Волновая функция фотона в координатном представлении

[Lvov]

Munin в сообщении #789087 писал(а):

Да в общем, всем и так понятно, что Lvov ни черта физику недоучил, и порет в основном глупость. Но пока он хоть как-то реагирует на попытки диалога - с ним принято разговаривать спокойно. Может, попытаться направить на путь истинный.

Г.Munin, извините за нескромность, а Вы не уловили, что в отличие от многих "болтунов" я не только обсуждаю известные научные и не очень научные достижения, но по мере своих возможностей развиваю науку (это относительно того, кто кого ставит "на путь истинный")?

Munin в сообщении #789087 писал(а):

А кто вам сказал, что волновая функция должна быть представлением именно 4-мерного пространства? Она же вводится в шрёдингерщине в 3-мерном смысле. В 4-мерном она может обобщаться до чего-то немножко другого. А $\mathbf{E}+i\mathbf{H}$ - годный 3-вектор.

3-вектор в принципе непригоден для описания волновой функции принципиально релятивистских электродинамических явлений. В новой движущейся ИСО предложенное выражение для волновой функции $\mathbf{F} = \mathbf{E}+i\mathbf{H}$ не сохранит свою изначальную форму. Поэтому я считаю, что статью BialinckyI-Birola можно сразу, не заморачивая голову, "выбросить в мусорный ящик".

Paganel в сообщении #789167 писал(а):

В отличие от уважаемого ББ топикстартер пытается координатной волновой функцией фотона назвать некую часть вектор-потенциала, квадрат которой не имеет прямого отношения к распределению энергии (хотя бы потому, что распределение вектор-потенциала и распределение его временной производной в общем случае никак не связаны). Поэтому его "координатная волновая функция" это пустая болтовня, не имеющая никакого полезного операционного смысла и никакого полезного применения. Я уж не говорю о том, что калибровочной инвариантностью там и не пахнет, ибо разбиение вектор-потенциала на вихревую и потенциальную часть вовсе не однозначно (без доп. граничных условий на эти части) - вопреки безответственному заявлению ТС.

Г.Paganel, Вы демонстрируете свою научную безграмотность (извиняюсь, это отчет на слова в мой адрес "пустая болтовня"). В предыдущем сообщении Вам и ответе г.Munin'у я указал однозначную неприемлемость предложенного выражения для волновой функции.
Что касается плотности энергии-импульса, то в случае волнового уравнения Клейна-Гордона, каковым (с нулевой массой покоя) является волновое уравнение электродинамики для 4-вектора-потенциала и его вихревой части, она дается выражением

$$T_ik=\frac 1 2 ( \frac {\partial A^*_p} {\partial x^i} \, \frac {\partial A^p} {\partial x^k} + \frac {\partial A^*_p} {\partial x^k} \, \frac {\partial A^p} {\partial x^i} - \delta_{ik} \, \frac {\partial A^*_p} {\partial x^s} \, \frac {\partial A^p} {\partial x_s} ), $$

которое, как можно показать, в для плотности энергии приводится к сумме квадратов напряженностей электрического и магнитного полей.

Что же касается калибровочной инвариантности, то в стартовом сообщении я предупреждал:
"В данной теме нас будет интересовать только вихревая составляющая вектора-потенциала, при этом мы не будем использовать градиентное преобразование, оставив потенциальную составляющую $A^i_p$ для специалистов, разрабатывающих теорию продольного электродинамического поля. Мы также не будем использовать трехмерную калибровку вихревого вектора-потенциала, тем самым сохраняя его релятивистскую инвариантность и инвариантность определяемых на его основе показателей".
Подчеркну еще раз, ради получения релятивистской инвариантности волновой функции и получаемых на ее основе динамических показателей фотонного цуга, я предлагаю отказаться от градиентного преобразования вектора-потенциала и его 3-поперечной калибровки, которые введены лишь для упрощения выражений, и не имеют принципиального значения.

Вопреки Вашему утверждению разделение 4-вектора-потенциала на вихревую и потенциальную часть релятивистки инвариантно. Это следует уже из того, что все выражения, рассматриваемые при обсуждении данного вопроса, 4-инвариантны. Что же касается граничных условий, то укажу, что в данном случае рассматриваются поля, генерируемые истоками в некоторой области пространства, но не поля, приходящие из бесконечности.

Близкий к последним замечаниям, вопрос об определении вихревого 4-вектора-потенциала волнового ЭМ поля, заданного в конечной области пространства при известных напряженностях электрического и магнитного поля, я поставил в сообщении post788851.html#p788851. Надеюсь, мы еще вернемся к этому вопросу.

С уважением О.Львов

[Munin]

Lvov в сообщении #789215 писал(а):

Г.Munin, извините за нескромность, а Вы не уловили, что в отличие от многих "болтунов" я не только обсуждаю известные научные и не очень научные достижения, но по мере своих возможностей развиваю науку (это относительно того, кто кого ставит "на путь истинный")?

Нет, не уловил. Развивать науку - значит, добавлять в неё что-то ценное. Те, кто не знают науки, не знают и того, что их выдумки ценности не представляют. Так что вы в этом плане - совершенно типичный случай.

Lvov в сообщении #789215 писал(а):

Г.Paganel, Вы демонстрируете свою научную безграмотность (извиняюсь, это отчет на слова в мой адрес "пустая болтовня").

LOL

Точнее, вы просто ничего не поняли из сказанного.

Lvov в сообщении #789215 писал(а):

Вопреки Вашему утверждению разделение 4-вектора-потенциала на вихревую и потенциальную часть релятивистки инвариантно.

А утверждение-то было другое. И его вы тоже не поняли.

[Lvov]

Lvov в сообщении #788851 писал(а):

зачастую ЭМ поле (имеется ввиду волновой цуг в ограниченной пространственной области) задано лишь напряженностями электрического и магнитного поля и их временными производными в некоторый момент времени.
Мой вопрос к участникам форума таков. Можно ли данном случае определить вихревую составляющую вектора-потенциала волнового поля?

Далее я предлагал метод определения вектора-потенциала волнового ЭМП при известных напряженностях электрического и магнитного полей. Но этот метод сложен. Предлагаю другой, более простой вариант вычисления зарядов-токов, гасящих электромагнитную волну, и позволяющих вычислить искомый вектор-потенциал ЭМ поля, как опережающий потенциал.
Представим, что на пути распространения волнового пакета находится некоторая идеально проводящая поверхность. На такой поверхности возникают заряды и токи, которые гасят падающую волну, и создают отраженную волну. Величина этих зарядов-токов легко поддается расчету. Так величина плотности заряда на указанной поверхности $\rho=E_n$, где $E_n$ - нормальная составляющая вектора электрического поля, а плотность тока здесь равна $\mathbf{J}=\mathbf{H}\times\mathbf{n},$ где $\mathbf{n}$ - вектор нормали к поверхности в рассматриваемой точке. В релятивистски-инвариантной форме поверхностная плотность заряда-тока отвечает выражению $J^i=F^{ik}n_k.$

Опережающие потенциалы вычисляются по формуле

$$A^i(x,t)= - \int {\frac {J^i} {R} dl},$$

где интегрирование производится по линиям пересечения контрольной отражающей поверхности с поверхностью светового конуса, направленного в будущее время, с вершиной в точке искомого потенциала. Здесь $R$ - пространственное расстояние до линии интегрирования, при этом значение плотности тока-заряда в точке интегрирования берется для упрежденного времени $t'=t+R/c.$ Интегрирование упрощается, если в качестве контрольной поверхности выбрана плоскость. В этом случае линия интегрирования для некоторого значения времени $t$ превращается в окружность, вдоль которой упреждение времени остается постоянным.

С уважением О.Львов

[Paganel]

Препираться мне скучно. Вместо этого хотел бы распросить ТС об азах его теории, о том - зачем он все это делает.

Вопрос №1. Чем конкретно вас не устраивает обычный вектор-потенциал $A(x)$ в качестве волновой функции? Какую проблему с ним вы видите? Какую конкретную трудность вы преодолеваете, устраняя некоторую "градиентную часть" и оставляя только "вихревую часть"?

Вопрос вызван тем, что все физические наблюдаемые, предсказываемые в электродинамике, не зависят от калибровки потенциала $A(x)$, т.е. от выбора его градиентной части. Поэтому для физики любого дела, в том числе касающегося пространственного распределения фотонов, должно быть совершенно пофигу, оставляете ли вы только какую-то вихревую часть или используете весь вектор-потенциал. С этой точки зрения является полной загадкой, в чем же состоит профит вашей процедуры и откуда он вообще может взяться.

Я в курсе, что лично вы не очень хотите обсуждать калибровочную инвариантность. Но давайте не закрывать глаза и обсуждать не ваши хотелки, а вашу теорию, которая должна жить независимо от автора, если она не полное фуфло. Отмахиваться тут не стоит.

(Я бы еще мог спросить - разве убираемая часть фиксирована однозначно, без произвола?? Но об этом лучше потом, если дело дойдет.)

Вопрос №2. Зачем вам нужно выделять из $A(x,t)$ положительно-частотную часть (ПЧЧ)? К примеру, для дираковского электрона во внешнем поле его волновой функцией является вся функция $\psi(x,t)$, а ПЧЧ выделяют из нее лишь при обсуждении нерелятивистского предела. Вы что - интересуетесь нерелятивистскими фотонами? Что именно вас не устраивает в полном вектор-потенциале и какую конкретную проблему вы преодолеваете, оставляя в $A(x,t)$ только ПЧЧ?

И дополнительный вопрос. ЭМ поля и потенциалы, генерируемые обычными (классическими) зарядами и токами, являются вещественными (а не комплексными) числами, и в них положительные и отрицательные частоты присутствуют в равном количестве. Надо ли это понимать так, что согласно вашей теории половина такого поля состоит из фотонов, а другая - нет?

[Lvov]

Munin в сообщении #789217 писал(а):

А утверждение-то (г.Paganel) было другое. И его вы тоже не поняли.

Ну что же, попробую внимательнее разобраться в упомянутом сообщении г.Paganel.

Paganel в сообщении #789167 писал(а):

В отличие от уважаемого ББ топикстартер пытается координатной волновой функцией фотона назвать некую часть вектор-потенциала, квадрат которой не имеет прямого отношения к распределению энергии (хотя бы потому, что распределение вектор-потенциала и распределение его временной производной в общем случае никак не связаны). Поэтому его "координатная волновая функция" это пустая болтовня, не имеющая никакого полезного операционного смысла и никакого полезного применения. Я уж не говорю о том, что калибровочной инвариантностью там и не пахнет, ибо разбиение вектор-потенциала на вихревую и потенциальную часть вовсе не однозначно (без доп. граничных условий на эти части) - вопреки безответственному заявлению ТС.

В отличие от уравнения Шредингера в рассматриваемом случае имеет место уравнение Клейна-Гордона (с нулевым массовым членом). Поэтому плотность распределения действия (фотона) и плотность его энергии определяются совсем иными выражениями, которые я привел в стартовом сообщении.
Касательно "полезного операционного смысла и полезного применения" замечу, что мои выражения для показателей ЭМ цуга - фотона, углубляя понимание квантовых свойств волнового ЭМ поля, представляют интерес в теоретическом плане.
Касательно калибровочной инвариантности (калибровочных и градиентных преобразований вектора-потенциала), недопустимых при введении и анализе волновой функции фотона на основе вектора-потенциала, я уже неоднократно говорил, - указанные операции применяется лишь для упрощения математических выражений и не имеют принципиального значения.
Касательно однозначности-неоднозначности определения вихревого вектора-птенциала ЭМ поля я указывал, что в рассматриваемом случае он однозначно определяется в дальней зоне через свои источники - электрические заряды-токи. Потенциальная компонента вектора-потенциала ЭМ поля при этом не создается.
Что же касается возможности определения вихревой составляющей вектора-потенциала волнового ЭМ поля по его напряженностям, то мои сообщения в этой части представляют лишь гипотезы, выставленные на суд оппонентов. Я сам не вполне уверен в их справедливости, и хотел бы увидеть критические замечания оппонентов.

С уважением О.Львов

[Lvov]

Paganel в сообщении #789710 писал(а):

Вопрос №1. Чем конкретно вас не устраивает обычный вектор-потенциал $A(x)$ в качестве волновой функции? Какую проблему с ним вы видите? Какую конкретную трудность вы преодолеваете, устраняя некоторую "градиентную часть" и оставляя только "вихревую часть"? (И далее)

Замечу для начала, что многочисленные попытки построить волновую функцию фотона на основе напряженностей ЭМ поля оказались безрезультатными. На основе вектора-потенциала построение волновой функции возможно, что я и демонстрирую.

Градиентная часть вектора-потенциала не несет информации о наблюдаемых явлениях ЭМ поля, но в то же время изменяет значения показателей фотонного цуга, определяемых через волновую функцию на основе вектора-потенциала.
Калибровочную инвариантность я обсуждаю, но лишь в той мере, в которой она касается настоящей темы.
"Убираемая часть" (градиентная составляющая вектора-потенциала) не убирается, а вообще не фигурирует при рассмотрении волновой функции фотона (волнового цуга).

Paganel в сообщении #789710 писал(а):

Вопрос №2. Зачем вам нужно выделять из $A(x,t)$ положительно-частотную часть (ПЧЧ)? К примеру, для дираковского электрона во внешнем поле его волновой функцией является вся функция $\psi(x,t)$, а ПЧЧ выделяют из нее лишь при обсуждении нерелятивистского предела. Вы что - интересуетесь нерелятивистскими фотонами? Что именно вас не устраивает в полном вектор-потенциале и какую конкретную проблему вы преодолеваете, оставляя в $A(x,t)$ только ПЧЧ? (И далее)

Для начала замечу, что для построения волновой функции фотона можно было бы использовать отрицательно-частотную часть вектора-потенциала (ОЧЧ), но для определенности я остановился на ПЧЧ.

На основе действительного вектора-потенциала, мне не удалось построить 4-вектор плотности-потока действия ЭМ поля и некоторые из операторов динамических показателей квазичастицы. Также замечу, что в расчетных формулах КЭД, как правило, используется комплексное представление волнового ЭМ поля (вспомните поля "излученного и поглощенного фотонов").

Я не знаю никакого нерелятивистского фотона.

Уравнения Дирака описывают электрон и позитрон, поэтому здесь рассматриваются все решения. Фотон нейтральная квазичастица, здесь ПЧЧ, как и ОЧЧ, несут полную информацию о волновом ЭМ поле.

В квантовой теории широко используются комплексные величины. Посмею утверждать, что они косвенно отражают реальные вещественные показатели. Например, амплитуду и фазу некоторого циклического процесса.

С уважением О.Львов

[Paganel]

Lvov в сообщении #789805 писал(а):

Замечу для начала, что многочисленные попытки построить волновую функцию фотона на основе напряженностей ЭМ поля оказались безрезультатными.

Это не совсем верно - читайте ББ. То, что вы его статью не поняли, не является опровержением. Кстати, ББ не олух царя небесного, а вполне авторитетный и грамотный физик. Вот фрагмент абстракта одной его недавней статьи, "Uncertainty Relation for Photons", опубликованной в далеко не последнем журнале с очень придирчивыми и квалифицированными рецензентами (Phys. Rev. Lett. 108, 140401 (2012); см. также ее продолжение в Phys. Rev. A 86, 022118 (2012)):

The uncertainty relation for the photons in three dimensions that overcomes the difficulties caused by the nonexistence of the photon position operator is derived in quantum electrodynamics. The photon energy density plays the role of the probability density in configuration space.

Обратите внимание на подчеркиваемое ББ несуществование оператора координаты фотона. (Кстати, дело тут не в фотоне. Хорошего оператора координаты нет у любой релятивистской частицы, о чем у меня упоминается в посте, в котором вы ни хрена не поняли.)

O.Lvov писал(а):

На основе вектора-потенциала построение волновой функции возможно, что я и демонстрирую.

Вы так и не ответили на мой вопрос: в чем состояла проблема использовать здесь обычный вектор-потенциал и куда она делась (да и делась ли вообще, ха-ха?!) после того, как вы вектор-потенциал обкромсали?

O.Lvov писал(а):

Градиентная часть вектора-потенциала не несет информации о наблюдаемых явлениях ЭМ поля, но в то же время изменяет значения показателей фотонного цуга, определяемых через волновую функцию на основе вектора-потенциала.

Разве это не означает, что такие "показатели фотонного цуга" - ненаблюдаемая муть, не имеющая физического смысла?

O.Lvov писал(а):

Калибровочную инвариантность я обсуждаю, но лишь в той мере, в которой она касается настоящей темы.

Не могу согласиться. Эта инвариантность просто режет ваш подход на корню, и если бы вы ее действительно обсуждали, то сами бы это осознали.

O.Lvov писал(а):

"Убираемая часть" (градиентная составляющая вектора-потенциала) не убирается, а вообще не фигурирует при рассмотрении волновой функции фотона (волнового цуга).

А где ваши доказательства? Дефиниция-от-фонаря вроде "я так хочу! и мне никто не запретит использовать лоренцевскую калибровку" доказательством не является, пока не предъявлены аргументы, почему другие калибровки не годятся. Но как раз в силу калибровочной инвариантности (т.е. независимости любых наблюдаемых от выбора калибровки) таковых аргументов просто быть не может.

Проблема с вашей дефиницией-от-фонаря еще и в том, что она вовсе не ведет к однозначной величине вектор-потенциала и, следовательно, к однозначной "волновой функции". Дело в том, что уравнение Даламбера, даже после наложения лоренцевской калибровки, все еще не ведет к единственному решению. Для единственности нужны граничные плюс начальные условия. А где их взять?! Отговорки типа "примем поля исчезающими на пространственной бесконечности" не прокатят, так как исчезновение полей на бесконечности не означает исчезновение там вектор-потенциала. И я уж молчу про начальные условия, которые, в частности, определяют, будет ли потенциал запаздывающим, опережающим или еще каким. Их-то вы откуда собираетесь брать?

Paganel писал(а):

Вопрос №2. Зачем вам нужно выделять из $A(x,t)$ положительно-частотную часть (ПЧЧ)?

O.Lvov писал(а):

Для начала замечу, что для построения волновой функции фотона можно было бы использовать отрицательно-частотную часть вектора-потенциала (ОЧЧ), но для определенности я остановился на ПЧЧ.

Здорово! Так это снова произвольная хотелка? Что хочу, то и называю волновой функцией?

Paganel писал(а):

А нахрена вообще брать только одну часть?

O.Lvov писал(а):

На основе действительного вектора-потенциала мне не удалось построить 4-вектор плотности-потока действия ЭМ поля и некоторые из операторов динамических показателей квазичастицы.

А может, и не надо его строить путем извращения законов электродинамики? А то у вас получается, что поток фотонов определяется ПЧЧ частью потенциала, тогда как поля, силы, энергии и пр. - все, с чем люди имеют дело в жизни - определяется полным потенциалом. Зачем тогда нужен такой поток? Какое отношение он имеет к реальности?

O.Lvov писал(а):

Фотон нейтральная квазичастица, здесь ПЧЧ, как и ОЧЧ, несут полную информацию о волновом ЭМ поле.

Насчет полной информации я не в курсе, а вот насчет того, что ПЧЧ несет полную энергию поля - практически уверен, что это не так, и что без ОЧЧ вы правильную энергию не получите (скорее всего - получите половину). Было бы хорошо, если бы вы это проверили расчетом и предъявили и вычисление, и результат. Слабо?

[Lvov]

Напомню, что в части квантовой теории я придерживаюсь воззрений, в ряде случаев отличных от принятых в ее стандартной интерпретации.
При построении волновой функции фотона и его динамических показателей я широко использую вариационную методику Лагранжа.

Paganel в сообщении #789913 писал(а):

Вы так и не ответили на мой вопрос: в чем состояла проблема использовать здесь обычный вектор-потенциал и куда она делась (да и делась ли вообще, ха-ха?!) после того, как вы вектор-потенциал обкромсали?...
Разве это не означает, что такие "показатели фотонного цуга" - ненаблюдаемая муть, не имеющая физического смысла?

На вопрос, чем плох обычный вектор-потенциал в качестве волновой функции я ответил в предыдущем сообщении. Вкратце повторюсь:
На основе действительной функции $A(x,t)$ невозможно построить вектор плотности-потока вероятности обнаружения фотона и некоторые операторы его показателей.
Градиентная составляющая волновой функции искажает и делает неоднозначными динамические показатели фотона.
Калибровочные преобразования в трехпространстве нарушают релятивистскую инвариантность некоторых электродинамических показателей.

Цитата:

(Paganel относительно равноправности ПЧЧ и ОЧЧ вектора-потенциала, Lv)
...вы вектор-потенциал обкромсали?
...снова произвольная хотелка? Что хочу, то и называю волновой функцией?
...насчет того, что ПЧЧ несет полную энергию поля - практически уверен, что это не так, и что без ОЧЧ вы правильную энергию не получите (скорее всего - получите половину)

Посмотрим на мои формулы и вспомним математику. Отрицательночастотная часть действительной волновой функции комплексно сопряжена положительночастотной ее части (и наоборот). Их сумма дает исходный вектор-потенциал. В лагранжиан и тензоры показателей фотона волновая функция и сопряженная ей функция входят равноправно. Поэтому безразлично - ППЧ или ОПЧ называть волновой функцией.
Однако в операторные интегралы ППЧ и ОПП могут входить несимметрично. Но это влияет лишь на знак интегрального выражения, что не принципиально.

Что же касается распределения энергии и других показателей, то эти величины отличаются при квантовом описании фотонного цуга и максвелловском описании волнового ЭМП. Интегральные же значения всех величин в обоих случаях совпадают. Главное отличие распределения энергии-импульса в том, что при квантовом описании эти показатели усредняются на периоде и длине волны. Кроме того приведенная мною формула для тензора энергии-импульса отвечает его канонической части. Спиновая же часть ТЭИ здесь не учитывается, поэтому на периферийном участке цуга плотность импульса получается иной, чем это следует из уравнений Максвелла. Более подробно затронутые здесь вопросы изложены в моем сообщении post775239.html#p775239 .

Цитата:

Paganel
Эта (калибровочная) инвариантность просто режет ваш подход на корню, и если бы вы ее действительно обсуждали, то сами бы это осознали.
...где ваши доказательства? Дефиниция-от-фонаря вроде "я так хочу! и мне никто не запретит использовать лоренцевскую калибровку" доказательством не является, пока не предъявлены аргументы, почему другие калибровки не годятся. Но как раз в силу калибровочной инвариантности (т.е. независимости любых наблюдаемых от выбора калибровки) таковых аргументов просто быть не может.

Еще раз повторю: калибровочная инвариантность не имеет принципиального значения, она используется для упрощения формул. В моем варианте волновой функции применение калибровочных преобразований недопустимо.

Цитата:

Paganel ...все, с чем люди имеют дело в жизни - определяется полным потенциалом.

Квантовая теория несколько упрощает жизнь. Например, неизвестные точные уравнения полей частиц (которые тщетно искал Эйнштейн и продолжают его попытки нынешние энтузиасты) заменяются достаточно адекватными их волновыми уравнениями. Исключительный случай - электродинамика. Здесь известны, как точные уравнения полей (уравнения Максвелла), так и упрощенный их квантовый аналог (если принять за таковой мой опус).

Цитата:

Paganel ...ББ не олух царя небесного, а вполне авторитетный и грамотный физик.

Это несомненно, я даже бы сказал дерзающий физик. Но он жертва принятых неправильных представлений, и идет по ложному пути. Например, будучи не в силах найти выражение для плотности обнаружения фотона, он, сродни любителю физики Tcaplin'у, делает упор на плотность энергии ЭМ поля, не ведая, что существует другой, более подходящий в данном случае показатель - плотность квантового действия ЭМ поля - аналог плотности заряда в квантовой теории.
Что же касается плотности вероятности некоторой координаты фотона, то она может быть выражена через волновую функцию, точно также как в случае других частиц, т.е. оператор координаты частицы равен $x^i.$ И "цена" такой средней координаты фотона-волнового цуга точна та же, что и цена средней координаты электрона. Например, в случае атомного электрона его средняя координата совпадает с центром атома.

Цитата:

Было бы хорошо, если бы вы это проверили расчетом и предъявили и вычисление, и результат. Слабо?

Я кое что, проверял расчетом, и некоторые результаты изложил в уже упомянутом сообщении post775239.html#p775239 .

С уважением О.Львов

[Paganel]

Munin в сообщении #789208 писал(а):

А почему нельзя определить координату как просто фурье-образ (тьфу, оригинал) от импульса?

Сначала переформулирую вопрос (ведь не думаете же вы, что оператор координаты есть фурье-образ оператора импульса?):
почему нельзя определить волновую функцию $A(x)$ в координатном представлении как фурье-образ волновой функции $A(p)$ в импульсном представлении и наоборот?

Теперь отвечу (как умею).
Не только не нельзя, но именно так и делается. В частности, в операторной формулировке КЭД матричному элементу $\psi(x)=\langle 0|\hat\psi(x)|1e\rangle$ оператора квантованного дираковского поля $\hat\psi(x)$ между одноэлектронным состоянием $|1e\rangle$ и вакуумом $|0\rangle$, который обычно называется волновой функцией электрона в координатном представлении, отвечает фурье-образ $\psi(p)=\int e^{ipx}\psi(x)\,dx$, обычно называемый волновой функцией электрона в импульсном представлении.

Хотел бы, правда, отметить то, про что забывают при упрощенном изложении. При калибровочном преобразовании $A_\mu(x)\to A_\mu(x) + \partial_\mu\Lambda(x)$, $\hat\psi(x)\to\exp(-ie\Lambda(x))\hat\psi(x)$, где $e$ заряд электрона и для простоты $\Lambda(x)$ считается c-числом, волновая функция $\psi(x)$ приобретает дополнительную фазу, а ее фурье-образ $\psi(p)$ меняется до неузнаваемости - в случае сложной зависимости $\Lambda(x)$ от $x$. Так что в этом смысле волновая функция электрона - далеко не столь однозначная вещь, как порой это изображают.

ИМХО для фотона также вполне допустимо называть волновой функцией величину $A(x)=\langle 0|\hat A(x)|1\gamma\rangle$, которая, как и в случае электрона, меняется при изменении калибровки. Обычно подчеркиваемая разница с электроном состоит в том, что величина $|A(x)|^2$ при изменении калибровки меняется, тогда как $|\psi(x)|^2$ - нет. Это дает основание горячим головам думать, что для электрона $|\psi(x)|^2$ описывает вероятность найти частицу в точке $x$, и только для фотона $|A(x)|^2$ подобная интерпретация теряется.

В действительности, как я постарался объяснить в посте post789167.html#p789167, даже в случае электрона дираковский ток $\bar\psi(x)\gamma\psi(x)$ вовсе не дает "распределение координаты электрона" (ввиду отсутствия в КЭД оператора координаты), а дает просто электрический ток, который - в отличие от мифической координаты электрона - есть хорошо определенный квантово-теоретический объект.

Кстати, при обсуждении знаменитого парадокса Кляйна подобную тонкость тоже стоит иметь ввиду, чтобы не впадать в ступор при ответе на нефизические вопросы об отрицательном токе вероятности для скалярных частиц, вызванные чересчур наивной интерпретацией электрического тока как тока вероятности.

Вместо распределения фотона по координате корректней говорить о распределении энергии-импульса в однофотонном состоянии. Именно об писал ББ. Он, однако, не писал, что тоже самое справедливо и для электрона...

[Munin]

Paganel в сообщении #790553 писал(а):

ведь не думаете же вы, что оператор координаты есть фурье-образ оператора импульса?

А что мешает так подумать-то? Я именно это имел в виду.

Paganel в сообщении #790553 писал(а):

Сначала переформулирую вопрос (ведь не думаете же вы, что оператор координаты есть фурье-образ оператора импульса?):
почему нельзя определить волновую функцию $A(x)$ в координатном представлении как фурье-образ волновой функции $A(p)$ в импульсном представлении и наоборот?

Я всю дорогу был уверен, что $A(x)$ и $A(p)$ - это именно операторы, и именно для них и представлял себе преобразование Фурье.

Paganel в сообщении #790553 писал(а):

волновая функция $\psi(x)$ приобретает дополнительную фазу, а ее фурье-образ $\psi(p)$ меняется до неузнаваемости - в случае сложной зависимости $\Lambda(x)$ от $x$.

Почему до неузнаваемости? Простое произведение двух функций в образах будет простой же свёрткой. Осталось сформулировать для образов тот факт, что один из сомножителей всюду имеет модуль единица (если это вообще стоит возни). Наверное, стоит калибровочное слагаемое тоже разложить по Фурье...

Paganel в сообщении #790553 писал(а):

ИМХО для фотона также вполне допустимо называть волновой функцией величину $A(x)=\langle 0|\hat A(x)|1\gamma\rangle$, которая, как и в случае электрона, меняется при изменении калибровки.

Но в отличие от электрона, меняется гораздо проще. К фурье-образу добавляется произвольная продольная часть, и всё.

Paganel в сообщении #790553 писал(а):

Вместо распределения фотона по координате корректней говорить о распределении энергии-импульса в однофотонном состоянии. Именно об писал ББ. Он, однако, не писал, что тоже самое справедливо и для электрона...

Потому что несправедливо или потому, что забыл написать?

[Paganel]

Munin писал(а):

Я всю дорогу был уверен, что $A(x)$ и $A(p)$ - это именно операторы, и именно для них и представлял себе преобразование Фурье.

Это операторы, но не операторы координаты или импульса.

Munin писал(а):

Почему до неузнаваемости? Простое произведение двух функций в образах будет простой же свёрткой.

Я имел ввиду (для дальнейшего), что $|\psi(p)|^2$ изменится.

Munin писал(а):

Но в отличие от электрона, меняется гораздо проще. К фурье-образу добавляется произвольная продольная часть, и всё.

Не понимаю - вы возражаете или что?

Munin писал(а):

Потому что несправедливо или потому, что забыл написать?

ИМХО не потому, что несправедливо.

-- Ср ноя 20, 2013 03:26:13 --

To Lvov

Скорее всего, это мое последнее сообщение вам. Свои взгляды на предмет я изложил, и не один раз, повторять бесконечно смысла не вижу. Sapienti sat. Хотите - принимайте, хотите - живите своим умом. Мне все равно.

Пройдусь в режиме реплик по вашему последнему пост, не вдавась в слишком подробные объяснения, которые уже были даны.

Lvov писал(а):

Напомню, что в части квантовой теории я придерживаюсь воззрений, в ряде случаев отличных от принятых в ее стандартной интерпретации.

Это заявление меня бы очень впечатлило, если бы исходило от человека, продемонстрировавшего глубокое понимание физики вообще и стандартной интерпретации в частности.

Lvov писал(а):

При построении волновой функции фотона и его динамических показателей я широко использую вариационную методику Лагранжа.

Использование слов "динамические показатели фотона", отсутствующих в терминологии КЭД, сразу порождают сомнения в элементарной грамотности автора - несмотря на его знакомство с формализмом Лагранжа.

Lvov писал(а):

На основе действительной функции $A(x,t)$ невозможно построить вектор плотности-потока вероятности обнаружения фотона...

Саму вероятность обнаружения фотона (через матричный элемент энергии взамодействия) построить можно. А почему эта вероятность должна иметь поток?

Lvov писал(а):

Градиентная составляющая волновой функции искажает и делает неоднозначными динамические показатели фотона.

А кому нужны эти "динамические показатели фотона"? Сразу вспоминается Неуловимый Джо...

Lvov писал(а):

Калибровочные преобразования в трехпространстве нарушают релятивистскую инвариантность некоторых электродинамических показателей.

Как известно, в существующей теории ни одна наблюдаемая величина не меняется при калибровочных преобразованиях, которые поэтому на релятивистскую инвариантность наблюдаемых величин также не влияют. Что же касается неизвестных науке "некоторых электродинамических показателей", тут я умолкаю.

Lvov писал(а):

Посмотрим на мои формулы и вспомним математику. Отрицательночастотная часть действительной волновой функции комплексно сопряжена положительночастотной ее части (и наоборот). Их сумма дает исходный вектор-потенциал. В лагранжиан и тензоры показателей фотона волновая функция и сопряженная ей функция входят равноправно. Поэтому безразлично - ППЧ или ОПЧ называть волновой функцией.

Я бы тоже хотел вспомнить математику и кое-что вам объяснить.
Чтобы найти, например, ПЧЧ часть $A^+(t)$ функции $A(t)$, зависящей от времени, сначала следует найти фурье-компоненты $A(\omega)=\int A(t')\exp(i\omega t')\,dt'$, а потом отсуммировать их по области $\omega>0$:

$$A^+(t)=\int_{\omega>0} A(\omega)\exp(-i\omega t)\,d\omega = \int\frac{A(t')\,dt'}{2\pi i(t-t'-i0)}.$$

Аналогично, ОЧЧ часть $A^-(t)$ функции $A(t)$ равна

$$A^-(t)=\int_{\omega<0} A(\omega)\exp(-i\omega t)\,d\omega = -\int\frac{A(t')\,dt'}{2\pi i(t-t'+i0)}.$$

(всюду, где не указано явно, интегралы берутся в бесконечных пределах).

Разумеется, $A^+(t)+A^-(t)=A(t)$.

Обратите внимание: согласно вашей дефиниции волновая функция фотона в момент времени $t$ определяется значениями вектор-потенциала при всех $t'$. В частности, вашу волновую функцию фотона СЕЙЧАС нельзя найти, если пока неизвестно, что случится с ЭМ полем ЗАВТРА.

Lvov писал(а):

Что же касается распределения энергии и других показателей, то эти величины отличаются при квантовом описании фотонного цуга и максвелловском описании волнового ЭМП.

Понятие фотонного цуга науке (КЭД) неизвестно. Но КЭД описание пространственного распределения энергии у фотона в точности повторяет максвелловское описание (при том же вектор-потенциале), так что позвольте не согласиться насчет "отличаются".

Lvov писал(а):

Главное отличие распределения энергии-импульса в том, что при квантовом описании эти показатели усредняются на периоде и длине волны.

В общем, я ни разу не сомневался, что КЭД вы не знаете. Приведенные слова в этом меня только укрепляют.

Lvov писал(а):

Еще раз повторю: калибровочная инвариантность не имеет принципиального значения, она используется для упрощения формул. В моем варианте волновой функции применение калибровочных преобразований недопустимо.

Где используется?? Вами используется?? Пальцем показать можете?

Lvov писал(а):

Но он (ББ) жертва принятых неправильных представлений, и идет по ложному пути. Например, будучи не в силах найти выражение для плотности обнаружения фотона, он, сродни любителю физики Tcaplin'у, делает упор на плотность энергии ЭМ поля, не ведая, что существует другой, более подходящий в данном случае показатель - плотность квантового действия ЭМ поля - аналог плотности заряда в квантовой теории.

Кто тут жертва - я бы поспорил. Понятие плотности квантового действия науке неизвестно. Вообще, в физике действие это интеграл по времени от лагранжиана. И этот интеграл никакой плотностью (здесь и СЕЙЧАС) не обладает. Часто говорят о плотности лагранжиана, но не похоже, что вы имели в виду именно ее.

Lvov писал(а):

Что же касается плотности вероятности некоторой координаты фотона, то она может быть выражена через волновую функцию, точно также как в случае других частиц, т.е. оператор координаты частицы равен $x^i$.

В КЭД оператора координаты частицы нет. Впрочем, как и оператора импульса частицы. Зато есть оператор импульса всей системы, позволяющий вычислять импульс (но не координату) одночастичного состояния.

Lvov писал(а):

Я кое что проверял расчетом...

Настоятельно рекомендую проверить еще раз вычисление энергии и убедиться, что классическое вычисление с сохранением только ПЧЧ в вектор-потенциале не дает правильное значение энергии фотона $\hbar\omega$.

[Munin]

Paganel в сообщении #790599 писал(а):

Это операторы, но не операторы координаты или импульса.

Ах, точно, я балда!

Но соотношение между ними - это Фурье?

Paganel в сообщении #790599 писал(а):

Я имел ввиду (для дальнейшего), что $|\psi(p)|^2$ изменится.

А ну и пущай. Хотя спасибо за напоминание, что это не наблюдаемая.

Paganel в сообщении #790599 писал(а):

Не понимаю - вы возражаете или что?

Просто озвучиваю. Для себя, для других читателей темы, и на всякий случай, чтобы вы проверили, вдруг ошибаюсь.

Спасибо!

-- 20.11.2013 12:15:57 --

Paganel
Ещё нюанс по LaTeX-у: если хотите набрать пределы у интеграла сверху и снизу значка интеграла, а не сбоку (сбоку - американская типографская традиция, сверху-снизу - отечественная), то пишете:
\int\limits_{a}^{b}
вместо
\int_{a}^{b}

Paganel в сообщении #790599 писал(а):

Часто говорят о плотности лагранжиана

Вообще-то она плотность действия и есть (если понимать плотность в 4-смысле). Но Lvov точно не о ней, он это явно оговаривал: см. post785566.html#p785566 последние абзацы сообщения.

Paganel в сообщении #790599 писал(а):

В КЭД оператора координаты частицы нет. Впрочем, как и оператора импульса частицы. Зато есть оператор импульса всей системы, позволяющий вычислять импульс (но не координату) одночастичного состояния.

Ещё вопрос, а что-нибудь типа $p\,a^+_p a^{\vphantom{+}}_p$ не может быть оператором импульса частицы?

[Paganel]

Munin писал(а):

Но соотношение между ними - это Фурье?

Да, конечно.

Munin писал(а):

Ещё нюанс по LaTeX-у...

Спасибо, запомню.

Paganel писал(а):

В КЭД оператора координаты частицы нет. Впрочем, как и оператора импульса частицы. Зато есть оператор импульса всей системы, позволяющий вычислять импульс (но не координату) одночастичного состояния.

Munin писал(а):

а что-нибудь типа $p\,a^+_p a^{\vphantom{+}}_p$ не может быть оператором импульса частицы?

Может... Насчет импульса (фактически - 4-импульса) я погорячился и жалею, что сказал то, что сказал. Оператор 4-импульса свободных частиц вполне имеет право на жизнь как частный случай и составная часть оператора полного 4-импульса. Фактически, вы именно об этом и напомнили. Спасибо за поправку.

[Munin]

Ну тогда возвращаемся к вопросу, а почему нельзя аналогично и с координатой. Операторы рождения и уничтожения преобразуем по Фурье, множитель просто заменяем.

[Paganel]

Munin писал(а):

Ну тогда возвращаемся к вопросу, а почему нельзя аналогично и с координатой. Операторы рождения и уничтожения преобразуем по Фурье, множитель просто заменяем.

Типа $i\bar\psi(x)(\gamma_\mu\partial_\nu + \gamma_\nu\partial_\mu)\psi(x) \to \bar\psi(p)(\gamma_\mu x_\nu + \gamma_\nu x_\mu)\psi(p)$ в тензоре ЭИ?

Лучше бы этот вопрос задать знатокам, но пока они не подвалили, примите мои две копейки.

В релятивистских полевых теориях вроде КЭД известным образом - по Нётер - строят сохраняющиеся операторы полного 4-импульса $P_\mu$ (генераторы 4-трансляций группы Пуанкаре), а свободные частицы описывают как собственные состояния этого сохраняющегося оператора. Отдельно изобретать и вводить оператор 4-импульса свободных частиц нет нужды - все, что нужно, уже содержится в операторе полного 4-импульса.
(Именно про этот момент я хотел сказать, когда неудачно брякнул про несуществование оператора импульса частицы. В теории возмущений оператор полного 4-импульса явно содержит аддитивный кусок от свободных полей, и этот кусок вполне можно называть оператором 4-импульса свободных частиц.)

Между тем операторов полных 4-координат как генераторов сдвига полных 4-импульсов в группе Пуанкаре просто нет, и естественным путем взяться им в КЭД неоткуда - в том числе и для свободных частиц. В стандартной КЭД время системы это не оператор; соответственно 3-координаты тоже не операторы (и вообще, и для свободных полей-частиц в частности) - иное ИМХО вряд ли совместимо с релятивистской инвариантностью. Из генераторов группы Пуакаре - на основе генератора буста - можно соорудить оператор, который включает член $-\frac12(\mathbf{K}H^{-1}+H^{-1}\mathbf{K})$ и является аналогом оператора центра масс в нерелятивистских теориях. Он обладает каноническим коммутатором с 3-импульсом и упоминается во многих книжках. Однако он не является частью какого-нибудь 4-мерного объекта, и поэтому не слишком полезен в релятивистских теориях.

Математического фурье-равноправия времени и энергии в КЭД в любом случае нет: в отличие от времени энергия физических систем ограничена снизу, и есть состояние с наинизшей энергией (вакуум).

Попытки соорудить оператор координат предпринимались не раз. Широко известна статья Ньютона и Вигнера (перепечатка есть у Вигнера, "Этюды о симметрии"). Обсуждается она и в книжке Блохинцева "Пространство и время в микромире", которую я когда-то читал. Из более недавнего чтива могу упомянуть статью Мир-Касимов, Письма в ЭЧАЯ, т.3, №5(134) (2006) 17.

Свои слова о том, что в КТП нет оператора координаты, я хотел бы поправить - там нет ХОРОШЕГО оператора координаты. Точное утверждение состоит не в том, что нельзя придумать оператор, похожий на оператор координаты, а в том, что свойства этого оператора и его собственных состояний не похожи на то, к чему мы привыкли в нерелятивистской квантовой механике. В частности, волновая функция собственного состояния оператора координаты это не дельта-функция в обычном пространстве, а при бусте локализация собственного состояния разрушается. Подробнее см. оригинальные статьи.

До сих пор пользы от введения подобных операторов не наблюдалось. Поэтому аналогия с Неуловимым Джо встает в полный рост. ИМХО вместо распределения частиц по координате в КТП проще и наглядней говорить о распределении по координате их энергии-импульса.