Релятивистская квантовая теория

[EvilPhysicist]

Итак, если квантовать скалярное действительное поле в 1+1-мерном простарнстве-времени.
Коммутаторы для операторов рождения уничтожения $[a^-_k,a^+_n]=\delta_{nk}$
Коммутаторы для них же с операторами импульсов $[a^{\pm}, P^n]=\mp k^n a^\pm$
Плотность энергии в классике $w=\partial_t \phi \partial_t \phi - \partial_x \phi \partial_x \phi +m^2 \phi=\partial^0 \phi \partial^0 \phi - \partial^1 \phi \partial^1 \phi +m^2 \phi$
Значит оператор плотности энергии $w=- P^0 \phi P^0 \phi + P^1 \phi P^1 \phi+m^2 \phi^2$
И плотность энергии вакуума, опуская рассчеты, $\langle 0 \rvert w \lvert 0 \rangle =-\langle 0 \rvert P^0 P^0 \lvert 0 \rangle- k^0 \langle 0 \rvert P^0 \lvert 0 \rangle +\langle 0 \rvert P^1 P^1 \lvert 0 \rangle+k^1 \langle 0 \rvert P^1 \lvert 0 \rangle +m^2 \langle 0 \rvert 0 \rangle $

[Munin]

Полная система коммутаторов - это плюс с плюсом, плюс с минусом, минус с минусом. А вы не всё задали.

-- 27.01.2013 19:24:03 --

По сути, коммутатор - это операция типа умножения в алгебре, только такая конструкция (с антисимметричной операцией) называется алгеброй Ли. Чтобы задать алгебру Ли, задать её операцию коммутатор, надо нарисовать полную "таблицу умножения" для её образующих aka генераторов.

-- 27.01.2013 19:25:21 --

И ещё (описка?) чё-то у вас с метрикой не то. В скалярном квадрате произведения нулевых и ненулевых координат должны быть с разными знаками.

[Alex-Yu]

EvilPhysicist в сообщении #676932 писал(а):

Коммутаторы для операторов рождения уничтожения $[a^-_k,a^+_n]=\delta_{nk}$

А что такое тут буковки $k$ и $n$? И вообще что-то странное Вы пишете...

Между прочем, $\langle 0 | 0 \rangle=1$. И Вы все время куда-то деваете интеграл по пространству (или по волновому вектору). В вообщем не понятно, что вообще Вы имеете в виду.

Вообще первое, что надо сделать, это выразить $\psi$ и $\pi$ через операторы рождения и уничтожения. И энергию (именно энергию, ее плотность на фиг не нужна) тоже. И все станет очень просто.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #676940 писал(а):

А что такое тут буковки $k$ и $n$?

Надеюсь, что волновые числа...

[Alex-Yu]

EvilPhysicist в сообщении #676932 писал(а):

И плотность энергии вакуума, опуская рассчеты, $\langle 0 \rvert w \lvert 0 \rangle =-\langle 0 \rvert P^0 P^0 \lvert 0 \rangle- k^0 \langle 0 \rvert P^0 \lvert 0 \rangle +\langle 0 \rvert P^1 P^1 \lvert 0 \rangle+k^1 \langle 0 \rvert P^1 \lvert 0 \rangle +m^2 \langle 0 \rvert 0 \rangle $

Интересно, каким это, в частности, образом у Вас $\langle 0 | m^2 \psi^2 | 0 \rangle$ превратилась в $m^2 \langle 0 \rvert 0 \rangle $ ? Чудеса...

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #676936 писал(а):

И ещё (описка?) чё-то у вас с метрикой не то. В скалярном квадрате произведения нулевых и ненулевых координат должны быть с разными знаками.

Да, действительно описка. Исправил.

Alex-Yu в сообщении #676940 писал(а):

А что такое тут буковки $k$ и $n$?

Импульсы. И да, там должны быть $[a^-(k), a^+(n)]=\delta(n-k)$

Alex-Yu в сообщении #676940 писал(а):

Вообще первое, что надо сделать, это выразить $\psi$ и $\pi$ через операторы рождения и уничтожения. И энергию тоже. И все станет очень просто.

Хорошо, берем $\hat \psi$, разделяем её на положительно и отрицательно частотную части $\hat \psi=\hat \psi^++ \hat \psi^-$. Как я понимаю, их Фурье образы и будут операторами рождения и уничтожения.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #676945 писал(а):

Надеюсь, что волновые числа...

А где тогда по ним интегралы (ну или суммы, если поле в ящике)?

[Munin]

Замечание по нотации. Для гармонического осциллятора самого по себе, как квантовомеханической задачи, операторы повышения и понижения обозначаются $a^+$ и $a^-.$ Для квантового поля, аналогичные операторы рождения и уничтожения обозначаются уже как $a^+$ и $a.$ В первом случае подразумевается чистопородный плюс, а во втором - раньше было обозначение $a^\dagger$ для эрмитово-сопряжённого оператора, но постепенно оно размылось из-за всеобщей лени наборщиков и авторов текстов.

[Alex-Yu]

EvilPhysicist в сообщении #676948 писал(а):

Хорошо, берем $\hat \psi$, разделяем её на положительно и отрицательно частотную части $\hat \psi=\hat \psi^++ \hat \psi^-$. Как я понимаю, их Фурье образы и будут операторами рождения и уничтожения.

После квантования -- да. Положительно- и отрицательночастотные части имеют смысл и в классике тоже. Надеюсь $a(k)$ и $a^+(k)$ это и есть упомянутые фурье-образы... Но надо дальше: как через эти $a$ и $a^+$ выражаются $\pi$ и энергия (не плотность энрегии, а сама энергия, это существенно, интеграл там все основательно упрощает). И импульс тоже надо также выразить. И только потом можно будет брать средние по вакууму, по невакууму и т.д.

[EvilPhysicist]

Alex-Yu в сообщении #676946 писал(а):

Интересно, каким это, в частности, образом у Вас $\langle 0 | m^2 \psi^2 | 0 \rangle$ превратилась в $m^2 \langle 0 \rvert 0 \rangle $ ? Чудеса...

Примерно таким.
Раписываем $m^2 \phi^2=m^2 (\phi^+ + \phi^-)(\phi^+ + \phi^-)=m^2(\phi^+ \phi^+ + \phi^- \phi^+ +\phi^+\phi^- + \phi^- \phi^-)$ и так как вакуум у нас такой, что $\phi^- \lvert 0 \rangle= \langle 0 \rvert \phi^+ =0$, то первый, третий и четвертый член в $m^2 \phi^2$ дадут нуль.
Значит $m^2 \langle 0 \rvert \phi^2 \lvert 0 \rangle =m^2 \langle 0 \rvert \phi^- \phi^+ \lvert 0 \rangle=\langle 0 \rvert 1+\phi^+ \phi^- \lvert 0 \rangle=m^2 \langle 0 \rvert 1 \lvert 0 \rangle + m^2\langle 0 \rvert \phi^+\phi^- \lvert 0 \rangle= m^2 \langle 0 \rvert \phi^2 \lvert 0 \rangle $

-- 27.01.2013, 21:50 --

Alex-Yu в сообщении #676958 писал(а):

Надеюсь $a(k)$ и $a^+(k)$ это и есть упомянутые фурье-образы

да

Alex-Yu в сообщении #676958 писал(а):

Но надо дальше: как через эти $a$ и $a^+$ выражаются $\pi$

Так как $\pi=\partial^0 \phi$, то Фурье образ $\pi^\pm=\partial^0 \phi^\pm$ должен быть $-i\omega a^\pm$

[Munin]

Но $\langle0|\phi^2|0\rangle$ - это совсем не то же самое, что $\langle0|0\rangle.$
А константу можно было просто вынести наружу, поскольку она со всем-всем-всем перестановочна.

[Alex-Yu]

EvilPhysicist в сообщении #676932 писал(а):

Плотность энергии в классике $w=\partial_t \phi \partial_t \phi - \partial_x \phi \partial_x \phi +m^2 \phi=\partial^0 \phi \partial^0 \phi - \partial^1 \phi \partial^1 \phi +m^2 \phi$
Значит оператор плотности энергии $w=- P^0 \phi P^0 \phi + P^1 \phi P^1 \phi+m^2 \phi^2$

Здесь Вы, случаем, не отождествляете, в частности, $\partial_x$ с $P^1$? Это неверно! Тут КТП, а не КМ! Точнее немного не так. Можно, конечно, производную обозначить как $P^1$. Но это НЕ ЕСТЬ оператор импульса! Вообще в КТП ЛЮБЫЕ операторы должны быть выражены через операторы рождения и уничтожения. А производная просто "не умеет" действовать "на монстра Мунина". Действие производной на этот функционал неопределено. Так что написанные Вами выражения типа $\langle 0 | P^1 | 0 \rangle$ это неизвестно что такое. Во всяком случае если $P^1$ это действительно производная. Это просто бессмысленные буквы тогда.

Но в принципе, если не быть занудой, получить КТП-оператор импульса (да хоть бы и плотности импульса, но это как-то ни к чему) можно просто: возьмите соответсвующее выражение из классики (из теоремы Нетер) и подставьте в него вместо классического поля оператор поля.

-- Вс янв 27, 2013 22:59:09 --

EvilPhysicist в сообщении #676963 писал(а):

Примерно таким.
Раписываем $m^2 \phi^2=m^2 (\phi^+ + \phi^-)(\phi^+ + \phi^-)=m^2(\phi^+ \phi^+ + \phi^- \phi^+ +\phi^+\phi^- + \phi^- \phi^-)$ и так как вакуум у нас такой, что $\phi^- \lvert 0 \rangle= \langle 0 \rvert \phi^+ =0$, то первый, третий и четвертый член в $m^2 \phi^2$ дадут нуль.
Значит $m^2 \langle 0 \rvert \phi^2 \lvert 0 \rangle =m^2 \langle 0 \rvert \phi^- \phi^+ \lvert 0 \rangle=\langle 0 \rvert 1+\phi^+ \phi^- \lvert 0 \rangle=m^2 \langle 0 \rvert 1 \lvert 0 \rangle + m^2\langle 0 \rvert \phi^+\phi^- \lvert 0 \rangle= m^2 \langle 0 \rvert \phi^2 \lvert 0 \rangle $

А... Вот что имеется в виду... В общем вроде даже и почти верно... Только коммутатор $\phi^+$ и $\phi^-$ это вовсе даже не единица Хотя и ЧИСЛОВАЯ функция. Из под среднего вытащить можно. Но функция. $\phi$-операторы они же еще и пространственный аргумент имеют. Если не получается в уме (естественно по первости), то пишите везде явно аргументы. Вот дальше у частоты тоже должен быть аргумент $k$.

В общем здесь тогда уж не единица, а $\delta(0)=\infty$. Ну чтож, плотность энергии вакуума действительно бесконечность. Хотя это лишь одно из слагаемых этой бесконечности. Не имеет это смысла. Имеет смысл, в частности, РАЗНИЦА между энергией одночастичного состояния (в виде какой волны? надо еще функцию $\Phi$) и энергией вакуума. Вот это будет конечная величина.

-- Вс янв 27, 2013 23:15:25 --

EvilPhysicist в сообщении #676963 писал(а):

Так как $\pi=\partial^0 \phi$, то Фурье образ $\pi^\pm=\partial^0 \phi^\pm$ должен быть $-i\omega a^\pm$

Ну вот это все подставьте в плотность гамильтониана и проинтегрируйте по пространству. Выглядит вроде верно (хотя я не проверял детали). Хотя... А общего $\pm$ не будет? Впрочем, это смотря что понимать под буковкой $\omega$...

Вообще, если ориентироваться в основном на "как считать", то всякие там канонические импульсы, скобки Пуассона и пр. нужны в основном для того, чтобы получить выражение:

$$ \phi(x)=\int(e^{-i\omega(k) t+ikx}a(k) + e^{i\omega(k) t -ikx}a^+(k))dk $$

и коммутационные соотношения для, скажем так, а-операторов. Оператор записан в гайзенберговском представлении и вообще-то надо добавить под интеграл нормировочный (числовой, но зависящий от $k$) множитель $1/\sqrt{2\omega(k)}$. Можете и не подставлять этот множитель, но тогда будут несколько нестандартные коммутационные соотношения, в них добавочный множитель "выскочит".

ВСЕ! После этого подставляйте этот оператор поля в любую классическую формулу и получайте соответствующий КТП-оператор. Ну а дальше как считать с помощью коммутирования и действия операторов уничтожения на вакуум (или рождения "влево" на вакуум) Вы, вроде, уже уловили.

Кстати, обратите внимание, что благодаря нормировочному множителю коммутатор полей в x-представлении это вовсе даже не дельта-функция (но дельто-образная сингулярность в нуле есть и этот факт использован выше при обсуждении бесконечности энергии вакуума). Это так называемая функция Паули-Иордана. Поэтому намного удобнее работать в k-представлении, в нем коммутационные соотношения радикально проще.

[EvilPhysicist]

Так, то есть
$\phi^\pm(x)=\int\limits_{k^0>0} e^{\pm i k^\mu x_\mu}\delta(k^2-m^2)a^\pm(x)d^4 x$

$[a^-(k),a^+(n)]=\delta(k-n)$, $[a^\pm(k),a^\pm(n)]=0$

$[u^-(x),u^+(y)]=-i \Delta(x-y)$, $[u^\pm(x),u^\pm(y)]=0$

$\partial_\nu u^\pm(x)=\int\limits_{k^0>0} e^{\pm i k^\mu x_\mu}\delta(k^2-m^2) \left(\pm i k_\nu a^\pm(k)\right) d^4 k}$

Значит $\langle 0 \rvert \hat \phi \hat \phi \lvert 0 \rangle=-i \langle 0 \rvert \Delta(x-y) \lvert 0 \rangle$, $\langle 0 \rvert \hat a \hat a \lvert 0 \rangle= \langle 0 \rvert 0 \rangle$, $\langle 0 \rvert \partial_p \phi \partial^p \phi \lvert 0 \rangle=k_p k'^p \langle 0 \rvert \delta(k-k') \lvert 0 \rangle$

[Alex-Yu]

EvilPhysicist в сообщении #677500 писал(а):

Так, то есть

При поверхностном взгляде я пока заметил только одну ошибку. $\langle 0 | a a | 0 \rangle$ вовсе даже не $\langle 0 | 0 \rangle =1$ а просто ноль. Во всяком случае если $a$ это оператор уничтожения (ну так принято обозначать). Или оператор уничтожения у Вас это $a^-$ ? Куда тогда (если $a$ это сумма двух операторов) делась дельта-функция из коммутатора? Кроме того $\langle 0 | \Delta(x-y) | \rangle=\Delta(x-y)\langle 0 | 0 \rangle= \Delta(x-y)$ т.е. уже просто числовая функция, ни к чему квадрат модуля вакуума таскать, он просто единица. В интегралах надо "снять" одно инегрирование (временное) с помощью дельта-функции. И вроде будет все нормально. Не забывайте, что независимыми аргументами $a$-операторов является только 3-импульс (нулевая компонента импульса, т.е. частота, через него выражается благодаря дельта-функции под интегралом). Так что в дельта-функции в коммутаторе он и должен только быть. Самая последняя формула у Вас еще какая-то странная, ошибка тут, дельта-функции тут не получится (и не надо оставлять числа (не операторы) под усреднением, вытаскивайте сразу, тут же дельта-функция от чисел, а не операторов). Да, еще. Через $\Delta$ обычно обозначают вакуумное среднее коммутатора полей, а не их произведения. Среднее от произведения выразится через коммутатор не полных полей, а их частей разной частотности. Такой коммутатор обозначают обычно $\Delta^-$ или $\Delta^+$ в зависимости от знака.

В общем-то и вся теория свободного квантового поля Подставляйте оператор поля в классические выражения вместо классического поля и считайте все, что угодно. Запросто. Не забывайте только вакуумные слагаемые вычитать, а то бесконечности будут получаться.

[EvilPhysicist]

Alex-Yu в сообщении #677521 писал(а):

Или оператор уничтожения у Вас это $a^-$

Да. Разбиряю я это по Боголюбову, Ширкову. Там операторы рождения-уничтожения вообще обозначаются $u^\pm(k)$. Мне уже как-то привычнее их обозначать через $a^\pm(k)$. А $\hat a(k)$ - это польный фурье-образ $\hat \phi$. То есть $u=\int d^4 k e^{i k^\mu x_\mu} a(k) \delta(k^2-m^2)$

Alex-Yu в сообщении #677521 писал(а):

Самая последняя формула у Вас еще какая-то странная, ошибка тут, дельта-функции тут не получится

Тогда чего-то я не понимаю. Вроде как

EvilPhysicist в сообщении #677500 писал(а):

$\partial_\nu u^\pm(x)=\int\limits_{k^0>0} e^{\pm i k^\mu x_\mu}\delta(k^2-m^2) \left(\pm i k_\nu a^\pm(k)\right) d^4 k}$

должно быть верно. Тогда $\langle 0 \rvert \partial_p \phi \partial^p \phi \lvert 0 \rangle $ расписав $\partial_p \phi=\partial_p \phi^+ +\partial_p \phi^-$ и перейдя в импульсное представление должно получиться
$\left. \langle 0 \rvert \partial_p \phi \partial^p \phi \lvert 0 \rangle \right|_\text{в импульсном представлении}=\langle 0 \rvert -k_p k'^p a^+(k) a^+(k') +k_p k'^p a^-(k) a^+(k') + k_p k'^p a^+(k) a^-(k) - k_p k'^p a^-(k) a^+(k') \lvert 0 \rangle=k_p k'^p\langle 0 \rvert a^- (k) a^+(k) \lvert 0 \rangle = k_p k^p $
и значит $\langle 0 \rvert \partial_p \phi \partial^p \phi \lvert 0 \rangle= \int d^4 k e^{i k^\mu x_\mu} k_p k^p$ верно?