Релятивистская квантовая теория

[EvilPhysicist]

Если возвращаться непосредственно к квантовым полям.
Как я понял "рецепт" квантования такой:
1)Получить решения уравнений движения - $u_{\vec k}, u_{\vec k}^\ast $
2)Отождествить их с волновыми функциями частиц и античастиц
3)Сказать, что волновая функция системы $\psi=\sum\limits_{\vec k} a_{\vec k} u_{\vec k} + a^+_{\vec k} u_{\vec k}^\ast$
4)Для вычисления любой величины, подставить туда $\psi$ в виде $\psi=\sum\limits_{\vec k} a_{\vec k} u_{\vec k} + a^+_{\vec k} u_{\vec k}^\ast$. Заменить все, что нужно, на операторы, а $u_{\vec k}, u_{\vec k}^\ast$ на $\lvert u_{\vec k} \rangle, \langle u_{\vec k} \rvert$.

Например, самый простейший случай. Двумерное простарнство-время: $t\in(-\infty,\infty)$, $x\in[0,L]$, метрика $g_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(+-)$. В нём массивное комплексное скалярное поле $L=\partial_\mu \psi^\ast \partial^\mu \psi - m^2 \psi^\ast \psi$.

Уравнения движения это уравнения Клейна-Гордона. Их решения($c=\hbar=1$) $u_k=e^{-i\omega t} \sin(k_n x)$, $k_n=\cfrac{\pi n}{L}, \omega_n=\sqrt{m^2+k_n^2}$, $n\in\mathbb Z$. Далее, говорим, что $\psi=\sum\limits_{n\in\mathbb Z} a_n u_n + a^+ n_n^\ast$.

И вычислим плотность энергии. В классической формуле $w=T^0_0=\partial_0 \psi^\ast \partial^0 \psi -(\partial_\alpha \psi^\ast \partial^\alpha \psi -m^2 \psi^\ast \psi)=\partial_x \psi^\ast \partial_x \psi + m^2 \psi^\ast \psi$ заменим $\psi=\sum\limits_{n\in\mathbb Z} a_n u_n + a^+ n_n^\ast$ - получим

$$\begin{matrix}w=a_n^+ a_k \partial_x u_n^\ast \partial_x u_k +a_n a_k^+ \partial_x u_n u_k^\ast + a_n a_k \partial_x u_n \partial_x u_k + a_n^+ a_k^+ \partial_x u_n^\ast \partial_x u_k^\ast +\\ + m^2 (a_p^+ a_s u_p^\ast u_s + a_p a_s^+ u_p u_s^\ast + a_p a_s u_p u_s + a_p^+ a_s^+ u_p^\ast u_s^\ast) \end{matrix} $$

Далее, все выражение интегрируем по всему простарнству, что равносильно переходу $u_k \rightarrow \lvert k \rangle, u_k^\ast \rightarrow \langle k \rvert$, в результате чего изчезнут все слагаемые с $u_a u_b$ и плотность энергии примет вид $w=a_n^+ a_k \langle n \rvert \partial_x^2 \lvert k \rangle + a_n a_k^+ \langle k \rvert \partial_x^2 \rvert n \rangle +m^2 (a_p^+ a_s \langle p \lvert s \rangle + a_p a_s^+ \langle s \lvert p \rangle) $

И так как $\langle a \lvert b\rangle = \delta_{ab}$ и $p=-i\partial_x$, то выражение можно переписать $w=- a_n^+ a_k p_{nk} - a_n a_k^+ p_{kn} +m^2 (a_p^+ a_s \delta_{ps} + a_p a_s^+ \delta_{ps}) $ и непосредственно вычисляя матричные элементы получить $w=-\cfrac{\pi^2 n^2}{L^2} (a_n^+ a_k + a_n a_k^+) +m^2 (a_p^+ a_p + a_p a_p^+)$.

Это все похоже на реальность?

[ChaosProcess]

EvilPhysicist в сообщении #675967 писал(а):

Это все похоже на реальность?

Я не специалист, но по-моему, это просто вторичное квантование.

[EvilPhysicist]

ChaosProcess в сообщении #675987 писал(а):

Я не специалист, но по-моему, это просто вторичное квантование.

Так я и пытался вторично проквантовать
Вот и интересуюсь, получилось или нет.

[ChaosProcess]

В целом все правильно, только пси-операторы я определяю как в ЛЛ-3: $\hat{\psi}(x)=\sum\limits_{\vec k\alpha}a_{\vec k\alpha}\psi_{\vec k\alpha}(x)$ и $\hat{\psi}^+(x)=\sum\limits_{\vec k\alpha}a^+_{\vec k\alpha}\psi^*_{\vec k\alpha}(x)$. Потом, соответственно, в гамильтониане меняю $\psi$ на $\hat{\psi}(x)$ и $\psi^*$ на $\hat{\psi}^+(x)$.
(Эту процедуру можно строго обосновать через соответствие матричных элементов любых операторов в старом представлении и представлении чисел заполнения). И да, надо перейти в представление Гейзенберга, тогда операторы рождения и уничтожения будут зависеть от времени и именно эту зависимость надо будет в итоге определить.

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #675992 писал(а):

Так я и пытался вторично проквантовать
Вот и интересуюсь, получилось или нет.

По-моему, в сообщении post675967.html#p675967 не указан смысл символов $a_{\vec{k}},a_{\vec{k}}^+.$ А это главное, что придаёт смысл всем последующим формулам. Именно этот шаг и называется, в некоторых местах, собственно квантованием. Достаточно определить их формально как элементы алгебры, то есть задать между ними коммутационные соотношения.

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #676082 писал(а):

не указан смысл символов $a_{\vec{k}},a_{\vec{k}}^+.$ А это главное, что придаёт смысл всем последующим формулам.

Их правильно называть операторами уничтожения и рождения частиц с импульсом $\vec k$?

[Munin]

Правильно, после того, как вы придадите им этот смысл. А так пока - это просто какие-то закорючки на бумаге.

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #676125 писал(а):

Правильно, после того, как вы придадите им этот смысл. А так пока - это просто какие-то закорючки на бумаге.

То есть надо назвать $u_{\vec k}$ - волновыми функциями однчастичных состояний, тогда как раз $a,a^+$ как "родят" нужное колличество частиц и мы получим волновую функцию системы?

[Munin]

Не всё так просто. Как насчёт $a_{\mathbf{k}}^+a_{\mathbf{k}}^+$? Это простейшее двухчастичное состояние.

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #676135 писал(а):

Не всё так просто. Как насчёт $a_{\mathbf{k}}^+a_{\mathbf{k}}^+$? Это простейшее двухчастичное состояние.

Разве не $a_k^+ a_k^+ \lvert 0 \rangle$ - простейшее двухчастичное состояние.
Но тут вы наверняка спросите, что такое $\lvert 0 \rangle$ , на что я скажу, что это вакуумное состоняние, которое, по пределению $a_k \lvert 0 \rangle=0$ для всех $\vec k$.
Дальше разумно спросить, как явно найти $\lvert 0 \rangle$ - а вот на этот вопрос я ответ не знаю.

И мне не очень понятно, как все-таки переходят от коэффициентов в разложении к операторам рождения и уничтожения.

[ChaosProcess]

EvilPhysicist в сообщении #676138 писал(а):

И мне не очень понятно, как все-таки переходят от коэффициентов в разложении к операторам рождения и уничтожения.

Все в 3 томе изложено. Есть перманенты и детерминанты для бозонов и фермионов. Рассматривая операторы, симметричные по всем одночастичным состояниям, можно явно получить вылезающие корни из чисел заполнения. После этого вводятся операторы рождения и уничтожения, и гамильтониан приобретает вид суммы по их произведениям. При этом рассматривают случаи парного взаимодействия, взаимодействия 3 частиц и т.д.

[espe]

EvilPhysicist в сообщении #675967 писал(а):

Как я понял "рецепт" квантования такой: ...

Рецепт (канонического) квантования (одинаковый и в механике и теории поля такой) такой:

1) По известному лагранжиану $\mathscr{L}(\varphi^A,\partial_\mu\varphi^A)$ строим гамильтонову формулировку.

2) Все поля и канонически сопряжённые им импульсы объявляются операторами $\varphi^A(\vec{x},t)\to\hat{\varphi}{}^A(\vec{x},t)$, $\pi_A(\vec{x},t)\to\hat{\pi}{}_A(\vec{x},t)$. Операторами также становятся и другие величины, в часности, гамильтониан. На канонические переменные накладываются одновременные коммутационные соотношения

$$[\hat{\varphi}^A(\vec{x},t),\hat{\pi}_B(\vec{y},t)]=i\delta^A_B\delta(\vec{x}-\vec{y}),\qquad\hbar=1,$$

остальные равны нулю. Дальше шляпки над операторами не пишу.

3) Дальнейшее зависит от того в какой картине рассматривать (Гейзенберга или др.) В теории поля используется картина Гейзенберга. В ней векторы состояния от времени не зависят, зависят от времени операторы. Эволюция операторов определяется из уравнения

$$i\frac{dO}{dt}=[O,H],$$

$H$ --- гамильтониан, $O$ --- произвольный оператор.

4) В частности, для рассмтриваемого Вами скалярного поля получится уравнение Клейна-Гордона $(\partial^2+m^2)\varphi=0$. Решаем, получаем примерно то что Вы написали (у Вас решение записано для вещественного скалярного поля).

5) Коммутационные соотношения между $a$ (и др.) находятся из одновременных коммутационных соотношений.

6) и т.д.

[Munin]

EvilPhysicist
Вы не отбалтывайтесь. Вы писали формулу:

EvilPhysicist в сообщении #675967 писал(а):

3)Сказать, что волновая функция системы $\psi=\sum\limits_{\vec k} a_{\vec k} u_{\vec k} + a^+_{\vec k} u_{\vec k}^\ast$

Что эти слова, "волновая функция системы", значат? И почему в формулу не входят произведения типа $a^+a^+$ и так далее?

espe уже всё рассказал...

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #676183 писал(а):

Что эти слова, "волновая функция системы", значат?

То же что и всегда, что это эта функция, такая, что наблюдаемое знаение величины $A$ будет $\int dV \psi^\ast \hat A \psi$. А $u_{\vec k}$ - это "элементарные" возбуждения поля по которым все и раскладывается.

Munin в сообщении #676183 писал(а):

И почему в формулу не входят произведения типа $a^+a^+$ и так далее?

потому что они должны будут умножаться вещи вроде $ \int d^n x u^\ast_{\vec k} u^\ast_{\vec k'} $ котоые дадут нуль так как $u^\ast_{\vec k}, u^\ast_{\vec k'}$ ортогональные, при $\vec k\not =\vec k'$.

espe в сообщении #676178 писал(а):

Все поля и канонически сопряжённые им импульсы объявляются операторами $\varphi^A(\vec{x},t)\to\hat{\varphi}{}^A(\vec{x},t)$, $\pi_A(\vec{x},t)\to\hat{\pi}{}_A(\vec{x},t)$

То есть опять же, получить из классики формулу с потенциалами и импульсами или с коэффициентами разложения в ряд, а затем "руками" заменить все, что нужно, на операторы.

[espe]

EvilPhysicist в сообщении #676193 писал(а):

То есть опять же, получить из классики формулу с потенциалами и импульсами или с коэффициентами разложения в ряд, а затем "руками" заменить все, что нужно, на операторы.

Не уверен, что правильно понял вопрос. Какое разложение в ряд имеется ввиду?

Заменяется всё "руками". В классике был гамильтониан $H[\varphi,\pi]$, после квантования $\hat{H}=H[\hat{\varphi},\hat{\pi}]$.

Вы про это спрашивали?