2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11  След.
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение29.01.2013, 13:21 
Заслуженный участник


21/08/10
2462
EvilPhysicist в сообщении #677527 писал(а):
верно?


Интеграла у Вас вообще не было (теперь появился, в середине выкладок его, правда, и теперь нету) и куда-то пропали дельта-функции. До снятия временного интегрирования дельта-функцией вообще занудно дифференцировать. Две дельта-функции -- штука сильно сингулярная, хотя, наверное, раскрывается. В итоге, кстати, ни одной. Куда девались? Было два интеграла (из $\phi(x)$ и из $\phi(y)$), почему в итоге остался один? Вообще-то лучше бы писать у какого поля какой аргумент. Что такое $\phi$? В какой точке это $\phi$?

Что такое $\langle 0 | \partial\phi\partial\phi | 0 \rangle|_\text{в импульсном представлении}$ вообще не понятно. В каком смысле "в импульсном представлении? Кстати, $k_pk^p=m^2$. Но только при наличии дельта-функции. Как говорят "на уравнениях движения" (или "на массовой оболочке"). В квантовой физике встречаются величины и вне массовой оболочки (гайзенберговская неопределенность по существу). А здесь как? В общем "тщательнее надо" (С).

Кстати, можно производные вытащить из-под усреднения. В квантополевом смысле это вообще не операторы! Тогда получится просто даламбериан от функции Паули-Иордана (их несколько, разберитесь какой именно). Знак опередлите самостоятельно. И сравните прямое вычисление (через интегралы) и с выносом производных из-под усреднения. Покажите, что то же самое получается. Это будет проверка.

А-а-а-а... вроде ясно как обходиться с двумя дельта-функциями. Можно, можно не снимать временное интегрирование с самого начала (хотя для меня это совсем не привычно!). Коммутатор дает только ТРЕХМЕРНУЮ дельта-функцию, временных интегрирований остается по прежднему два (а пространственное -- одно, второе снимается коммутатором!). Поэтому получается две дельта-функции с разными аргументами. Это штука нормальная, тут проблемы типа квадрата дельта-функции не возникает. Одно интегрирование по времени снимает одну из дельта-функций, остается всего одна. Которая у Вас потеряна. Вот тогда что-то вроде вразумительное выходит. Если оба поля в одной точке, то интеграл расходится, что и должно быть. То же самое получается и с даламберианом от функции Паули-Иордана с предельным переходом: оба поля в одну точку. От этой точки ответ, кстати, не зависит. Что и должно быть в силу трансляционной инвариантности. В общем у Вас потеряна дельта-функция массовой поверхности и в экспоненте надо понимать х как разницу аргументов двух полей. При полях в одной точке экспонента исчезает, интеграл расходится. Все ОК. Квадрат 4-импульса действительно можно заменить на квадрат массы, получится очень просто. Надо только на бумажке акуратно определить коэффициенты и знаки (всеже дельта-функции от нелинейной функции аргументов, там якобиан появится).

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение29.01.2013, 15:24 
Заслуженный участник


21/08/10
2462
EvilPhysicist в сообщении #677500 писал(а):
$[a^-(k),a^+(n)]=\delta(k-n)$



Вот здесь еще, похоже, неточность. На дельта-функцию коммутируют не 4-фурье-образы частотных частей, а 3-фурье-образы (одновременные). Для 4-фурье-образов еще коэффициент (зависящий от $k^0$!) при дельта-функции будет. Вроде что-то такое у Боголюбова-Ширкова было. Вроде они вводили по разному нормированные 3- и 4-фурье-образы. Уточните! Вообще сделать все совсем ковариантно в операторном формализме не получится (хотя ответы ковариантны). Гамильтонов формализм он и есть гамильтонов формализм... Все и везде ковариантно получается в формализме континуального интегрирования. Но там возникает проблема отдельного доказательства унитарности. Проблемы не исчезают, они только меняют свое "лицо" :-)

Действительно по разному нормированны. Формулы (3.22) в "Введении" Боголюбова-Ширкова издания 84 года. Обозначения могут ввести в заблуждение (они отличаются только разным шрифтом аргумента, но это по разному нормированные функции!). На дельта-функцию коммутируют те, где аргумент трехмерный (полужирный шрифт). И это не то же самое, что 4-фурье-образ (отличается, впрочем, только нормировкой). У 4-фурье-образа аргумент простым шрифтом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение29.01.2013, 16:03 


07/06/11
1890
Alex-Yu в сообщении #677534 писал(а):
Кстати, можно производные вытащить из-под усреднения

В смысле $\langle 0 \rvert \partial_\mu\hat \phi \partia^\mu \hat \phi \lvert 0 \rangle =\partial_\mu \partial^\mu\langle 0 \rvert  \phi^2 \lvert 0 \rangle$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение29.01.2013, 17:25 
Заслуженный участник


21/08/10
2462
EvilPhysicist в сообщении #677585 писал(а):
В смысле $\langle 0 \rvert \partial_\mu\hat \phi \partia^\mu \hat \phi \lvert 0 \rangle =\partial_\mu \partial^\mu\langle 0 \rvert \phi^2 \lvert 0 \rangle$?


Да. Только Вы уж пишите или одну производную, или две, но не вперемешку справа и слева. И еще. При этом надо у двух полей сделать разные аргументы. Потом можно и "стянуть" их в одну точку. Но потом уже ПОСЛЕ дифференцирования. Так что $\phi^2$ писать здесь нельзя. Надо писать $\phi(x)\phi(y)$. Одна производная действует на $x$ (хорошо бы еще значок поставить), другая -- на $y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение29.01.2013, 17:33 


07/06/11
1890
Alex-Yu в сообщении #677626 писал(а):
Одна производная действует на $x$ (хорошо бы еще значок поставить), другая -- на $y$.

Тогда все понятно

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение30.01.2013, 12:10 


07/06/11
1890
То есть окончательно:
$\hat H = \int d^4 x \left( \partial_t \partial_{t'} +\partial_x \partial_{x'}+\partial_y \partial_{y'}+\partial_z \partial_{z'} +m^2 \right) \hat \phi(\vec x)\hat \phi(\vec x') $
$\langle 0 \rvert \hat \phi(\vec x) \hat \phi(\vec x') \lvert 0 \rangle=\langle 0 \rvert \hat \phi^- (\vec x) \hat \phi^+ (\vec x) \lvert 0 \rangle =\Delta(\vec x-\vec x')$
$\langle 0 \rvert \hat H \lvert 0 \rangle =\int d^4 x \left( \partial_t \partial_t'+\partial_x \partial_{x'}+\partial_y \partial_{y'}+\partial_z \partial_{z'} +m^2 \right) \Delta(\vec x-\vec x')$

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение30.01.2013, 13:31 
Заслуженный участник


21/08/10
2462
EvilPhysicist в сообщении #677835 писал(а):
То есть окончательно:



1. Гамильтониан не может быть 4-интегралом, должен быть 3-интегралом. В $k$-представлении можно записать и как 4-интеграл, но тогда должна еще быть дельта-функция $\delta(k^2-m^2)$. Но это то же самое, просто "вид с боку". :-)

2. нужен еще предел $x\to x'$ (после дифференцирования).

3. Ну дык в итоге-то вычислить надо. Должно получится

$$
\int \frac{1}{2}\omega({\bf k}) d^3{\bf k}
$$

Просто потому, что свободное поле можно рассматривать как набор гармонических осцилляторов. В основном состоянии энергия одного осциллятора это $\omega/2$. Что, впрочем, физически несущественная добавка к уровням энергии (вакуум можно взять за ноль энергии, энергия определена с точностью до произвольной константы). Но в КТП, поскольку мод (осцилляторов) бесконечно много, получается бесконечность. В общем не страшно, просто вычитать надо до реального интегрирования по модам (можно "таскать" по формулам в виде формального интеграла, только реально вычислять интеграл надо после такого вычитания).

4. 1/2 потеряна. В общепринятых определениях лагранжиан содержит 1/2 (а иначе будет еще коэффициент в коммутаторе).

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение03.02.2013, 18:35 


07/06/11
1890
Возвращаясь к коммутаторам.

Если определять $\phi^\pm (x^\mu) = \cfrac{1}{(2\pi)^2} \int d^4 x e^{\pm i k_\mu x^\mu} a^\pm(k^\mu)$, то правильно будет, что $[a^-(k^\mu), a^+(k'^mu)]=\delta(k^\mu-k'^\mu)$?
Есть ли какие-нибудь математические правила выбора данных коммутаторов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение03.02.2013, 21:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
EvilPhysicist в сообщении #679634 писал(а):
Есть ли какие-нибудь математические правила выбора данных коммутаторов?

Есть физические правила.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение03.02.2013, 21:19 
Заслуженный участник


21/08/10
2462
EvilPhysicist в сообщении #679634 писал(а):
Если определять $\phi^\pm (x^\mu) = \cfrac{1}{(2\pi)^2} \int d^4 x e^{\pm i k_\mu x^\mu} a^\pm(k^\mu)$, то правильно будет, что $[a^-(k^\mu), a^+(k'^mu)]=\delta(k^\mu-k'^\mu)$?


Впервые вижу такие коммутационные соотношения. Возьмите из Боголюбова-Ширкова общепринятые коммутационные соотношения $[a({\bf k}),a^+({\bf k}')]=\delta({\bf k}-{\bf k}')$, полужирный шрифт обозначает 3-вектор. Ну а потом преобразуйте и проверьте. Думаю (но не уверен), того, что Вы написали, не получится. А потом, в каком представлении? В гайзенберговском или шредингеровском?

Кстати, поскольку так, как Вы записали, получается $a^{\pm}(k)\sim(k^2-m^2)$, то в таком коммутаторе Вы сразу нарветесь на произведение дельта-функций. И как Вы собираетесь определять такое произведение? Вооще говоря, такое произведение это неизвестно что такое. Как-то трудно рассуждать неизвестно о чем. Но может это как-то и можно "раскрыть". Но как? Вы придумали такой "велосипед с квадратными колесами", вот Вы и объясняйте как "на нем ездить". А иначе сам вопрос бессмысленен. Вообще-то общепринято сначала снять интегрирование по $k^0$ с помощью дельта-функции и лишь потом рассуждать о коммутационных соотношениях. Но Вы пытаетесь изобрести свою собственную КТП. Тут ничем не могу помочь. Может и можно, может даже и будет эквивалентна общепринятой, не знаю и как-то неинтересно.

А вообще переход от классической теории к квантовой в операторном формализме ОБЯЗАТЕЛЬНО требует сначала перейти к гамильтоновому формализму. Который тутже нарушает явную 4-ковариантность. Степени свободы поля (моды) "нумеруются" трехмерным волновым вектором, а никак не четырехмерным. Легко проиллюстрировать тривиальным примером. Возьмем одномерный осциллятор и устроим для него гайзенберговское представление. Операторы начнут зависеть от времени. Но означает ли это, что возникли новые степени свободы, отвечающие разным частотам? Очевидно нет, как был всего один осциллятор, так и остался всего один. А ведь можно устроить фурье-преобразование по времени, в котором формально (!) будет целый континнуум частот... Вот что-то подобное Вы и пытаетесь сделать очень давно и очень настойчиво. Так что Ваши попытки обходиться исключительно 4-мерными преобразованиями Фурье довольно странны. Лучше бы сначала хорошо овладеть общепринятым подходом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение03.02.2013, 22:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Alex-Yu в сообщении #679678 писал(а):
в таком коммутаторе Вы сразу нарветесь на произведение дельта-функций.

Не страшно, от него вылезет только некоторый зависящий от энергии множитель перед $\delta^4.$ Кажется, похожими вещами занимаются в кинематике, по крайней мере, мне помнится что-то из Хелзена-Мартина.

Alex-Yu в сообщении #679678 писал(а):
И как Вы собираетесь определять такое произведение? Вооще говоря, такое произведение это неизвестно что такое.

Пропагатор это. Просто пропагатор. В одной точке пространства-времени частицу впрыснули, в другой получили - ровно промежуточная линия в диаграмме. В $k$-представлении будет дельта-функция, очевидно, а в пространственном - ...
Как я понял.
Одна деталь: это, может быть, не $[a,a^+],$ а просто $aa^+.$

Alex-Yu в сообщении #679678 писал(а):
Но Вы пытаетесь изобрести свою собственную КТП.

Я так понимаю, просто повторяет выкладки за учебниками.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение03.02.2013, 22:18 
Заслуженный участник


21/08/10
2462
Munin в сообщении #679704 писал(а):
Я так понимаю, просто повторяет выкладки за учебниками.


Не-а. Я ему уже много раз (безуспешно) говорил: сначала надо снять интегрирование по временной компоненте (по Боголюбову-Ширкову). Моды поля нумеруются 3-волновым-вектором. А никак не 4-волновым вектором.

У Хелзена-Мартина даже приблизительно ничего подобного нет. Там вообще канонического квантования нет, только введенные интуитивно (!) без какой-либо теории диаграммы.

-- Пн фев 04, 2013 02:21:02 --

Munin в сообщении #679704 писал(а):
Не страшно, от него вылезет только некоторый зависящий от энергии множитель перед $\delta^4.$



Я догадываюсь. Но делать выкладки мне лень. И все равно надо объяснять в каком это все смысле понимается.

-- Пн фев 04, 2013 02:22:04 --

Munin в сообщении #679704 писал(а):
Одна деталь: это, может быть, не $[a,a^+],$ а просто $aa^+.$



Вообще-то Т-произведение. Если пропагатор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение04.02.2013, 00:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Alex-Yu в сообщении #679712 писал(а):
Вообще-то Т-произведение. Если пропагатор.

А, точно.

Alex-Yu в сообщении #679712 писал(а):
Моды поля нумеруются 3-волновым-вектором. А никак не 4-волновым вектором.

А правильно я понимаю, что можно выбирать разные базисы мод поля, причём так, чтобы они нумеровались 3-волновым вектором? Скажем, лежащие на массовой поверхности, или затухающие.

Alex-Yu в сообщении #679712 писал(а):
У Хелзена-Мартина даже приблизительно ничего подобного нет. Там вообще канонического квантования нет, только введенные интуитивно (!) без какой-либо теории диаграммы.

Да, квантования там нет, а вот кинематические вычисления есть.

P. S. Кстати, Фейнман тоже местами вводит диаграммы примерно столь же "интуитивно", а то, что под ними лежит ФИТ, толком не объясняет.

Alex-Yu в сообщении #679712 писал(а):
И все равно надо объяснять в каком это все смысле понимается.

Уф-ф-ф. Да, надо всё-таки с EvilPhysicist поговорить, а чего это он, собственно, делает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение04.02.2013, 16:35 


07/06/11
1890
Munin в сообщении #679777 писал(а):
Да, надо всё-таки с EvilPhysicist поговорить, а чего это он, собственно, делает.

Пытался повторить выкладки и разобраться почему делается именно так, а не иначе.
Правда, сейчас нету времени сесть и подробно разобраться, по этому получается то, что получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение04.02.2013, 16:50 


30/12/12
146

(Оффтоп)

а получается-то [censored] полная

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 151 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group