2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 11  След.
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение25.01.2013, 07:51 


07/06/11
1890
Если возвращаться непосредственно к квантовым полям.
Как я понял "рецепт" квантования такой:
1)Получить решения уравнений движения - $u_{\vec k}, u_{\vec k}^\ast $
2)Отождествить их с волновыми функциями частиц и античастиц
3)Сказать, что волновая функция системы $\psi=\sum\limits_{\vec k}  a_{\vec k} u_{\vec k} + a^+_{\vec k} u_{\vec k}^\ast$
4)Для вычисления любой величины, подставить туда $\psi$ в виде $\psi=\sum\limits_{\vec k}  a_{\vec k} u_{\vec k} + a^+_{\vec k} u_{\vec k}^\ast$. Заменить все, что нужно, на операторы, а $u_{\vec k}, u_{\vec k}^\ast$ на $\lvert u_{\vec k} \rangle, \langle u_{\vec k} \rvert$.

Например, самый простейший случай. Двумерное простарнство-время: $t\in(-\infty,\infty)$, $x\in[0,L]$, метрика $g_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(+-)$. В нём массивное комплексное скалярное поле $L=\partial_\mu \psi^\ast \partial^\mu \psi - m^2 \psi^\ast \psi$.

Уравнения движения это уравнения Клейна-Гордона. Их решения($c=\hbar=1$) $u_k=e^{-i\omega t} \sin(k_n x)$, $k_n=\cfrac{\pi n}{L}, \omega_n=\sqrt{m^2+k_n^2}$, $n\in\mathbb Z$. Далее, говорим, что $\psi=\sum\limits_{n\in\mathbb Z} a_n u_n + a^+ n_n^\ast$.

И вычислим плотность энергии. В классической формуле $w=T^0_0=\partial_0 \psi^\ast \partial^0 \psi -(\partial_\alpha \psi^\ast \partial^\alpha \psi -m^2 \psi^\ast \psi)=\partial_x \psi^\ast \partial_x \psi + m^2 \psi^\ast \psi$ заменим $\psi=\sum\limits_{n\in\mathbb Z} a_n u_n + a^+ n_n^\ast$ - получим $$\begin{matrix}w=a_n^+ a_k \partial_x u_n^\ast \partial_x u_k +a_n a_k^+ \partial_x u_n u_k^\ast + a_n a_k \partial_x u_n \partial_x u_k + a_n^+ a_k^+ \partial_x u_n^\ast \partial_x u_k^\ast +\\ + m^2 (a_p^+ a_s u_p^\ast u_s + a_p a_s^+ u_p u_s^\ast + a_p a_s u_p u_s + a_p^+ a_s^+ u_p^\ast u_s^\ast) \end{matrix} $$

Далее, все выражение интегрируем по всему простарнству, что равносильно переходу $u_k \rightarrow \lvert k \rangle, u_k^\ast \rightarrow \langle k \rvert$, в результате чего изчезнут все слагаемые с $u_a u_b$ и плотность энергии примет вид $w=a_n^+ a_k \langle n \rvert \partial_x^2 \lvert k \rangle + a_n a_k^+ \langle k \rvert \partial_x^2 \rvert n \rangle +m^2 (a_p^+ a_s \langle p \lvert s \rangle + a_p a_s^+ \langle s \lvert p \rangle) $

И так как $\langle a \lvert b\rangle = \delta_{ab}$ и $p=-i\partial_x$, то выражение можно переписать $w=- a_n^+ a_k p_{nk}  - a_n a_k^+ p_{kn} +m^2 (a_p^+ a_s \delta_{ps} + a_p a_s^+ \delta_{ps}) $ и непосредственно вычисляя матричные элементы получить $w=-\cfrac{\pi^2 n^2}{L^2} (a_n^+ a_k + a_n a_k^+) +m^2 (a_p^+ a_p + a_p a_p^+)$.

Это все похоже на реальность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение25.01.2013, 10:03 


18/02/10
254
EvilPhysicist в сообщении #675967 писал(а):
Это все похоже на реальность?

Я не специалист, но по-моему, это просто вторичное квантование.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение25.01.2013, 10:12 


07/06/11
1890
ChaosProcess в сообщении #675987 писал(а):
Я не специалист, но по-моему, это просто вторичное квантование.

Так я и пытался вторично проквантовать :-)
Вот и интересуюсь, получилось или нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение25.01.2013, 10:29 


18/02/10
254
В целом все правильно, только пси-операторы я определяю как в ЛЛ-3: $\hat{\psi}(x)=\sum\limits_{\vec k\alpha}a_{\vec k\alpha}\psi_{\vec k\alpha}(x)$ и $\hat{\psi}^+(x)=\sum\limits_{\vec k\alpha}a^+_{\vec k\alpha}\psi^*_{\vec k\alpha}(x)$. Потом, соответственно, в гамильтониане меняю $\psi$ на $\hat{\psi}(x)$ и $\psi^*$ на $\hat{\psi}^+(x)$.
(Эту процедуру можно строго обосновать через соответствие матричных элементов любых операторов в старом представлении и представлении чисел заполнения). И да, надо перейти в представление Гейзенберга, тогда операторы рождения и уничтожения будут зависеть от времени и именно эту зависимость надо будет в итоге определить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение25.01.2013, 15:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
EvilPhysicist в сообщении #675992 писал(а):
Так я и пытался вторично проквантовать
Вот и интересуюсь, получилось или нет.

По-моему, в сообщении post675967.html#p675967 не указан смысл символов $a_{\vec{k}},a_{\vec{k}}^+.$ А это главное, что придаёт смысл всем последующим формулам. Именно этот шаг и называется, в некоторых местах, собственно квантованием. Достаточно определить их формально как элементы алгебры, то есть задать между ними коммутационные соотношения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение25.01.2013, 15:14 


07/06/11
1890
Munin в сообщении #676082 писал(а):
не указан смысл символов $a_{\vec{k}},a_{\vec{k}}^+.$ А это главное, что придаёт смысл всем последующим формулам.

Их правильно называть операторами уничтожения и рождения частиц с импульсом $\vec k$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение25.01.2013, 16:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Правильно, после того, как вы придадите им этот смысл. А так пока - это просто какие-то закорючки на бумаге.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение25.01.2013, 16:20 


07/06/11
1890
Munin в сообщении #676125 писал(а):
Правильно, после того, как вы придадите им этот смысл. А так пока - это просто какие-то закорючки на бумаге.

То есть надо назвать $u_{\vec k}$ - волновыми функциями однчастичных состояний, тогда как раз $a,a^+$ как "родят" нужное колличество частиц и мы получим волновую функцию системы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение25.01.2013, 16:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Не всё так просто. Как насчёт $a_{\mathbf{k}}^+a_{\mathbf{k}}^+$? Это простейшее двухчастичное состояние.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение25.01.2013, 16:31 


07/06/11
1890
Munin в сообщении #676135 писал(а):
Не всё так просто. Как насчёт $a_{\mathbf{k}}^+a_{\mathbf{k}}^+$? Это простейшее двухчастичное состояние.

Разве не $a_k^+ a_k^+ \lvert 0 \rangle$ - простейшее двухчастичное состояние.
Но тут вы наверняка спросите, что такое $\lvert 0 \rangle$ , на что я скажу, что это вакуумное состоняние, которое, по пределению $a_k \lvert 0 \rangle=0$ для всех $\vec k$.
Дальше разумно спросить, как явно найти $\lvert 0 \rangle$ - а вот на этот вопрос я ответ не знаю.

И мне не очень понятно, как все-таки переходят от коэффициентов в разложении к операторам рождения и уничтожения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение25.01.2013, 16:59 


18/02/10
254
EvilPhysicist в сообщении #676138 писал(а):
И мне не очень понятно, как все-таки переходят от коэффициентов в разложении к операторам рождения и уничтожения.

Все в 3 томе изложено. Есть перманенты и детерминанты для бозонов и фермионов. Рассматривая операторы, симметричные по всем одночастичным состояниям, можно явно получить вылезающие корни из чисел заполнения. После этого вводятся операторы рождения и уничтожения, и гамильтониан приобретает вид суммы по их произведениям. При этом рассматривают случаи парного взаимодействия, взаимодействия 3 частиц и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение25.01.2013, 18:05 
Заслуженный участник


25/01/11
402
Урюпинск
EvilPhysicist в сообщении #675967 писал(а):
Как я понял "рецепт" квантования такой: ...

Рецепт (канонического) квантования (одинаковый и в механике и теории поля такой) такой:

1) По известному лагранжиану $\mathscr{L}(\varphi^A,\partial_\mu\varphi^A)$ строим гамильтонову формулировку.

2) Все поля и канонически сопряжённые им импульсы объявляются операторами $\varphi^A(\vec{x},t)\to\hat{\varphi}{}^A(\vec{x},t)$, $\pi_A(\vec{x},t)\to\hat{\pi}{}_A(\vec{x},t)$. Операторами также становятся и другие величины, в часности, гамильтониан. На канонические переменные накладываются одновременные коммутационные соотношения $$[\hat{\varphi}^A(\vec{x},t),\hat{\pi}_B(\vec{y},t)]=i\delta^A_B\delta(\vec{x}-\vec{y}),\qquad\hbar=1,$$
остальные равны нулю. Дальше шляпки над операторами не пишу.

3) Дальнейшее зависит от того в какой картине рассматривать (Гейзенберга или др.) В теории поля используется картина Гейзенберга. В ней векторы состояния от времени не зависят, зависят от времени операторы. Эволюция операторов определяется из уравнения $$i\frac{dO}{dt}=[O,H],$$$H$ --- гамильтониан, $O$ --- произвольный оператор.

4) В частности, для рассмтриваемого Вами скалярного поля получится уравнение Клейна-Гордона $(\partial^2+m^2)\varphi=0$. Решаем, получаем примерно то что Вы написали (у Вас решение записано для вещественного скалярного поля).

5) Коммутационные соотношения между $a$ (и др.) находятся из одновременных коммутационных соотношений.

6) и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение25.01.2013, 18:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
EvilPhysicist
Вы не отбалтывайтесь. Вы писали формулу:
    EvilPhysicist в сообщении #675967 писал(а):
    3)Сказать, что волновая функция системы $\psi=\sum\limits_{\vec k}  a_{\vec k} u_{\vec k} + a^+_{\vec k} u_{\vec k}^\ast$
Что эти слова, "волновая функция системы", значат? И почему в формулу не входят произведения типа $a^+a^+$ и так далее?

espe уже всё рассказал...

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение25.01.2013, 18:24 


07/06/11
1890
Munin в сообщении #676183 писал(а):
Что эти слова, "волновая функция системы", значат?

То же что и всегда, что это эта функция, такая, что наблюдаемое знаение величины $A$ будет $\int dV \psi^\ast \hat A \psi$. А $u_{\vec k}$ - это "элементарные" возбуждения поля по которым все и раскладывается.

Munin в сообщении #676183 писал(а):
И почему в формулу не входят произведения типа $a^+a^+$ и так далее?

потому что они должны будут умножаться вещи вроде $ \int d^n x u^\ast_{\vec k} u^\ast_{\vec k'} $ котоые дадут нуль так как $u^\ast_{\vec k}, u^\ast_{\vec k'}$ ортогональные, при $\vec k\not =\vec k'$.

espe в сообщении #676178 писал(а):
Все поля и канонически сопряжённые им импульсы объявляются операторами $\varphi^A(\vec{x},t)\to\hat{\varphi}{}^A(\vec{x},t)$, $\pi_A(\vec{x},t)\to\hat{\pi}{}_A(\vec{x},t)$

То есть опять же, получить из классики формулу с потенциалами и импульсами или с коэффициентами разложения в ряд, а затем "руками" заменить все, что нужно, на операторы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение25.01.2013, 19:03 
Заслуженный участник


25/01/11
402
Урюпинск
EvilPhysicist в сообщении #676193 писал(а):
То есть опять же, получить из классики формулу с потенциалами и импульсами или с коэффициентами разложения в ряд, а затем "руками" заменить все, что нужно, на операторы.

Не уверен, что правильно понял вопрос. Какое разложение в ряд имеется ввиду?

Заменяется всё "руками". В классике был гамильтониан $H[\varphi,\pi]$, после квантования $\hat{H}=H[\hat{\varphi},\hat{\pi}]$.

Вы про это спрашивали?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 151 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 11  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group