Релятивистская квантовая теория

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #679925 писал(а):

Пытался повторить выкладки и разобраться почему делается именно так, а не иначе.

То есть, всё-таки повторить. Это главное. А то вот, Alex-Yu иначе понял.
Тогда как минимум укажите, какой именно учебник вы повторяете. Изложение везде разное, хотя бы в деталях.

LeontiiPavlovich
А давайте вы свои способности продемонстрируете? А то судя по вашему уровню, демонстрируемому в других темах, эти темы для вас ещё впереди. И если так, подавать реплики типа вашей - нехорошо-с.

[Alex-Yu]

EvilPhysicist в сообщении #679925 писал(а):

Пытался повторить выкладки

Что-то не похоже. Уж сколько раз я Вам повторял: сначала, следуя Боголюбову-Ширкову (явно этой книжкой Вы пользуетесь в основном), проинтегрируйте по $k^0$ в интеграле

$$ \int \delta(k^2-m^2)e^{\pm ikx} u(k) d^4k $$

Это интегрирование делается совершенно банально, благодаря дельта-функции. Получите представление поля в виде 3-интеграла, вот с ним дальше и работайте. И все получится почти сразу. Не имеет смысла писать 4-интегралы! $k^0$ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ НЕЗАВИСИМОЙ переменной! В общем ничего кроме упрямства ("а вот не хочу представлять поле в виде 3-интеграла") я тут не вижу.

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #679953 писал(а):

Тогда как минимум укажите, какой именно учебник вы повторяете.

Боголюбв, Ширков, Введение в теорию квантованных полей, издания 1957 года.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #679704 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #679678 писал(а):
в таком коммутаторе Вы сразу нарветесь на произведение дельта-функций.

Не страшно, от него вылезет только некоторый зависящий от энергии множитель перед $\delta^4.$

Операторы рождения-уничтожения, нумеруемые волновым 4-вектором -- это вообще довольно бессмысленная штука (нормально -- нумеруемые волновым 3-вектором). В принципе это, пожалуй, можно связать со следующим. Говорить о том, что частица родилась-уничтожилась В ОПРЕДЕЛЕННЫЙ МОМЕНТ ВРЕМЕНИ, можно только в шредингеровском представлении. Но тогда операторы вообще (!!!) от времени не зависят и их фурье-образ по времени -- штука очень сингулярная и абсолютно бессмысленная. В гайзенберговском представлении фурье-образ по времени более осмысленен (но все равно очень сингулярен), но тогда нет смысла в фразе "частица родилась в такой-то момент времени" (состояния вообще не зависят от времени в гайзенберговской картине).

Полностью (sic!) ковариантно ввести операторный формализм КТП не получится. Нечего даже и пытаться! Что, в общем, не удивительно: этот формализм тесно связан с классическим гамильтоновым, а последний изначально нековариантен.

N.B.: операторы рождения-уничтожения ДОЛЖНЫ нумероваться волновым 3-вектором. Но никак не 4-вектором!

[Munin]

Для ясности избавимся от времени вообще - совершим виковский поворот (для EvilPhysicist - формально заменим $x^0=ix^4,$ и будем рассматривать пространство $(x^1,x^2,x^3,x^4)$ с сигнатурой $(++++)$). Тогда рассмотрим, скажем, уравнение Пуассона с точечным источником с амплитудой $\varphi_0$:

$$\Delta\varphi=\varphi_0\delta^4(x^\mu-x^\mu_0)$$

(если $\varphi$ будет нескалярным, то одни и те же индексы добавляются у $\varphi$ и у $\varphi_0$). Решение его - некая функция Грина $\varphi_0G(x^\mu_0),$ и измерить её можно в некоторой точке $x^\mu_1.$ Скажем, что изначально у нас - вакуум $\varphi=0$ - а оператор $a^+(x^\mu_0)$ изготавливает из него наше решение $G(x^\mu_0).$ Потом оператор $a(x^\mu_1)$ изготавливает из него обратно вакуум, причём умноженный на численный коэффициент $\varphi(x^\mu_1).$
(Точнее, в этом смысле вакуум эквивалентен $\varphi=0$ - применение $a(x^\mu)$ к вакууму даёт нуль, точно так же, как и к $\varphi=0.$ Вообще подразумевается пространство Фока, в котором $\varphi(x^\mu)$ - одночастичное состояние, а вакуум - 0-частичное состояние, операторы $a^+(x^\mu)$ и $a(x^\mu)$ повышают и понижают число частиц, а $n$-частичное состояние имеет $n$ координатных аргументов.)

Чем это не операторный формализм? Где я ошибся?

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #680018 писал(а):

Чем это не операторный формализм?

А здесь вообще ничего квантового нет. В скрытой форме все то же (ошибочное) отождествление полевой функции с вектором состояния. Да вот хотябы:

-- Вт фев 05, 2013 00:20:41 --

Munin в сообщении #680018 писал(а):

Скажем, что изначально у нас - вакуум $\varphi=0$ - а оператор $a^+(x^\mu_0)$ изготавливает из него наше решение $G(x^\mu_0).$

Оператор не "изговаливает" некое решение полевого уравнения. Он на вектор состояния действует. И вакуум это вовсе даже не $\phi=0$.

То, что Вы описываете, можно связать с действием швингерговскго источника, но никак не с операторами рождения-уничтожения. Вот этим швингеровский источник и хорош: он классический (!!!) он вполне может действовать и во временной точке тоже. Естественно, нет никакой проблемы устроить линейную форму от гайзенберговских операторов рождения/уничтожения (гамильтониан взимидействия с источником) с каким угодно функциональным коэффициентом (швингеровским источником). И вот этот коэффициент вполне можно раскладывать в 4-интеграл Фурье. Но не сами операторы! Кстати, в таком гамильтониане все равно будет 3-интеграл, так что и источник естественно представлять в такой форме.

-- Вт фев 05, 2013 00:26:16 --

Munin в сообщении #680018 писал(а):

Для ясности избавимся от времени вообще - совершим виковский поворот (для EvilPhysicist - формально заменим $x^0=ix^4,$ и будем рассматривать пространство $(x^1,x^2,x^3,x^4)$ с сигнатурой $(++++)$).

И все, и никакой квантовой теории не будет ВООБЩЕ. Будет кассическая (!!!) статистическая теория поля. И никаких векторов состояния, и никаких операторов рождения... Из того, что такие "номера" проходят на уровне функций Грина и теории возмущений, вовсе даже не следует, что то же самое можно устроить и с операторами и векторами состояния.

-- Вт фев 05, 2013 00:38:11 --

Munin в сообщении #680018 писал(а):

Точнее, в этом смысле вакуум эквивалентен $\varphi=0$ - применение $a(x^\mu)$ к вакууму даёт нуль,

Не придадите Вы математического смыла этому Вашему "эквивалентен", не получится. И вот как раз тот редкий случай, когда нужно быть точнее: дает не нуль, а нулевой вектор состояния. Наблюдаемые (в частности поле) и состояния лежат в разных пространствах!!! Нуль в каком из них? Это разные нули!

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #680031 писал(а):

Из того, что такие "номера" проходят на уровне функций Грина и теории возмущений, вовсе даже не следует, что то же самое можно устроить и с операторами и векторами состояния.

Это почему? Я строю теорию, в которой операторы и векторы состояния определены в виковском случае. Потом обратным виковским поворотом получаю, что они определены в 4-мерном ковариантном смысле, и никаких проблем не возникает, потому что я шёл к ним не от 3-мерного шрёдингеровского формализма со временем.

Alex-Yu в сообщении #680031 писал(а):

Будет кассическая (!!!) статистическая теория поля.

Ну и чем плохо? После обратного виковского поворота она становится квантовой, у времени появляется буковка $i.$

Alex-Yu в сообщении #680031 писал(а):

Не придадите Вы математического смыла этому Вашему "эквивалентен", не получится. И вот как раз тот редкий случай, когда нужно быть точнее: дает не нуль, а нулевой вектор состояния. Наблюдаемые (в частности поле) и состояния лежат в разных пространствах!!! Нуль в каком из них? Это разные нули!

Нет, тут у меня как раз всё аккуратно.

$$a(x^\mu)|n=1\colon\varphi=0\rangle=\varphi(x^\mu)|0\rangle=0|0\rangle=0=a(x^\mu)|0\rangle$$

$$|0\rangle\ne 0$$

Естественно, $|n=1\colon\varphi=0\rangle\ne|0\rangle,$ равны только их образы после оператора $a(x^\mu).$

Alex-Yu в сообщении #680031 писал(а):

Естественно, нет никакой проблемы устроить линейную форму от гайзенберговских операторов рождения/уничтожения (гамильтониан взимидействия с источником) с каким угодно функциональным коэффициентом (швингеровским источником). И вот этот коэффициент вполне можно раскладывать в 4-интеграл Фурье. Но не сами операторы!

Не понимаю, почему не сами операторы. Где про этот швингеровский источник почитать?

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #680061 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #680031 писал(а):
Из того, что такие "номера" проходят на уровне функций Грина и теории возмущений, вовсе даже не следует, что то же самое можно устроить и с операторами и векторами состояния.

Это почему? Я строю теорию, в которой операторы и векторы состояния определены в виковском случае.

Вот когда построете, только по порядку с самого начала, без всяких там затей в духе Хелзена-Мартина, когда почти все "падает с потолка", расскажите, ладно? Интересно, в частности, откуда Вы будете брать канонические коммутационные соотношения не имея канонических импульсов... Или Вы будете скобку Пуассона на коммутатор заменять по Дираку? А где Вы возмете скобку Пуассона? И что Вы будете делать без унитарности... Неунитарная квантовая теория -- это сильно

В общем тут Вы погорячились несколько. Это общеизвестное место: каноническое квантование полностью явно ковариантно не сделать (см. Вайнберга в т.ч.). Швингер пытался, но ничего толком у него не вышло. Да еще и "с потолка" при этом кое-что писать пришлось. Есть у Боголюбова-Ширкова, прямо с сылками на Швингера. Как они не старались избежать введения 3-фурье-разложения, все сделать ковариантно, а все равно пришлось перейти в итоге к нековариантной (явно) форме. Ну несколько начальных абстрактных формул написали ковариантных, да только толку от них... Паталогия это: пытаться делать каноническое квантование ковариантно.

Про швингеровские источники можно почитать в любом более-менее современном учебнике по КТП. Рамон, Пескин-Шредер и т.д. Даже у Боголюбова-Ширкова есть, но не в начале. Но Боголюбова-Ширкова по этому вопросу я никак порекомендовать не могу.

-- Вт фев 05, 2013 05:50:22 --

Munin в сообщении #680061 писал(а):

Не понимаю, почему не сами операторы.

Потому что вне массовой поверхности они не имеют смысла. А 4-интегрирование, ограниченное на массовую поверхность, это фактически 3-интегрирование. "Финтить", "заметая под ковер" этот тривиальный факт, в принципе можно пытаться, но это только "мозги пудрить". Не позавидую читателю таких финтов, особенно если он начинающий

-- Вт фев 05, 2013 05:57:33 --

Munin в сообщении #680061 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #680031 писал(а):
Будет кассическая (!!!) статистическая теория поля.

Ну и чем плохо?

В классической теории, пусть и статистической, нет никаких операторов. Векторов состояния тоже нет. Вот функции Грина есть (их роль играют корреляторы). Вот с ними можно играть в виковский поворот. С континуальным интегралом -- тоже можно. А с операторами и векторами состояния -- нельзя. Во всяком случае нельзя хоть в какой-то мере осмысленно.

[type2b]

Munin, ваш оператор $a(x)$, как вам справедливо заметили, есть оператор-вставка источника $\exp\left(\int J(x)\phi(x)\right)$, $J(x)=\phi_0\delta(x-x_0)$ (такая вставка даст ваше уравнение движения). Он не имеет отношения к обычным операторам рождения/уничтожения. Они есть фурье-коэффициенты от поля, и ничто иное. Подробнее про операторы рождения-уничтожения в формализме функционального интеграла см. Вайнберг I гл.9.2.

Действительно верно, что гамильтонов формализм требует выбора временной координаты (т.е. слоения $d-1$ подмногообразиями), и таким образом нарушает лоренц-инвариантность уже по построению. Но состояния, операторный формализм и т.п. в евклидовой теории вполне существуют и используются -- см. термальные корреляторы, радиальное квантование CFT, топологические теории...
Унитарность при Wick rotation превращается в reflection positivity.

[Alex-Yu]

type2b в сообщении #680135 писал(а):

Но состояния, операторный формализм и т.п. в евклидовой теории вполне существуют и используются -- см. термальные корреляторы, радиальное квантование CFT, топологические теории...
Унитарность при Wick rotation превращается в reflection positivity.

Ну это уж точно не для начинающего, который с самыми основами КТП только-только начал разбираться. Кстати, а где об этом можно почитать?

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #680117 писал(а):

Вот когда построете, только по порядку с самого начала, без всяких там затей в духе Хелзена-Мартина, когда почти все "падает с потолка", расскажите, ладно?

Жаль, я надеялся на помощь в обнаружении и уяснении моих ошибок.

Alex-Yu в сообщении #680117 писал(а):

Это общеизвестное место

Которое я и хотел у себя провентилировать. Вы от помощи отказались.

type2b в сообщении #680135 писал(а):

Но состояния, операторный формализм и т.п. в евклидовой теории вполне существуют и используются -- см. термальные корреляторы, радиальное квантование CFT, топологические теории...
Унитарность при Wick rotation превращается в reflection positivity.

Тоже интересно, где почитать.

type2b в сообщении #680135 писал(а):

Он не имеет отношения к обычным операторам рождения/уничтожения.

Я одновременно вставляю источник и увеличиваю число частиц - перехожу на следующий этаж пространства Фока. Всё ещё не годится? Почему?

[type2b]

Alex-Yu в сообщении #680157 писал(а):

а где об этом можно почитать?

Не знаю, где прям хорошо и по теме. Можно посмотреть
Polchinski vol.1 app.A,
Kapusta, "Finite-temperature field theory" (имхо, не очень удачная книжка, но других не знаю)
http://en.wikipedia.org/wiki/Reflection_positivity

Про CFT:
Di Francesco, Mathieu, Senechal, "CFT"
Polchinski vol.1, ch.2

Про TQFT: http://en.wikipedia.org/wiki/TQFT
более хорошую ссылку буду искать, если вдруг кто-то всерьез собирается это изучать.

Munin в сообщении #680340 писал(а):

Всё ещё не годится? Почему?

А почему вы полагаете, и в каком вообще смысле, что эта операция эквивалентна вставке оператора рождения? Возьмите осциллятор. Вы хотите сделать $\exp(ik\hat{x})|0\rangle\approx \sum c_n a^{\dagger n}|0\rangle$, а не $a^\dagger|0\rangle$.

[Munin]

type2b
Линейную комбинацию операторов рождения я тоже называю оператором рождения, поскольку она из $n$-частичного состояния делает $n+1$-частичное. Что в этом неправильного?

[type2b]

Где вы видите линейную комбинацию? Это когерентное состояние с неопределенным числом частиц.
Распишите, пожалуйста, $\exp\left(ik\hat{x}\right)|0\rangle$ для осциллятора.

[Munin]

Так у вас $n$ сверху - степень или индекс?