2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... 29  След.
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение23.07.2013, 18:05 


10/02/11
6786
bigarcus в сообщении #748641 писал(а):
например при стандартном док-ве теоремы косинусов используется определение косинуса через треугольник

при стандартном доказательстве теоремы косинусов используется скалярное произведение, которое уже пора освоить

 Профиль  
                  
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение23.07.2013, 18:06 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
К тому же для любого острого угла можно построить соответствующий прямоугольный треугольник.

 Профиль  
                  
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение23.07.2013, 18:08 


10/02/11
6786
bigarcus в сообщении #748620 писал(а):
Ок. а где плавный переход между определением косинуса через треугольник и через окружность?

сначала надо ввести определение через окружность, а потом отметить, что в силу подобия треугольников , в любом прямоугольном треугольнике отношение прилежащего катета к гипотенузе это косинус

 Профиль  
                  
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение23.07.2013, 18:09 
Аватара пользователя


27/02/12
3706
bigarcus в сообщении #748459 писал(а):
А как доказать существование квадрата?

$180-(\alpha+\beta=90)=90$
bigarcus в сообщении #748620 писал(а):
например при стандартном док-ве теоремы косинусов используется определение косинуса через треугольник
а как потом понять что и для любого угла (не только из прямоугольного треугольника) док-во теоремы остается верным
ведь получается доказываем в частном случае только
а экстраполируем теорему на общий случай

Не понимаю, что Вам мешает это проверить?

(Оффтоп)

Otta в сообщении #748484 писал(а):
bigarcus
Но чего хотите Вы - так до сих пор и неясно.

Ощутить причастность к умной беседе. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение23.07.2013, 18:22 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
bigarcus в сообщении #748620 писал(а):
например при стандартном док-ве теоремы косинусов используется определение косинуса через треугольник
а как потом понять что и для любого угла (не только из прямоугольного треугольника) док-во теоремы остается верным
ведь получается доказываем в частном случае только
а экстраполируем теорему на общий случай

На какой - общий? Теорема косинусов, как бы она ни доказывалась для треугольников, доказывается для произвольного треугольника, а не для прямоугольного. И угол там поэтому из промежутка $(0, 2\pi)$. Косинус $2\pi$-периодичен, поэтому автоматически получаем, что теорема верна для всех углов, кроме кратных $2\pi$. Для них же равенство проверяется очевидным образом. Так что куда ее обобщать - не очень понятно. Она и так практически общая.

Да, конечно, если использовать скалярные произведения, даже этих всех слов выше можно избежать.

(miflin)

Разве что.

 Профиль  
                  
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение23.07.2013, 19:05 


25/03/10
590
Oleg Zubelevich в сообщении #748643 писал(а):
при стандартном доказательстве теоремы косинусов используется скалярное произведение, которое уже пора освоить

я вашего Гельфанда читаю
но хотелось бы обойтись минимумом конструкций, а там конечно все крутосложно

Oleg Zubelevich в сообщении #748645 писал(а):
сначала надо ввести определение через окружность, а потом отметить, что в силу подобия треугольников , в любом прямоугольном треугольнике отношение прилежащего катета к гипотенузе это косинус

как-то наоборот у вас получается
я думал что мотивация такая: при масштабировании треугольника заметим, что хотя его стороны (катеты и гипотенуза) удлинняются, однако отношение катетов к гипотенузам сохраняется. то есть есть какая-то такая сохраняющаяся величина. назовем такую величину в случае одного катета синусом, в случае другого косинусом.
потом заметим что она зависит от угла
а дальше обобщаем с помощью окружности на случай любого угла
всё.

-- Вт июл 23, 2013 19:08:49 --

Otta в сообщении #748649 писал(а):
Теорема косинусов, как бы она ни доказывалась для треугольников, доказывается для произвольного треугольника, а не для прямоугольного.

она доказывается для любого треугольника но используется в доказательстве разбиение этого любого треугольника на три прямоугольных с помощью высот.
и в этих трех прямоугольных треуг. используется косинус как отношение прилежащего катета к гиотоненузе

-- Вт июл 23, 2013 19:11:14 --

miflin в сообщении #748646 писал(а):
Не понимаю, что Вам мешает это проверить?

что значит проверить?
меня частные случаи не интересует
а проверить в общем случае это значит доказать теорему
а что касается теоремы - см. выше

 Профиль  
                  
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение23.07.2013, 19:17 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 ! 
bigarcus в сообщении #748448 писал(а):
Чего я должен вам объяснять?
Я спрашивал про то как задается направление у вектора (одного!).
а вы мне сравнительно стали писать про два вектора
будьте любезны по делу говорить, про математику
bigarcus, замечание за хамство и грубость (и вообще на троллинг похоже).

 Профиль  
                  
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение23.07.2013, 19:31 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
bigarcus в сообщении #748663 писал(а):
и в этих трех прямоугольных треуг. используется косинус как отношение прилежащего катета к гиотоненузе

И это ничему не мешает, потому что в прямоугольных треугольниках оба определения косинуса равносильны. Почему - Вам уже отвечали.

А вот результат (теорема косинусов) верен уже для всех допустимых в треугольниках значений углов, а значит и (см. ранее).

(Deggial)

Deggial в сообщении #748666 писал(а):
(и вообще на троллинг похоже)

Очень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение23.07.2013, 19:38 


25/03/10
590
повторю еще один раз

теорема косинусов доказывается (в школе, без всяких скал. произв.) с использованием понятия косинуса, введенного через прямоугольный треугольник

таким образом введенное понятие косинуса верно не для всех углов!

потом мы вводим косинус на окружности, и считаем что теорема косинусов автоматически продолжает быть верной (то есть уже для всех углов), не передаказываем ее заново

да для прямоугльных и не надо ее передаказывать, а для общего случа нужно

 Профиль  
                  
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение23.07.2013, 19:46 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
bigarcus в сообщении #748675 писал(а):
теорема косинусов доказывается (в школе, без всяких скал. произв.) с использованием понятия косинуса, введенного через прямоугольный треугольник
Можно доказать и теорему с любыми углами. Через скалярное произведение, например, как уже предлагали. Только я не знаю, где вы видели треугольник с углом не меньше развёрнутого. :?

bigarcus в сообщении #748675 писал(а):
потом мы вводим косинус на окружности, и считаем что теорема косинусов автоматически продолжает быть верной (то есть уже для всех углов), не передаказываем ее заново
Потому что она, по идее, передоказывается тривиально, если нужно. Только я как-то не могу найти треугольник с углом в $190^\circ$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение23.07.2013, 19:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Ну, в прямоугольном треугольнике не может быть и угла в $120^{\circ}$.
Так что теорема все-таки доказывается не для косинуса, введенного через прямоугольный треугольник, а для более общего понятия косинуса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение23.07.2013, 20:08 


25/03/10
590
Xaositect в сообщении #748679 писал(а):
Ну, в прямоугольном треугольнике не может быть и угла в $120^{\circ}$.

И в 91 не может быть, это понятно.

-- Вт июл 23, 2013 20:12:20 --

Я использую вот это доказательство теоремы косинусов:

(Оффтоп)

Изображение

Из неё как частный случай получаю и теорему Пифагора.

В этом доказательстве мы используем только такое определение косинуса:
$$
\cos{\theta}=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}
$$
оно только для прямоугольного треугольника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение23.07.2013, 20:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
bigarcus в сообщении #748683 писал(а):
Я использую вот это доказательство теоремы косинусов:
А как оно выглядит для тупоугольных треугольников?

 Профиль  
                  
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение23.07.2013, 20:15 


25/03/10
590
Разве не точно так же?

-- Вт июл 23, 2013 20:18:31 --

Я думаю что для любого треугольника оно подходит.
Ведь в любом треугольнике можно провести три высоты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение23.07.2013, 20:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
bigarcus в сообщении #748687 писал(а):
Разве не точно так же?
Нет, у нас же в этом случае две из трех высот снаружи треугольникса находятся.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 435 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... 29  След.

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group