Откуда берется формула центра масс?

[Munin]

(Оффтоп)

miflin в сообщении #624480 писал(а):

Где-то Munin цитировал, не нашел.

Это Зализняк. Вот полностью: http://elementy.ru/lib/430463/430464
А цитата, которую я обычно привожу, такова:

Цитата:

Мне хотелось бы высказаться в защиту двух простейших идей, которые прежде считались очевидными и даже просто банальными, а теперь звучат очень немодно:

1) Истина существует, и целью науки является ее поиск.

2) В любом обсуждаемом вопросе профессионал (если он действительно профессионал, а не просто носитель казенных титулов) в нормальном случае более прав, чем дилетант.

Им противостоят положения, ныне гораздо более модные:

1) Истины не существует, существует лишь множество мнений (или, говоря языком постмодернизма, множество текстов).

2) По любому вопросу ничье мнение не весит больше, чем мнение кого-то иного. Девочка-пятиклассница имеет мнение, что Дарвин неправ, и хороший тон состоит в том, чтобы подавать этот факт как серьезный вызов биологической науке.

Но там и дальше хорошо сказано, просто цитату надо где-то оборвать, увы.

[_Ivana]

(Оффтоп)

А можно на скучных уроках истории решать следующие задачки - рассмотреть в ограниченном объеме класса всех сидящих за партами учеников, и находить разнообразные центры этой системы - например, центр стоимости одежды, центр ума, чести, совести, красоты, силы, вредности и т.д. А потом проанализировать их взаимное расположение

[Nemiroff]

(Оффтоп)

_Ivana в сообщении #624543 писал(а):

центр ума, чести, совести, красоты, силы, вредности и т.д.

Это измеримые величины?

[casualvisitor]

lunya в сообщении #624152 писал(а):

У меня такое ощущение, что вы вообще не читали мой вопрос? Что лежит в основе определения понятия центра масс и формулы для определения его положения? ... В чем изначальная идея введения этого понятия?

Ваш вопрос поняли и ответ Вам дали. Просто этот ответ Вам не нравится. Повторю ответ:

Люди давно заметили, что, если

Oleg Zubelevich в сообщении #624129 писал(а):

имеется система материальных точек с массами $m_i,\quad i=1,\ldots,n$

то геометрическая точка

обладает полезным для анализа движения данной совокупности материальных точек свойством:

Oleg Zubelevich в сообщении #624129 писал(а):

$m\dot{\overline v}_S=\overline F$ , где $\overline F$ -- cумма внешних сил, действующих на систему, $m=\sum_{i=1}^nm_i$

[Конец ответа]

lunya в сообщении #624105 писал(а):

Ощущение такое, что ее взяли с потолка, а потом показали какая она хорошая и как много хорошего из нее следует.

Правильное ощущение. Очень полезное. Вы просто начинете понимать роль физических понятий и теорий, критерий их истинности, логическую структуру физики. ... Только начинаете! ... С того же "потолка" взяты понятия массы и силы, законы Ньютона и постулаты квантовой механики и проч., проч., проч.

[anik]

casualvisitor в сообщении #624576 писал(а):

lunya в сообщении #624105 писал(а):

Ощущение такое, что ее взяли с потолка, а потом показали какая она хорошая и как много хорошего из нее следует.

Правильное ощущение. Очень полезное. Вы просто начинете понимать роль физических понятий и теорий, критерий их истинности, логическую структуру физики. ... Только начинаете! ... С того же "потолка" взяты понятия массы и силы, законы Ньютона и постулаты квантовой механики и проч., проч., проч.

По-вашему получается, что критерием истинности физических понятий и теорий является то, что они взяты "с потолка"?
А может быть их надо было "высосать из пальца"?

[profrotter]

casualvisitor в сообщении #624576 писал(а):

С того же "потолка" взяты понятия массы и силы, законы Ньютона и постулаты квантовой механики и проч., проч., проч.

Мне всегда казалось, что понятие центра масс следует рассматривать как характеристику тела, ничего общего с постулатом не имеющую.

lunya в сообщении #624433 писал(а):

Тем более, что в общем случае, центр масс, центр тяжести, да и что уж там говорить - геометрический центр системы - вещи разные.

Не надо так категорично. Центр масс - это точка, через которую проходит равнодействующая параллельных сил, приложенных к каждой точке рассматриваемой системы. Понятно, что когда тело находится в однордном поле тяжести, к каждой его массивной точке приложены параллельные силы тяжести. Так что центр тяжести - это то, во что превращается центр масс в равномерном поле тяжести, условно говоря, понятие "центр масс" включает в себя "центр тяжести" как частный случай.

Интуитивно почувствовать центр тяжести можно играясь с весами-качелями, о которых я уже писал, и иными закреплёнными стержнями (тут поле для домашних экспериментов безгранично), а вот для того, чтобы почувствовать центр масс надо проехать в автобусе утром числа 1 января: стоя при разгоне/торможении автобуса штормит сильнее, чем сидя. Почему? - Потому что центр масс в сидячем положении ниже, чем в стоячем, соответственно момент "штормовой" силы, прикладываемой к каждой точке тела перпендикулярно его вертикали, относительно пяток больше в стоячем положении, чем в сидячем.

[lunya]

casualvisitor в сообщении #624576 писал(а):

С того же "потолка" взяты понятия массы и силы, законы Ньютона и постулаты квантовой механики и проч., проч., проч.

Давайте не путать мух с котлетами. Масса, Силы, Поля, Законы Движения и т.д. - сущности первичные и постулируемые. Понятие центра масс - это следствие из них.

profrotter в сообщении #624617 писал(а):

Интуитивно почувствовать центр тяжести можно играясь с весами-качелями, о которых я уже писал, и иными закреплёнными стержнями

Вот это уже ближе к делу! То есть на основе таких наблюдений, делают предположение, что существует такая-то точка, затем математически доказывается, что такая точка существует и она определяется формулой. Меня смущает, что в очень многих учебниках (про школьные вообще молчу), оно просто вводится как определение - потом сухие следствия. Мне не понятно, как я могу что-то серьезное сделать в физике, не понимая и ни разу не столкнувшись с каким либо процессом, иллюстрирущим, как приходят к тому или иному понятию, на основе каких идей или рассуждений (пусть даже исторических)...

[anik]

lunya в сообщении #624631 писал(а):

Давайте не путать мух с котлетами. Масса, Силы, Поля, Законы Движения и т.д. - сущности первичные и постулируемые.

Если не путать мух с котлетами, то понятия "масса", "сила" - первичные и не определяемые, подобно "прямым линиям", "плоскостям", "точкам" в геометрии. Аксиомы формулируют связи между первичными понятиями. Только потом, на основании законов логики из аксиом выводятся теоремы (Законы Движения). Законы движения - это теоремы механики, они не берутся "с потолка" и не должны быть первичными понятиями.
Вообще, в СИ понятие сила определяется по второму закону Ньютона, а понятие массы первично, есть эталон массы.

[casualvisitor]

lunya в сообщении #624631 писал(а):

Масса, Силы, Поля, Законы Движения и т.д. - сущности первичные и постулируемые. Понятие центра масс - это следствие из них.

profrotter в сообщении #624617 писал(а):

Мне всегда казалось, что понятие центра масс следует рассматривать как характеристику тела, ничего общего с постулатом не имеющую.

Центр масс - это никакая не "характеристика тела", не "следствие" из каких-то "сущностей" и не "постулат". Центр масс - это геометрическая точка, определяемая формулой:

Все, что требуется от любого определения с точки зрения логики, - корректность, непротиворечивость. В данном случае это условие тривиально выполнено (формула действительно задает точку, причем единственную). И все. Никакого "следования из сущностей".

Может и должен быть задан вопрос (никак не относящийся к логике, но зато относщийся к физике): "Почему мы обратили внимание на эту точку и даже дали ей особое название?" Ответ:

Oleg Zubelevich в сообщении #624129 писал(а):

$m\dot{\overline v}_S=\overline F$ , где $\overline F$ -- cумма внешних сил, действующих на систему, $m=\sum_{i=1}^nm_i$

[profrotter]

lunya в сообщении #624631 писал(а):

То есть на основе таких наблюдений, делают предположение, что существует такая-то точка, затем математически доказывается, что такая точка существует и она определяется формулой.

Возможно исторически оно так и было. История тут уведёт нас далеко, возможно к работам Леонардо да Винчи, который (не избегая, впрочем, заблуждений) любил опыты с рычагами и верёвками и, хотя понятие силы не ввёл, подошёл близко в идее графического представления силы. Возможно ближе всего подошёл к идее центра тяжести Гюйгенс в своей работе "Маятниковые часы" от 1673 года.

lunya в сообщении #624631 писал(а):

Меня смущает, что в очень многих учебниках (про школьные вообще молчу), оно просто вводится как определение - потом сухие следствия.

Посмотрим в Сивухин Д.В. Общий курс физики. Учебное пособие: для вузов. В 5 т. Т.I. Механика.- М.: ФИЗМАТЛИТ; изд-во МФТИ, 2005, стр.115-116: "Центр масс системы совпадает с её центром тяжести, то есть с точкой приложения параллельных сил, действующих на материальные точки системы в однородном поле тяжести. Поэтому вместо терминов "центр масс" или "центр инерции" употребляют также термин "центр тяжести". ... Термин "центр тяжести" распространён в курсах теоретической механики, особенно старых. В физике этот термин практически вышел из употребления." Поэтому посмотрите учебники - в большинстве из них материал про центр тяжести предшествует понятию центр масс. И загляните в хороший старый учебник, который для 9-го класса в самый раз, - Ландсберг Элементраный учебник физики. Там в первом томе должны быть и опыты и материал про центр тяжести.

В целом то тема ваша уже достаточно раскрыта. Просто примите, что центр масс это такая геометрически сопставляемая системе материальных точек, точка, которая обладает рядом свойств, а свойства эти уже достаточно перечислены в теме. То есть тут всё честно: мы определили некоторое понятие и дали его характеризацию, которая показала его полезность.

[Munin]

Исторически центр тяжести появился в задачах статики, где надо было определять устойчивость и уравновешивать грузы.

[_Ivana]

(Оффтоп)

Nemiroff в сообщении #624558 писал(а):

Это измеримые величины?

При определенных допущениях - да. Проводят же конкурсы красоты и соревнования кто больше выжмет на кистевом силомере. Причем, для сабжевой задачи совершенно не важно абсолютное значение этих величин в какой-либо системе единиц, достаточно только взаимной соразмерности

[profrotter]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #624817 писал(а):

Исторически центр тяжести появился в задачах статики, где надо было определять устойчивость и уравновешивать грузы.

Придёт Евгений Машеров и всё расскажет.

[Munin]

(Оффтоп)

profrotter в сообщении #624882 писал(а):

Придёт Евгений Машеров и всё расскажет.

Ну на таком-то уровне и я могу. Архимед, Симон Стевин. Хотя, конечно, я всегда рад, когда он добавляет увлекательных подробностей.

Фишка в том, что вообще не было такой науки, как динамика, до примерно Галилея-Ньютона. Считалось, что массы (= веса) и силы - это то, что позволяет описать неподвижные тела. А у движущихся есть некоторая траектория, и всё. Задача нахождения $v(t)$ и тем более задача нахождения самой траектории, по сути, не ставилась, и не решалась как задача анализа действующих на тело сил. Актуально было хотя бы описать движение, а найти его - не считалось, тут знания одних сил достаточно.

Галилей и Ньютон нашли движение тела как точки, считая силы известными (Галилей для частных случаев, Ньютон для общего случая). Потом Эйлер нашёл движение твёрдого тела, с учётом его вращения. Оказалось, что движение тела как точки отделяется от вращательного движения, и для этого как раз удобно заменять тело его центром масс. Этот факт был расширен и на любые системы тел.

[mserg]

Ответ на вопрос ТС содержится в самом первом ее сообщении. Начинаем решать указанные выше задачи – получаем либо прямо в качестве «ответа» формулу центра масс, либо в качестве подвыражения. Так как таких «задач» достаточно много, то для упрощения и унификации описания ввели термина «центр масс». Это удобно и эффективно. Теперь, при обучении, сначала дают термин, а потом дают описания с помощью этого термина.

Физическое понимание термин центра масс мне кажется вполне очевидным. Сама формула представляет собой “среднее” положений в пространстве, взвешенных по массам (весам):
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1% ... 0%BE%D0%B5
Это формула имеет широчайшее распространение. Если есть понимание «формулы», то будет понятно почему «центр» и почему «масс» в термине «центр масс».