Релятивистская квантовая теория

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #676505 писал(а):

Спасибо. Я опять перестал бояться

В общем не сложно посчитать. Функцию распределения

$$ f(u) = \langle 0 | \delta\left(\int E dx - u\right)| 0 \rangle $$

считать не с руки. Но можно посчитать фурье-образ функции распределения (характеристическую функцию, она же производящая для моментов). Под усреднением получится экспонента от линейной формы от операторов рождения/уничтожения, что есть оператор сдвига. Интеграл от гауссиана (основное состояние осциллятора) на сдвинутый гауссиан считается легко. Вроде так на вскидку...

Кстати, таким манером считать до конца довольно занудно. Но в принципе достаточно показать, что получается гауссовское распределение. После чего достаточно посчитать лишь второй момент, что совсем просто

[EvilPhysicist]

Так, если аккуратно начать квантовать скалярное действительное массивное поле в 1+1-мерном пространстве-времени.

В классике полевые переменные поля $\phi$, сопряженные им импульсные переменные поля $\pi=\cfrac{\partial L}{\partial(\partial_0\phi)}=\partial^0 \phi$, гамильтониан $H=\partial_x \phi \partial_x \phi +m^2 \phi \phi$.

В КТП операторы полевой переменной и импульсной переменной $\hat \phi(x,t), \hat \pi(x,t)$.
Гамильтониан $\hat H=(\partial_x \hat \phi(x,t) ) (\partial_x \hat \phi(x,t)) + m^2 \hat \phi \hat \phi$, где, как я понимаю, производная по $x$ должна браться от оператора.

Тогда у вакуума будет энергия $H_0=\langle 0 \rvert \hat H \lvert 0 \rangle = \langle 0 \rvert \partial_x \hat \phi \partial_x \hat \phi \lvert 0 \rangle + m^2 \langle 0 \rvert \hat \phi \hat \phi \lvert 0 \rangle$. И её, пока что, будем считать вычисленной и известной.

Для простоты возьмём состояние с одной частицей. У него вектор-состояния $\hat a^+(x) \lvart 0 \rangle$.
Энергия у этого состояния должна быть $ \langle 0 \rvert \hat a \partial_x \hat \phi \partial_x \hat \phi \hat a^+ \lvert 0 \rangle + m^2 \langle 0 \rvert \hat a \hat \phi \hat \phi \hat a^+ \lvert 0 \rangle$.
Далее, вычисляем коммутаторы от $\hat a, \hat a^+,\hat \phi, \partial_x \hat \phi$, и с их помощью "перетаскиваем" $\hat a^+$ влево, чтобы оно обратило вакуум, стоящий слева, в нуль, а $\hat a$ - вправо, с той же целью.

Так?

[Alex-Yu]

EvilPhysicist в сообщении #676514 писал(а):

Для простоты возьмём состояние с одной частицей. У него вектор-состояния $\hat a^+(x) \lvart 0 \rangle$.

Не-а У него вектор-состояния $\int \Phi(x)a^+(x)| 0 \rangle dx$ где $\Phi(x)$ -- уже обычная КМ-волновая функция (именно функция!) частицы (как только ограничились ОДНОЙ и только одной частицей, так стало возможным говорить о механике). Несколько нестандартное обозначение $a^+(x)$, правда. Обычно так обозначают только операторы рождения плоских волн.

[espe]

EvilPhysicist в сообщении #676514 писал(а):

гамильтониан $H=\partial_x \phi \partial_x \phi +m^2 \phi \phi$.

Нет

Alex-Yu

Alex-Yu в сообщении #676510 писал(а):

$$f(u) = \langle 0 | \delta\left(\int E dx - u\right)| 0 \rangle$$

Запись какая-то странная. Нельзя ли дельта-функцию вынести за знак среднего? У Вас здесь $E$ оператор или что?

[Alex-Yu]

EvilPhysicist в сообщении #676514 писал(а):

Так?

Ну где-то так, примерно. Только отнимите от энергии Вашей частицы энергию вакуума. И выведите механику одночастичного состояния (если частица одна и в процессе временной эволюции к одночастичному состоянию не подмешиваются состояния с другим числом частиц, то такое возможно). Вполне неплохое упражнение. Получится (при Вашем гамильтониане) довольно обычное уравнение Шредингера из КМ. Но это будет только некоторый "сектор" (одночастичный) теории поля.

-- Сб янв 26, 2013 23:50:01 --

espe в сообщении #676520 писал(а):

Нельзя ли дельта-функцию вынести за знак среднего?

Нельзя.

-- Сб янв 26, 2013 23:50:50 --

espe в сообщении #676520 писал(а):

У Вас здесь $E$ оператор или что?

Да, оператор. Профессионалы шляпы обычно не пишут, догадываются по контексту где оператор.

[EvilPhysicist]

Alex-Yu в сообщении #676517 писал(а):

У него вектор-состояния $\int \Phi(x)a^+(x)| 0 \rangle dx$ где $\Phi(x)$ -- уже обычная КМ-волновая функция (именно функция!) частицы

Почему?
И если это так, то, получается, в импульсном представлении должно быть что-то вроде $\int dk \Phi(k) a(k)^+ \lvert 0 \rangle$?

espe в сообщении #676520 писал(а):

Нет

Завтра на свежую голову проверю гаммильтониан.

[Alex-Yu]

EvilPhysicist в сообщении #676525 писал(а):

И если это так, то, получается, в импульсном представлении должно быть что-то вроде $\int dk \Phi(k) a(k)^+ \lvert 0 \rangle$?

Именно так. Здесь $\Phi(k)$ -- волновая функция в импульсном представлении. Если плоская волна, то это дельта-функция и интеграл исчезает. Но в общем случае частица же не обязательно должна быть плоской волной.

-- Сб янв 26, 2013 23:59:07 --

EvilPhysicist в сообщении #676525 писал(а):

Завтра на свежую голову проверю гаммильтониан.

Интеграла в Вашем гамильтониане не хватает. Это не гамильтониан, это плотность гамильтониана (но на жаргоне называют и гамильтонианом тоже, но это жаргон). Но если хотите написать, к примеру, уравнение Шредингера, то извольте использовать именно гамильтониан, а не его плотность. Энергия, зависящая от точки, это вообще бред какой-то. Энергия относится ко всему вместе, всей системе.

[espe]

Alex-Yu в сообщении #676523 писал(а):

Да, оператор. Профессионалы шляпы обычно не пишут, догадываются по контексту где оператор.

То есть в аргументе дельта-функции стоит оператор минус число?

Как вычислить действие дельта-функции на вакуум?

-- Сб янв 26, 2013 21:01:28 --

Alex-Yu в сообщении #676527 писал(а):

Интеграла в Вашем гамильтониане не хватает.

Главное там импульсов не хватает.

[Alex-Yu]

espe в сообщении #676530 писал(а):

То есть в аргументе дельта-функции стоит оператор минус число?

Обычное дело. Математический пурист вместо числа должен был бы написать это число умножить на единичный (тождественный) оператор. Но физики таким занудством не занимаются

-- Вс янв 27, 2013 00:04:20 --

espe в сообщении #676530 писал(а):

Как вычислить действие дельта-функции на вакуум?

"действие дельта-функции на вакуум" -- это неизвестно что. Но дельта-функция от оператора (как и другая функция) -- это тоже оператор (другой, не тот, что под функцией).

-- Вс янв 27, 2013 00:06:21 --

espe в сообщении #676530 писал(а):

Главное там импульсов не хватает.

Да, градиенты надо выразить через импульсы. Но можно, в принципе, и так оставить. Кто там импульсы нужно только для получения коммутационных соотношений. Собственно Вам нужно только выразить поле через операторы рождения/уничтожения и найти коммутационные соотношения для этих операторов. Дальше про канонические импульсы можете забыть.

[espe]

Спасибо. Понял, что имеется ввиду.

-- Сб янв 26, 2013 21:21:26 --

Alex-Yu в сообщении #676531 писал(а):

Да, градиенты надо выразить через импульсы. Но можно, в принципе, и так оставить.

Какие градиенты? Тогда уж производные поля по времени (которых там нет). Там не хватает ещё одного слагаемого.

[Alex-Yu]

espe в сообщении #676536 писал(а):

Там не хватает ещё одного слагаемого.

Да, это я заврался. Бывает Но интеграла все равно не хватает в т.ч.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #676523 писал(а):

Профессионалы шляпы обычно не пишут, догадываются по контексту где оператор.

Просто в КТП вообще всё оператор. Вот их и перестали писать. А шляпы используют для других целей - обычно в кинематических расчётах ФЭЧ это единичный вектор $\hat{\mathbf{v}}=\mathbf{v}/v.$ Хотя где-то видел шляпу в смысле фейнмановского перечёркивания $\rlap{/}v=\gamma^\mu v_\mu.$

Alex-Yu в сообщении #676527 писал(а):

Энергия, зависящая от точки, это вообще бред какой-то. Энергия относится ко всему вместе, всей системе.

Ну почему, а ТЭИ? Его интегрированием как раз гамильтониан и получают. Иногда.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #676551 писал(а):

Ну почему, а ТЭИ? Его интегрированием как раз гамильтониан и получают. Иногда.

Это жаргон. ТЭИ -- это плотность энергии-импульса (и поток заодним, но это тоже некоторая плотность). Если захотим написать КМ-уравнение Шредингера (при таком гамильтониане запросто, одночастичное состояние не смешивается с другим числом частиц), то надо брать именно энергию, а не плотность.

[Munin]

Я не спорю. Но написать энергию как интеграл ТЭИ по space, и назвать гамильтонианом - нельзя?

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #676573 писал(а):

Но написать энергию как интеграл ТЭИ по space, и назвать гамильтонианом - нельзя?

Ну почему же нельзя? Можно. И даже нужно Нельзя забывать проинтегрировать