Научите понимать косинус

[Oleg Zubelevich]

bigarcus в сообщении #748641 писал(а):

например при стандартном док-ве теоремы косинусов используется определение косинуса через треугольник

при стандартном доказательстве теоремы косинусов используется скалярное произведение, которое уже пора освоить

[venco]

К тому же для любого острого угла можно построить соответствующий прямоугольный треугольник.

[Oleg Zubelevich]

bigarcus в сообщении #748620 писал(а):

Ок. а где плавный переход между определением косинуса через треугольник и через окружность?

сначала надо ввести определение через окружность, а потом отметить, что в силу подобия треугольников , в любом прямоугольном треугольнике отношение прилежащего катета к гипотенузе это косинус

[miflin]

bigarcus в сообщении #748459 писал(а):

А как доказать существование квадрата?

$180-(\alpha+\beta=90)=90$

bigarcus в сообщении #748620 писал(а):

например при стандартном док-ве теоремы косинусов используется определение косинуса через треугольник
а как потом понять что и для любого угла (не только из прямоугольного треугольника) док-во теоремы остается верным
ведь получается доказываем в частном случае только
а экстраполируем теорему на общий случай

Не понимаю, что Вам мешает это проверить?

(Оффтоп)

Otta в сообщении #748484 писал(а):

bigarcus
Но чего хотите Вы - так до сих пор и неясно.

Ощутить причастность к умной беседе.

[Otta]

bigarcus в сообщении #748620 писал(а):

например при стандартном док-ве теоремы косинусов используется определение косинуса через треугольник
а как потом понять что и для любого угла (не только из прямоугольного треугольника) док-во теоремы остается верным
ведь получается доказываем в частном случае только
а экстраполируем теорему на общий случай

На какой - общий? Теорема косинусов, как бы она ни доказывалась для треугольников, доказывается для произвольного треугольника, а не для прямоугольного. И угол там поэтому из промежутка $(0, 2\pi)$. Косинус $2\pi$-периодичен, поэтому автоматически получаем, что теорема верна для всех углов, кроме кратных $2\pi$. Для них же равенство проверяется очевидным образом. Так что куда ее обобщать - не очень понятно. Она и так практически общая.

Да, конечно, если использовать скалярные произведения, даже этих всех слов выше можно избежать.

(miflin)

Разве что.

[bigarcus]

Oleg Zubelevich в сообщении #748643 писал(а):

при стандартном доказательстве теоремы косинусов используется скалярное произведение, которое уже пора освоить

я вашего Гельфанда читаю
но хотелось бы обойтись минимумом конструкций, а там конечно все крутосложно

Oleg Zubelevich в сообщении #748645 писал(а):

сначала надо ввести определение через окружность, а потом отметить, что в силу подобия треугольников , в любом прямоугольном треугольнике отношение прилежащего катета к гипотенузе это косинус

как-то наоборот у вас получается
я думал что мотивация такая: при масштабировании треугольника заметим, что хотя его стороны (катеты и гипотенуза) удлинняются, однако отношение катетов к гипотенузам сохраняется. то есть есть какая-то такая сохраняющаяся величина. назовем такую величину в случае одного катета синусом, в случае другого косинусом.
потом заметим что она зависит от угла
а дальше обобщаем с помощью окружности на случай любого угла
всё.

-- Вт июл 23, 2013 19:08:49 --

Otta в сообщении #748649 писал(а):

Теорема косинусов, как бы она ни доказывалась для треугольников, доказывается для произвольного треугольника, а не для прямоугольного.

она доказывается для любого треугольника но используется в доказательстве разбиение этого любого треугольника на три прямоугольных с помощью высот.
и в этих трех прямоугольных треуг. используется косинус как отношение прилежащего катета к гиотоненузе

-- Вт июл 23, 2013 19:11:14 --

miflin в сообщении #748646 писал(а):

Не понимаю, что Вам мешает это проверить?

что значит проверить?
меня частные случаи не интересует
а проверить в общем случае это значит доказать теорему
а что касается теоремы - см. выше

[Deggial]

bigarcus в сообщении #748448 писал(а):

Чего я должен вам объяснять?
Я спрашивал про то как задается направление у вектора (одного!).
а вы мне сравнительно стали писать про два вектора
будьте любезны по делу говорить, про математику

bigarcus, замечание за хамство и грубость (и вообще на троллинг похоже).

[Otta]

bigarcus в сообщении #748663 писал(а):

и в этих трех прямоугольных треуг. используется косинус как отношение прилежащего катета к гиотоненузе

И это ничему не мешает, потому что в прямоугольных треугольниках оба определения косинуса равносильны. Почему - Вам уже отвечали.

А вот результат (теорема косинусов) верен уже для всех допустимых в треугольниках значений углов, а значит и (см. ранее).

(Deggial)

Deggial в сообщении #748666 писал(а):

(и вообще на троллинг похоже)

Очень.

[bigarcus]

повторю еще один раз

теорема косинусов доказывается (в школе, без всяких скал. произв.) с использованием понятия косинуса, введенного через прямоугольный треугольник

таким образом введенное понятие косинуса верно не для всех углов!

потом мы вводим косинус на окружности, и считаем что теорема косинусов автоматически продолжает быть верной (то есть уже для всех углов), не передаказываем ее заново

да для прямоугльных и не надо ее передаказывать, а для общего случа нужно

[arseniiv]

bigarcus в сообщении #748675 писал(а):

теорема косинусов доказывается (в школе, без всяких скал. произв.) с использованием понятия косинуса, введенного через прямоугольный треугольник

Можно доказать и теорему с любыми углами. Через скалярное произведение, например, как уже предлагали. Только я не знаю, где вы видели треугольник с углом не меньше развёрнутого.

bigarcus в сообщении #748675 писал(а):

потом мы вводим косинус на окружности, и считаем что теорема косинусов автоматически продолжает быть верной (то есть уже для всех углов), не передаказываем ее заново

Потому что она, по идее, передоказывается тривиально, если нужно. Только я как-то не могу найти треугольник с углом в $190^\circ$.

[Xaositect]

Ну, в прямоугольном треугольнике не может быть и угла в $120^{\circ}$.
Так что теорема все-таки доказывается не для косинуса, введенного через прямоугольный треугольник, а для более общего понятия косинуса.

[bigarcus]

Xaositect в сообщении #748679 писал(а):

Ну, в прямоугольном треугольнике не может быть и угла в $120^{\circ}$.

И в 91 не может быть, это понятно.

-- Вт июл 23, 2013 20:12:20 --

Я использую вот это доказательство теоремы косинусов:

(Оффтоп)

Из неё как частный случай получаю и теорему Пифагора.

В этом доказательстве мы используем только такое определение косинуса:

$$ \cos{\theta}=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $$

оно только для прямоугольного треугольника.

[Xaositect]

bigarcus в сообщении #748683 писал(а):

Я использую вот это доказательство теоремы косинусов:

А как оно выглядит для тупоугольных треугольников?

[bigarcus]

Разве не точно так же?

-- Вт июл 23, 2013 20:18:31 --

Я думаю что для любого треугольника оно подходит.
Ведь в любом треугольнике можно провести три высоты.

[Xaositect]

bigarcus в сообщении #748687 писал(а):

Разве не точно так же?

Нет, у нас же в этом случае две из трех высот снаружи треугольникса находятся.