация: поезд и перрон взаимно движутся. Наблюдаемая картина для зрителя в поезде: поезд на месте, перрон движется. Наблюдаемая картина для зрителя на перроне: поезд движется, перрон стоит.

[EvgenB]

Я допускаю точку зрения, что физическая ситуация и наблюдаемая картина - это одно и то же. Находится наблюдатель на перроне или в поезде, лично для него это разные физические ситуации. Чтобы перейти из одной в другую, ему надо совершить определенные физические действия. Представление о взаимном движении перрона и поезда возникает при сопоставлении координатных систем, связанных с перроном и поездом. В общем, представление о физическом мире складывается при сопоставлении различных наблюдений (физических ситуаций), но существует ли мир сам по себе, безотносительно к этим наблюдениям - вопрос спорный.

[Munin]

EvgenB в сообщении #819462 писал(а):

Я допускаю точку зрения, что физическая ситуация и наблюдаемая картина - это одно и то же. Находится наблюдатель на перроне или в поезде, лично для него это разные физические ситуации.

Тогда вы не поймёте, что говорится в учебниках физики.

Что ж, я не против. Это ваше личное дело, ваш выбор.

На этом моё общение с вами заканчивается.

[PayMay]

Наблюдатель на рельсах почувствовал, что его переехал поезд, наблюдатель в поезде, тоже это мимоходом заметил, однако, и здесь и далее идет описание одного и того же физического процесса, так что, ничего особенно не меняется, ни для наблюдателя без головы, ни для наблюдателя в СО пассажира пьющего чай коньяк. Описание и реальность взаимно согласованны. Никакой мистики

[EvgenB]

Munin в сообщении #819467 писал(а):

Тогда вы не поймёте, что говорится в учебниках физики.

Честное слово, я понимаю учебники. А Вас нет. Вы, вроде бы, не против идеалистической философии. Но стоило мне намекнуть, что я разделяю эту ересь, Вы мне сразу приговор.

[Munin]

Идеалистическая философия - это одно. Допущение, что мир не один, а их много, и каждому мерещится свой собственный - это другое. К идеалистической философии отношения не имеющее. И непригодное в физике. Потому что эти мерещащиеся миры как-то надо сопоставлять, и в физике есть единственный способ: считать, что все они - различные проекции одного настоящего мира. Другие - экспериментально не подтверждаются.