Откуда берется формула центра масс?

[Oleg Zubelevich]

то, что в ряде задач это сильно упрощает анализ

[lunya]

Oleg Zubelevich в сообщении #624182 писал(а):

то, что в ряде задач это сильно упрощает анализ

Извините, но вот это уже следствие, а не изначальная предпосылка. Вы можете больше не отвечать - вы не понимаете о чем я спрашиваю или не знаете ответа.

[miflin]

Oleg Zubelevich в сообщении #624175 писал(а):

я уточню глупость на которой Вы настаиваете.

Я сам попытаюсь уточнить.
Когда я написал вот это:

miflin в сообщении #624169 писал(а):

Если в невесомости пихнуть тело произвольной формы тычком в произвольную
его точку, то оно полетит, вращаясь вокруг некоторой оси - оси, относительно
которой момент инерции минимален.

то понимал некоторую неоднозначность, которая, мне казалось, очевидна -
имелась в виду "некоторая ось" из совокупности параллельных осей, относительно
которых мог бы вращаться стержень.
В зависимости от точки приложения это может быть и продольная ось, и проходящая
через центр перпендикулярная, и любая другая, но обязательно проходящая через центр масс.
Подразумевался не абсолютный минимум.

[lunya]

miflin в сообщении #624169 писал(а):

Если в невесомости пихнуть тело...

А если тело не абсолютно твердое? Или вообще состоит из несвязанных между собой точек?

[miflin]

lunya в сообщении #624196 писал(а):

miflin в сообщении #624169 писал(а):

Если в невесомости пихнуть тело...

А если тело не абсолютно твердое? Или вообще состоит из несвязанных между собой точек?

Значит будете иметь дело с гуляющим центром масс.

[Батороев]

lunya в сообщении #624176 писал(а):

Мне не понятно, и я снова спрашиваю вас, перефразируя свой вопрос - почему мне должно прийти в голову складывать силы, чтобы получить полную силу действующую на систему точек, ТЕМ БОЛЕЕ, ЧТО ЭТИ СИЛЫ ПРИЛОЖЕНЫ К РАЗНЫМ ТОЧКАМ? В чем изначальная предпосылка сделать это действие?

Сложения сил нет. Есть сложение произведений масс точек на координаты этих точек. Эта сумма уравнивается с произведением общей массы с координатой центра масс. В оконцовке из полученного выражения выделяется координата центра масс - получается представленная Вами формула.

[Joker_vD]

А кстати, раз уж у нас есть закон сохранения движения центра масс, то его можно ввести с помощью теоремы Нётер: берем преобразования Галилея...

[Xey]

lunya в сообщении #624105 писал(а):

Меня интересует - откуда взялась эта формула? На основе каких рассуждений? Как к ней пришли?

Для одной точки она верна и для двух тоже.
Так и пришли.

[profrotter]

Мне думается проще понять для центра тяжести. Рассматриваем твёрдые качели с разными массами на концах. Для того, чтобы они находились в равновесии моменты силы тяжести относительно точки приложения уравновешивающей силы должны быть равны между собою, то есть

$$F_1(x_0-x_1)=F_2(x_2-x_0)$$

$$m_1g(x_0-x_1)=m_2g(x_2-x_0)$$

$$(m_1+m_2)x_0=(m_1x_1+m_2x_2)$$

$$x_0=\frac {(m_1x_1+m_2x_2)}{(m_1+m_2)}$$

Либо рассматриваем систему МТ. Общий импульс системы

$$\overrightarrow{p}=\sum m_i\overrightarrow{v_i}$$

А теперь говорим, что нам нужен анализ ситуации с высоты птичьего полёта и мы хотим иметь эквивалентную МТ, которая бы отражала свойства системы. То есть мы хотим рассматривать движение роя пчёл, не интересуясь при этом движением каждой пчёлки. При этом общий импульс будет представлен в виде:

$$\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v},$$

где $m=\sum m_i$ - масса эквивалентной МТ, $\overrightarrow{v}$ - её скорость. Приходим к уравнению:

$$\sum m_i \overrightarrow{v}=\sum m_i\overrightarrow{v_i}$$

или

$$\overrightarrow{v}=\frac{\sum m_i\overrightarrow{v_i}}{\sum m_i}$$

После интегрирования по времени имеем

$$\overrightarrow{r}=\frac{\sum m_i\overrightarrow{r_i}}{\sum m_i}.$$

[Himfizik]

Xey в сообщении #624274 писал(а):

Для одной точки она верна и для двух тоже.

Ну, тут так и просится обобщение =)

Уважаемая lunya,
объясните мне корректность Вашего вопроса. Вы спрашиваете, почему вот такую нехитрую комбинацию из отношения двух сумм обозвали центром масс? Ответ напрашивается сам собой: по определению. Почему Вы не спрашиваете: отчего отрезок в треугольнике, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны, называется медианой. Это вопрос почти такого же порядка. От определения не требуется особых объяснений. Оно определяет некую "краказябру" чем-то более простым (в основном), лаконичным и адекватным. Это, что касается математической аксиоматики.

Теперь по физике. Решал один известный физик задачу о движении твердого тела. Формулировал закон его поступательного движения. В результате его простых теоретических умствований родилось соотношение, сформулированное как теорема о движении центра масс. И да, там возникла вот такая комбинация. И да, обозвали ее (позже или раньше) центром масс.
Вот Вы еще спрашиваете, в чем необходимость находить систему отсчета, где импульс - нуль. Вот будете Вы, например, изучать какую-нибудь "сложную" систему (задача двух тел в механике, движение газа в молекулярной физике...), состоящую из множества частиц. Эта система (точнее элементы этой системы) совершает самые разные виды движения. Вы смотрите на все это безобразие и думаете... так, вот они степени свободы... вот они частицы... хм... так, движение можно представить как сумму движения центра масс плюс движение относительно этого центра масс (а Вы, между делом, возжелали, ко всему прочему, найти сечение столкновений частиц)... Ну вот, говорите Вы... сейчас я сяду в систему центра масс и останется рассмотреть относительное движение частиц... ура... задача стала легче (и интегралы по распределениям в молекулярной физике с отдельными членами для движения центра масс и относительного движения стали нагляднее, и задача двух тел уже не такая сложная...).

Другое дело, если бы Вы спросили: поясните мне "на пальцах" физический смысл этой величины. Вот тогда я бы попросил Вас представить плоский треугольник (без потери общности) с переменной плотностью. Плотность переменная, следовательно все точки треугольника "неравноправны". Вы в рамках статики хотите найти такую точку треугольника, под которую бы Вы подставили иголку, и треугольник бы не упал. Как ее найти? Понятно, что она должна быть "эффективным центром" треугольника. Вы вспоминаете, например, что средняя скорость определяется как $v=\frac{\int v(t) dt}{\int dt}$. Интеграл непрерывный аналог суммы. В числителе стоит переменная скорость, которая меняется от секунды к секунде. Так же у Вас и масса меняется от координаты к координате на поверхности треугольника. В знаменателе - полное время. В задаче статики аналог - полная масса. То есть, рассуждаете Вы дальше центр масс - это некая "средняя" точка. Потом вспоминаете...точно, в физике средняя величина $f$, распределенная с плотностью $n$ по объему $V$ есть $\frac{1}{V}\int n f dV$, где удельная плотность $n dV$ показывает какой вес от $f$ приходится на область пространства $dV$.
Аналогия ясна?!

P.S. Рассмотрение выше проведено только для случаев, когда нет необходимости различать центр инерции и центр масс.

[lunya]

Himfizik в сообщении #624291 писал(а):

Уважаемая lunya,
объясните мне корректность Вашего вопроса. Вы спрашиваете, почему вот такую нехитрую комбинацию из отношения двух сумм обозвали центром масс? Ответ напрашивается сам собой: по определению. Почему Вы не спрашиваете: отчего отрезок в треугольнике, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны, называется медианой.

Я с этим не совсем согласна. Есть разница в вопросах - почему яблоко назвали яблоком, и почему центр масс определили как

Первое тривиально! Второе нет! Потому, что это определение УСТАНОВЛЕННО ЗАРАНЕЕ, ЗНАЯ КАКИЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕГО ПОЛУЧАТЬСЯ... Неужели я не по русски говорю?

Ладно, проехали... Вот вы ссылаетесь на теорему о движении центра масс... Значит идея ввести понятие центра масс следует из идеи, что каждую механическую систему точек можно ИСКУССТВЕННО представить в виде одной точки, подчиняющейся тому же основному закону движения механики, а именно второму закону Ньютона... Так?

Ландау, например, исходит из соображения, что всегда можно указать систему отчета в которой полный импульс системы равен нулю. Отсюда вытекает определение системы центра инерции, из нее вытекает формула положения центра масс... Вот о чем я спрашивала...

[Padawan]

lunya в сообщении #624329 писал(а):

УСТАНОВЛЕННО ЗАРАНЕЕ, ЗНАЯ КАКИЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕГО ПОЛУЧАТЬСЯ...

Автор учебника, конечно, знал все эти замечательные следствия. А как там отцы -снователи рассуждали -- бог его знает. Наверняка они приходили к этому понятию из разных соображений. Потому что вот такое оно хорошее, многое упрощает при решении задач. Даже чисто математически.

[lunya]

Padawan в сообщении #624332 писал(а):

lunya в сообщении #624329 писал(а):

УСТАНОВЛЕННО ЗАРАНЕЕ, ЗНАЯ КАКИЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕГО ПОЛУЧАТЬСЯ...

Автор учебника, конечно, знал все эти замечательные следствия. А как там отцы -снователи рассуждали -- бог его знает. Наверняка они приходили к этому понятию из разных соображений. Потому что вот такое оно хорошее, многое упрощает при решении задач. Даже чисто математически.

Так мне как-раз и интересно с педогогической точки зрения... Не с потолка же взяли закон F=ma... До того, как написать эту формулу были какие-то предпосылки в виде опытов, не правда? И в случае с идеей центра масс - тоже! Мы, конечно-же открыв учебник и прочитав сначала его определение, а потом замечательные следствия - увидим как это классно! Но представте "первобытного" человека самостоятельно познающего мир. Какая основная идея или наблюдение должно было привести его к этому понятию?

[Nemiroff]

lunya в сообщении #624337 писал(а):

Но представте "первобытного" человека самостоятельно познающего мир. Какая основная идея или наблюдение должно было привести его к этому понятию?

Ну это же центр. Расположение масс в среднем. "Давайте отвлечемся от деталей, посмотрим как это тело выглядит в среднем." Особенно, если смотреть издалека.

[lunya]

Nemiroff в сообщении #624351 писал(а):

lunya в сообщении #624337 писал(а):

Но представте "первобытного" человека самостоятельно познающего мир. Какая основная идея или наблюдение должно было привести его к этому понятию?

Ну это же центр. Расположение масс в среднем. "Давайте отвлечемся от деталей, посмотрим как это тело выглядит в среднем." Особенно, если смотреть издалека.

Ну давайте посмотрим, даже издалека, и даже из релятивисткой механики:



И почему теперь это центр? И почему бы в качестве центра не взять что-нибудь этакое и посмотреть что выйдет из этой затеи? Смысл в том, что не из определения следуют следствия... А на основе каких-то идей следует это определение...