Бесконечность простых чисел-близнецов

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #775880 писал(а):

vicvolf в сообщении #775662 писал(а):

полную систему вычетов по модулю 3 и 5,

Поясните, как это понимать?

Ну что такое полная система минимальных вычетов (ПСМВ) по модулю Вы знаете. Для простого модуля p - это числа: $0,1,....p-1$. Если группа натуральных чисел образуют ПСВМ по простому модулю p, то хотя бы одно из чисел ПСВМ не является простым. Ну, например, возьмем модуль p=3, тогда в группе, состоящей их 3-х чисел $(p, p+2, p+4)$ хотя бы одно не будет простым. Пример такой группы: $(11,13,15)$ - число 15 делится на 3. Следовательно, простых групп вида $(p, p+2, p+4)$ быть не может. Точнее может быть только одна, начинающаяся с простого числа 3: $(3,5,7)$.
Таким образом, необходимым условием, чтобы количество простых групп $(p,p+a_1,p+a_2)$ было бесконечно является то, что входящие в группу числа не образуют ПСВМ по модулю 3. Аналогично для простых групп из 4 чисел. Для групп, состоящих из 5 чисел надо дополнительно делать проверку, чтобы входящие в нее числа не образовывали ПСВМ по модулю 5 и.т.д.
Следовательно, необходимым условием, чтобы количество простых групп $(p,p+a_1,p+a_2,...p+a_k)$ было бесконечно является то, что входящие в группы числа не образуют ПСВМ по любому простому модулю p меньше или равного k. Это необходимое условие, однако, гипотеза Диксона, на которую я давал Вам ссылку, утверждает, что это условие одновременно является достаточным.

[vorvalm]

Спасибо. Я понял, что вы имели в виду. Но это все-таки гипотеза.
Я же предложил другой метод определения существования групп вычетов в ПСВ
и, следовательно, в интервале Ip. Это критерий "проходимости"(или просто "проходимость")
групп по простым модулям, входящим в модуль $M=p\#.$

$K(p)=p+m(p)-n$ где $p\mid M$

$m(p)$ - число вычетов группы, сравнимых по модулю р,
$n$ - число вычетов в группе.
Очевидно, что при $p>n,\;\;K(p)>0.$
Например, группа (4,2,4,2,4). Приведенная группа (с первым вычетом $a_1=0$)
$(0,4,6,10,12,16)$
Модуль $p=3,\;\;m(3)=4,\;\;K(3)=1$,
модуль $p=5,\;\;m(5)=2,\;\;K(5)=1$
$K(30)=1.$ Группа существует в любой ПСВ.

Я пытался доказать бесконечность таких групп, используя наработанный метод
(близнецы, триплеты и т.п.), но это мне не удалось. И это естественно, т.к.
на интервалах Ip при $M\geqslant 97\#$ их нет.
Видно надо применять что-то новое.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #776392 писал(а):

Я пытался доказать бесконечность таких групп, используя наработанный метод
(близнецы, триплеты и т.п.), но это мне не удалось. И это естественно, т.к.
на интервалах Ip при $M\geqslant 97\#$ их нет.
Видно надо применять что-то новое.

Даже, если на нескольких интервалах подряд Ip есть одна простая группа, то это может одна и таже группа, так как интервалы Ip пересекаются. Поэтому надо показывать наличие хотя бы одной простой группы на непересекающихся интервалах, как я сделал в предыдущем сообщении.

-- 18.10.2013, 11:04 --

Цитата:

Пусть f(n) последовательность простых групп (4,2,4,2,4), тогда:
$\pi(f,7,7^2)=1, \pi(f,7^2,11^2)=1, \pi(f,11^2,13^2)=0, \pi(f,13^2,17^2)=0,...$
$,\pi(f,109^2,113^2)=0, \pi(f,113^2,127^2)=1$.
Поэтому:
$\pi(f,7,7^2)+\pi(f,7^2,11^2)+\pi(f,11^2,13^2)+\pi(f,13^2,17^2)+$...$+\pi(f,109^2,113^2)+\pi(f,113^2,127^2)=1+1+0+...+0+1=3$
Так как группа (4,2,4,2,4) не образует полную систему вычетов по модулю 3 и 5, то количество таких групп в натуральном ряде бесконечно.
Не важно, что на многих интервалах $\pi(f,(p_i)^2,(p_{i+1})^2)=0$. Важно, что на бесконечном количестве интервалов $\pi(f,(p_i)^2,(p_{i+1})^2)$ не равно 0.

$\pi(f,7,7^2)+\pi(f,7^2,11^2)+\pi(f,11^2,13^2)+\pi(f,13^2,17^2)+$...$+\pi(f,109^2,113^2)+\pi(f,113^2,127^2)=1+1+0+...+0+1=3$
кстати соответствует интервалу $I= \bigcup_{i = 1}^{n}Ip_i$.

[vorvalm]

Несколько постов выше вы писали:

vicvolf в сообщении #773909 писал(а):

Но появление только одной дополнительной группы простых на интервале справа недостаточно для доказательства бесконечности количества простых групп в натуральном ряде. Надо доказать, что появляются хотя бы две новые группы простых на интервале Ip.

А теперь:

vicvolf в сообщении #776727 писал(а):

. Поэтому надо показывать наличие хотя бы одной простой группы на непересекающихся интервалах, как я сделал в предыдущем сообщении.

Как это понимать?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #776792 писал(а):

Несколько постов выше вы писали:

vicvolf в сообщении #773909 писал(а):

Но появление только одной дополнительной группы простых на интервале справа недостаточно для доказательства бесконечности количества простых групп в натуральном ряде. Надо доказать, что появляются хотя бы две новые группы простых на интервале Ip.

А теперь:

vicvolf в сообщении #776727 писал(а):

. Поэтому надо показывать наличие хотя бы одной простой группы на непересекающихся интервалах, как я сделал в предыдущем сообщении.

Как это понимать?

Раньше я писал об интервалах Ip, а теперь пишу об объединенном интервале - $I= \bigcup_{i = 1}^{n}Ip_i$.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #776793 писал(а):

Раньше я писал об интервалах Ip, а теперь пишу об объединенном интервале - $I= \bigcup_{i = 1}^{n}Ip_i$.

Но интервал Ip входит в этот интервал.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #776798 писал(а):

vicvolf в сообщении #776793 писал(а):

Раньше я писал об интервалах Ip, а теперь пишу об объединенном интервале - $I= \bigcup_{i = 1}^{n}Ip_i$.

Но интервал Ip входит в этот интервал.

Да, входит также как и все старые интервалы Ip, поэтому никакие простые группы из объединенного интервала не уходят. Следовательно, последовательность количества простых групп на таком интервале является неубывающей и достаточно добавления хотя бы одной группы на бесконечном числе шагов, чтобы число простых групп на интервале $I= \bigcup_{i = 1}^{n}Ip_i$ при n стремящемся к бесконечности было бесконечно. На n-ом шаге добавляется отрезок $(p^2_{n-1}, p^2_n)$, поэтому простая группа может добавиться именно на этом интервале.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #776887 писал(а):

Следовательно, последовательность количества простых групп на таком интервале является неубывающей и достаточно добавления хотя бы одной группы на бесконечном числе шагов, чтобы число простых групп на интервале $I= \bigcup_{i = 1}^{n}Ip_i$ при n стремящемся к бесконечности было бесконечно.

Я правильно вас понял, что достаточно доказать наличие одной группы в интервале Ip
в любой ПСВ, чтобы число таких групп было бесконечным при $n\rightarrow\infty$ ?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #776917 писал(а):

vicvolf в сообщении #776887 писал(а):

Следовательно, последовательность количества простых групп на таком интервале является неубывающей и достаточно добавления хотя бы одной группы на бесконечном числе шагов, чтобы число простых групп на интервале $I= \bigcup_{i = 1}^{n}Ip_i$ при n стремящемся к бесконечности было бесконечно.

Я правильно вас понял, что достаточно доказать наличие одной группы в интервале Ip
в любой ПСВ, чтобы число таких групп было бесконечным при $n\rightarrow\infty$ ?

Нет! Я же написал совсем другое.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #776925 писал(а):

Нет! Я же написал совсем другое.

Тогда непонятно, на каких этапах необходимо добавлять группы в интервал Iр , чтобы
их число в объединенном интервале возрастало.

[vicvolf]

$\bigcup_{i = 1}^{n}Ip_i= \bigcup_{i = 1}^{n-1}Ip_i+(p^2_{n-1}, p^2_n)$

[vorvalm]

Тогда вернемся к группе (4,2,4,2,4).
Её нет в интервалах Ip, а значит и в интервалах $(p^2_{n-1},p_n^2)$
от $M=97\#$ до $M=127\#$, однако вы заявили:

vicvolf в сообщении #775662 писал(а):

Так как группа (4,2,4,2,4) не образует полную систему вычетов по модулю 3 и 5, то количество таких групп в натуральном ряде бесконечно.

[vicvolf]

Давайте полностью:
Пусть f(n) последовательность простых групп (4,2,4,2,4), тогда:
$\pi(f,7,7^2)=1, \pi(f,7^2,11^2)=1, \pi(f,11^2,13^2)=0, \pi(f,13^2,17^2)=0,...$
$,\pi(f,109^2,113^2)=0, \pi(f,113^2,127^2)=1$.
Поэтому:
$\pi(f,7,7^2)+\pi(f,7^2,11^2)+\pi(f,11^2,13^2)+\pi(f,13^2,17^2)+$...$+\pi(f,109^2,113^2)+\pi(f,113^2,127^2)=1+1+0+...+0+1=3$
Так как группа (4,2,4,2,4) не образует полную систему вычетов по модулю 3 и 5, то количество таких групп в натуральном ряде бесконечно.
Не важно, что на многих интервалах $\pi(f,(p_i)^2,(p_{i+1})^2)=0$.
Важно, что на бесконечном количестве интервалов $\pi(f,(p_i)^2,(p_{i+1})^2)$ не равно 0.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #776959 писал(а):

Не важно, что на многих интервалах $\pi(f,(p_i)^2,(p_{i+1})^2)=0$.

Это относится только к группе (4,2,4,2,4) ?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #776967 писал(а):

vicvolf в сообщении #776959 писал(а):

Не важно, что на многих интервалах $\pi(f,(p_i)^2,(p_{i+1})^2)=0$.

Это относится только к группе (4,2,4,2,4) ?

Нет, конечно!