Бесконечность простых чисел-близнецов

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #776887 писал(а):

На n-ом шаге добавляется отрезок $(p^2_{n-1}, p^2_n)$, поэтому простая группа может добавиться именно на этом интервале.

Но может и не добавляться ??

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #777451 писал(а):

vicvolf в сообщении #776887 писал(а):

На n-ом шаге добавляется отрезок $(p^2_{n-1}, p^2_n)$, поэтому простая группа может добавиться именно на этом интервале.

Но может и не добавляться ??

Если добавиться, то именно на этом интервале!

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #777481 писал(а):

Если добавиться, то именно на этом интервале!

Значит, совершенно не обязательно, чтобы группы появлялись в этом интервале при каждом шаге?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #777487 писал(а):

vicvolf в сообщении #777481 писал(а):

Если добавиться, то именно на этом интервале!

Значит, совершенно не обязательно, чтобы группы появлялись в этом интервале при каждом шаге?

Извините. Я уже писал об этом несколько раз и в разных темах. Мне надоело повторять одно и тоже много раз!

[vorvalm]

Спасибо, конечно извиняю.
И вы меня извините, т.к. я рассчитывал всего лишь на простой ответ: да или нет.

[Nilenbert]

Джеймс Мэйнард на конференции в Обервольфахе заявил, что ему удалось доказать, что существует бесконечное количество простых чисел с разностью меньше 700. Скоро препринт будет опубликован. Некоторые детали тут:

http://terrytao.wordpress.com/2013/10/1 ... ent-248898

http://blogs.ethz.ch/kowalski/2013/10/2 ... de-lannee/

Судя по всему его доказательство существенно отличается от Чжана.

[vorvalm]

Nilenbert
Спасибо. Здесь надо внимательно разбираться.

[vorvalm]

Интервал ($p^2_{n-1},p^2_n$), в дальнейшем $Ip^2$, входящий в интервал $Ip$ ПСВ,
не может быть критерием оценки числа различных групп вычетов, существующих в ПСВ.
Элементарная статистика показывает, что число таких групп как (2,4),(2,4,2),(2,4,2,4,)(4,2,4,2,4)
в этих интервалах может быть равна 0.

$Ip^2$ (2,4) (2,4,2) (2,4,2,4) (4,2,4,2,4)
2
3 ___ 0 ___ 0 _____ 0 ______ 0
5 ___ 2 ___ 1 _____ 1 ______ 1
7 ___ 1 ___ 0 _____ 0 ______ 0
11___2 ___ 1 _____ 1 ______ 1
13___0 ___ 0 _____ 0 ______ 0
17___2 ___ 1 _____ 0 ______ 0
19___2 ___ 0 _____ 0 ______ 0
23___1 ___ 0 _____ 0 ______ 0
29___1 ___ 1 _____ 0 ______ 0
31___2 ___ 0 _____ 0 ______ 0
37___3 ___ 0 _____ 0 ______ 0
41___4 ___ 1 _____ 1 ______ 1
43___0 ___ 0 _____ 0 ______ 0
47___3 ___ 2 _____ 0 ______ 0
53___4 ___ 0 _____ 0 ______ 0
59___2 ___ 2 _____ 0 ______ 0
61___2 ___ 0 _____ 0 ______ 0

Очередные группы (2,4,2,4) и (4,2,4,2,4) появятся только при $M=113\#$.
Но мы не знаем что будет и с близнецами при дальнейшем увеличении $p_n.$
А если их число конечно? Поэтому, критерием бесконечности этих групп в натуральном ряду
является наличие хотя бы одной группы не в интервале $Ip^2$, но в интервале $Ip.$
Это доказывается элементарно.
Если предположить, что число указанных групп конечно,
то при определенном модуле в ПСВ(М) и в последующих их не будет.
Но мы знаем, что такие группы, состоящие из взаимно простых вычетов,
существуют в любой ПСВ. И если мы докажем, что одна такая группа
все-таки есть в любом интервале Ip, т.е. среди простых чисел,
то это опровергает наше начальное предположение.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #805410 писал(а):

Поэтому, критерием бесконечности этих групп в натуральном ряду является наличие хотя бы одной группы не в интервале $Ip^2$, но в интервале $Ip.$

Почему?

[vorvalm]

Почему?

vorvalm в сообщении #805410 писал(а):

Если предположить, что число указанных групп конечно,
то при определенном модуле в ПСВ(М) и в последующих их не будет.
Но мы знаем, что такие группы, состоящие из взаимно простых вычетов,
существуют в любой ПСВ. И если мы докажем, что одна такая группа
все-таки есть в любом интервале Ip, т.е. среди простых чисел,
то это опровергает наше начальное предположение.

[vorvalm]

Теорема. Число пар простых чисел с разностью $d=4$
в натуральном ряду бесконечно.
Доказательство. Если у близнецов большее число из класса $6k+1$, то у
пар с разностью 4 большее число из класса $6k-1$.
Рассмотрим эти пары в ПСВ по модулю $M=p\#$ на интервале ($1/2M,3/2M$)
Такое расположение вычетов можно получить из ПСВ по модулю М
с минимальными по абсолютной величине вычетами, т.е.

$(-1/2M) -p_{r+1}^2,...-p_t,...-p_{r+1},\;-1,(M)+1,\;p_{r+1},...p_t,...p^2_{r+1}(+1/2M)$

Увеличив все вычеты этой ПСВ на величину модуля, получим ПСВ$(1/2M,3/2M)$,
которая необходима для того, чтобы иметь дело с натуральными вычетами.

Допустим, что число простых пар с разностью $d=4$ в ПСВ конечно. Тогда при
определенном достаточно большом модуле в ПСВ(М) и в последующих
таких пар не будет. Но пары вычетов с разностью $d=4$ существуют в
любой ПСВ в количестве $\varphi_2(M)=\prod_3^p(p-2)$. состоящих
из взаимно простых и смешанных вычетов.
Создадим группу из двух пар вычетов с разностью $d=4$ и общей разностью
между крайними вычетами группы $2p_t,\;(p_{r+1}<p_t<p^2_{r+1})$
Это натуральная группа

$(M-p_t,M-p_t+4,M+p_t-4,M+p_t)$ в ПСВ$(1/2M,3/2M)$ или

$(-p_t,\;-p_t+4,\;+p_t-4,\;+p_t)$ в ПСВ($-1/2M,+1/2M$) или

приведенная группа ($0,\;4,\;2p_t-4,\;2p_t$)

Определяем, существуют ли такие группы вычетов в ПСВ(М)
Для этого находим критерий существования групп в ПСВ (проходимость)

$K(p)=p+m(p)-n>0$ где

$p$- простое число, по которому можно сравнивать вычеты. $(p\mid M)$
$m(p)$- число сравнимых вычетов по модулю $p.$
$n$- число вычетов в группе.

Т.к. $n=4,$ то нам надо проверить проходимость только по модулю $p=3,$ т.к.
проходимости по модулям $p>3$ будут $>0.$
Определяем все возможные сравнения вычетов группы $D[4].$ (приведенной)

1) $0,2p_t-4$ и $4,2p_t.$ Два сравнения с модулем $2p_t-4=2(p_t-2)$.
Т.к. $p_t=6k-1,$ то модуль равен $2(6k-3),\;m(3)=2.\;K(3)=3+2-4=1.$.
2) $4,2p_t-4$ - модуль $2p_t-8=2(p_t-4)$, где $(p_t-4)$ вычет ПСВ взаимно
простой с модулем $M$, т.е. $K(p)=1.$
3) $0,2p_t$ - модуль $2p_t,\;p_t$ - вычет ПСВ, $K(p)=1.$
4) $0,4$ и $2p_t-4,2p_t$ - модуль $4,\;K(p)=1.$
По модулю $p=2,\;K(2)=1,$ т.к. $m(2)=n-1.$

Итак, группа $D[4]$ существует в любой ПСВ. Остается доказать, что число
таких групп в ПСВ нечетное.
Число групп типа $D[4]$ в ПСВ определяется формулой $A_4\varphi_4(M)=A_4\prod_5^p(p-4)$.
Функции $\varphi_4(M),\;\varphi_4(p)$ нечетные. Коэффициент $A_4=\prod K(p)/\varphi_4(p)$, где
проходимость $K(p)$ - нечетная при четных $m(p)$ и $n.$ В нашем случае $m(3)=2,\;n=4.$
Следовательно, число групп $D[4]$ в ПСВ нечетное. Это означает, что одна
группа $D[4]$ находится в центре ПСВ(1/2M,3/2M) или в ПСВ(-1/2M,+1/2M),
т.е. среди простых чисел.
Наше первоначальное предположение неверно. Число пар с $d=4$ бесконечно.

[vorvalm]

Бесконечность последовательной разности простых чисел $p_{n+1}=p_n+6.$

Разность $d=6$ будем рассматривать в составе группы вычетов (6,2,6). Обособленно
выделить эту разность не удается, т.к. она может быть группой вычетов (2,4) и (4,2).
Приведенная группа с разностями (6,2,6)
$d[4]=(0,6,8,14)$
Особенности таких групп.
1) Вычет группы $p=6k+1.$
2) Натуральные группы $D[4]$ имеют первый вычет $10x+3$.
последний вычет $10x+17.$

Создадим группу вычетов из двух групп $D[4]$ с общей разностью $2p$.
Это приведенная группа $H[8]=(0,6,8,14,2p-14,2p-8,2p-6,2p)$


Определяем проходимость этой группы, для чего необходимо найти все возможные сравнения
вычетов данной группы. Рутинные вычисления опускаем и приводим сводный перечень сравнений .
В числители - модули, в знаменателе - их число.

$(p-11)/2,\;(p-10)/2,\;(p-7)/4,\;(p-4)/2,\;(p-3)/2,\;2/2,\;6/4,\;8/4,\;14/2.$

Непарные модули сравнений вычетов $p,\;(p-6),\;(p-8),\;(p-14)$ - вычеты ПСВ
взаимно простые с модулем М и проходимость для них $K(p)=1.$


Проходимость по простым модулям $K(p)=p+m(p)-n>0$, где
$m(p)$ - число вычетов группы, сравнимых по модулю $p,\;(p\mid M)$
$n$ - число вычетов в группе.

$p=3,\;K(3)=3+m(3)-8.$ Т.к. $p=6k+1,$ то имеем 4 модуля 6 и два модуля $(p-4)$,
т.е. $m(3)=6,\;K(3)=3+6-8=1$

$p=5,\;K(5)=5+m(5)-8.$ Т.к. $p=10x+17,$ то имеем 4 модуля $(p-7),$
т.е. $m(5)=4,\;K(5)=5+4-8=1.$

$p=7,\;K(7)=7+m(7)-8.$ Имеем два модуля 14, т.е. $m(7)=2,\;k(7)=1.$

При $p>7,\;k(p)>0.$

Учет других модулей увеличивает величину $K(p)$, но оставляет это число нечетным
из-за парности модулей сравнения.
Группа $H[8]$ существует в любой ПСВ при $M>30.$
Остается доказать, что число таких групп в ПСВ нечетное.
Число групп $H[8]$ определяется формулой $A_8\varphi_8(M)$.
Функции $\varphi_8(M)$ и $\varphi_8(p)$ нечетные. Коэффициент $A_8=\prod_p K(p)/\varphi_8(p).$
Проходимость $K(p)$ нечетная при четных $m(p)$ и $n$. В нашем случае
$m(p)$ по всем модулям четная и $n=8.$ Число групп $H[8]$ нечетное.
В ПСВ(-1/2M,+1/2M) одна такая группа находится в центре ПСВ, т.е. среди простых чисел.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #968538 писал(а):

В ПСВ(-1/2M,+1/2M) одна такая группа находится в центре ПСВ, т.е. среди простых чисел.

А где доказательство, что при изменении $M$ каждый раз будет новая группа. Ведь если группы повторяются, то их может быть конечное количество.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #968888 писал(а):

А где доказательство, что при изменении $M$ каждый раз будет новая группа. Ведь если группы повторяются, то их может быть конечное количество.

Требование появления новых групп вычетов в интервале $(p_{r+1},p^2_{r+1})$ при каждом
увеличении модуля ПСВ является избыточным.
Если в интервале $(p_{r+1},p^2_{r+1})$ при любом модуле присутствует хоть одна
исследуемая группа вычетов, то это означает, что как бы далеко мы не брали модуль ПСВ,
в указанном интервале всегда есть такая группа вычетов, независимо от того, повторяется она
из модуля в модуль или появляется новая.
Повторяющиеся группы долго существовать в интервале $(p_{r+1},p^2_{r+1})$ не могут
и при достижении $M=p_k\#$, где $p_k$ минимальный вычет группы, эта
группа выходит за нижний предел указанного интервала.
Эти группы, оставаясь среди простых чисел, уже не входят в число таких групп в ПСВ и формула
$A_n\varphi_n(M)$ их не учитывает, но показывает, что число таких групп с ростом модуля увеличивается
и при нечетном их числе одна группа всегда будет в интервале ($p_{r+1},p^2_{r+1}$).

[vicvolf]

Ранее в теме, после длительного обсуждения со мной, Вы пришли к выводу:

vorvalm в сообщении #776392 писал(а):

Я пытался доказать бесконечность таких групп, используя наработанный метод
(близнецы, триплеты и т.п.), но это мне не удалось. И это естественно, т.к.
на интервалах Ip при $M\geqslant 97\#$ их нет.
Видно надо применять что-то новое.

Где же это новое? Пока я вижу только старое.