2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 14  След.
 
 Re: Откуда берется формула центра масс?
Сообщение28.09.2012, 16:19 
Аватара пользователя


27/02/12
3893
lunya в сообщении #624362 писал(а):
А на основе каких-то идей следует это определение...

Центр масс - единственная точка в теле, обладающая свойствами, которыми
не обладает ни одна другая. Вот потому эту точку и выделили.
Как она рассчитывается - вы знаете.
Что это за свойства? В частности, если к любой точке тела приложить силу,
линия действия которой проходит через центр масс, тело будет двигаться,
не вращаясь. Во всех остальных случаях будем иметь вращение.
Или - суммарный момент сил тяжести , действующих на отдельные части тела,
помещенного в однородное гравитационное поле, равен нулю относительно
центра масс.
Т.е. центр масс фигурирует в ситуациях, где наблюдается минимум некоторых
величин, если угодно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Откуда берется формула центра масс?
Сообщение28.09.2012, 16:25 


31/10/10
404
lunya в сообщении #624329 писал(а):
Я с этим не совсем согласна.

lunya в сообщении #624329 писал(а):
Ладно, проехали... Вот вы ссылаетесь на теорему о движении центра масс... Значит идея ввести понятие центра масс следует из идеи, что каждую механическую систему точек можно ИСКУССТВЕННО представить в виде одной точки, подчиняющейся тому же основному закону движения механики, а именно второму закону Ньютона... Так?

Ландау, например, исходит из соображения, что всегда можно указать систему отчета в которой полный импульс системы равен нулю. Отсюда вытекает определение системы центра инерции, из нее вытекает формула положения центра масс... Вот о чем я спрашивала...


Так еще раз. Чтобы не было недопонимания. 1) Обсуждать "аксиоматику" науки можно бесконечно долго. 2) Процесс изобретения, создания, нахождения основополагающих принципов и законов природы не совпадает хронологически с процессом построения аксиоматики.
И, конечно, я могу, опять же ссылаясь на опыт с треугольной пластинкой и иглой, говорить, что такое определение будет следовать из эксперимента (раз уж Вы заодно и $\vec F=m\vec a$ вспомнили). Впрочем, мы вправе требовать согласования теории с экспериментом в любой момент, независимо от используемой аксиоматики, поэтому отвлечемся от эксперимента в принципе, считая, что на определенном этапе развития науки требуемое согласие получено.
Тогда весь вопрос лежит в плоскости выбора какой-то одной аксиоматики из множества аксиоматик. Но совершенно очевидно, что если любая выбранная аксиоматика логически непротиворечива и удовлетворяет требованию согласия с экспериментом, то какая разница что за аксиоматику мы будем использовать.
Выбор аксиоматики (что считать причиной, а что следствием) у ЛЛ привязан, как Вы заметили, к выбору системы отсчета с нулевым импульсом системы. Вот и все.

Все, что я писал выше было написано для того, чтобы Вы понимали, что:
1) выбор аксиоматики, в общем случае, не единственен,
2) вполне справедлив подход, когда в результате теоретических рассуждений сначала была получена величина, а уже затем ей был присвоен конкретный физический смысл,
3) возможно обратное: вводится величина, сообразуясь с физическим смыслом, и затем доказываются для нее достаточно общие утверждения, формулируются законы,
4) в истории науки все намного сложнее (синтез 2) и 3), и далеко не всегда в общем случае, а только для ряда конкретных систем),
5) главное - согласие моделей и всех "аксиоматических следствий" с экспериментом,
6) поэтому вполне достаточно (не привязываясь к определенной аксиоматике) понимать и знать всю теор. базу, всю модель со всеми определениями (принятыми в данной аксиоматике) и утверждениями, связывающими эти определения (законы) + придавать определениям наглядный физический смысл из требований согласования с экспериментом (собственно, поэтому я и описал Вам опыт (привязка к эксперименту), который может объяснить необходимость и нужность "ц.м.", а потом еще математически записал то, как "ц.м." может пониматься через определения уже существующие - определение среднего (привязка к теории)).
Фирштейн?!

-- Пт сен 28, 2012 19:30:53 --

lunya в сообщении #624362 писал(а):
Ну давайте посмотрим, даже издалека, и даже из релятивистской механики:

Сегодня точно "лыжи не едут" :-( ...
Центр масс в классической аналитической механике. Не примешивайте сюда лишнее. Еще раз прочитайте про нахождение среднего значения величины, неравномерно размазанной по области.

 Профиль  
                  
 
 Re: Откуда берется формула центра масс?
Сообщение28.09.2012, 16:42 
Аватара пользователя


27/09/12
39
Himfizik в сообщении #624380 писал(а):
Мои результаты мне давно известны, я только не знаю, как я к ним приду.
К. Гаусс

Пожалуй эта фраза, как нельзя точно характеризирует наши учебники :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Откуда берется формула центра масс?
Сообщение28.09.2012, 16:50 


31/10/10
404

(Оффтоп)

lunya в сообщении #624391 писал(а):
Пожалуй эта фраза, как нельзя точно характеризирует наши учебники :)

Юмор оценил :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Откуда берется формула центра масс?
Сообщение28.09.2012, 17:30 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
lunya
А попробуйте прочитать восьмой параграф ЛЛ-1, "Центр инерции". Там, как мне кажется, хорошо написано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Откуда берется формула центра масс?
Сообщение28.09.2012, 17:40 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
lunya в сообщении #624362 писал(а):
Ну давайте посмотрим, даже издалека, и даже из релятивисткой механики:

Так не пойдет, в релятивистской механике это просто модификация старого определения, потому что оказалось, что оно очень удобно, и не хотелось бы терять такую штуку.
А появилось это во вполне себе ньютоновской механике. И там это центр. Потому что посередине.

 Профиль  
                  
 
 Re: Откуда берется формула центра масс?
Сообщение28.09.2012, 18:01 
Заблокирован


30/07/09

2208
Понятие центра масс возникло как обобщение понятия центра тяжести. С понятием центра тяжести ученики знакомятся ещё в школе.
Замечено, что на палке или стержне можно найти такую точку в качестве опоры, что стержень будет находится в безразличном равновесии. Далее, находились условия равновесия, такого стержня. Рассматривался тонкий, жёский, невесомый стержень с массами на конце. Оказалось, что можно ввести в рассмотрение такую величину, как вращающий момент $FR \cos\varphi$, где $\varphi$ - угол между вектором силы и радиус-вектором. Когда сумма этих вращающих моментов относительно точки опоры станет равна нулю, тогда точка опоры совпадёт с центром тяжести.
При дальнейшем обобщении понятия центра тяжести появилось понятие центра масс. Вместо равенства нулю моментов сил относительно точки, оказалось достаточно рассмотреть равенство нулю статических моментов $m\vec R$. Если тело подвесить в точке, для которой сумма статических моментов равна нулю, то тело окажется в безразличном равновесии. Эта точка назвалась центром масс системы материальных точек, (или системы элементарных масс, на которые разбито твёрдое тело).

-- Пт сен 28, 2012 22:24:14 --

lunya в сообщении #624105 писал(а):
Извините, если я задаю банальные вопросы. У меня возник один вопрос, ответа на который я нигде не нашла. Во всех учебниках, что мне попадались (около десятка), в том числе и учебниках для высших учебных заведений, авторы вводят формулу для определения центра масс в виде:

Изображение

Причем формула эта вводится в виде определения!!!
Если интересует откуда берётся эта формула, то её можно легко вывести.

 Профиль  
                  
 
 Re: Откуда берется формула центра масс?
Сообщение28.09.2012, 18:53 
Аватара пользователя


27/09/12
39
Joker_vD в сообщении #624407 писал(а):
А попробуйте прочитать восьмой параграф ЛЛ-1, "Центр инерции". Там, как мне кажется, хорошо написано.

Согласна! И об этом писала выше.
anik в сообщении #624417 писал(а):
Если интересует откуда берётся эта формула, то её можно легко вывести.

То, что можно вывести - ясное дело! Мы как раз обсуждали на основе каких предположений ее можно вывести.
Nemiroff в сообщении #624413 писал(а):
И там это центр. Потому что посередине.

Вы меня извините, конечно, но я учусь в 9 классе, и если кто-то даст мне формулу и скажет - поверь мне, вот так определяется центр, то для меня не совсем очевидно что центр именно там... Тем более, что в общем случае, центр масс, центр тяжести, да и что уж там говорить - геометрический центр системы - вещи разные. Так что вовсе неочивидно.
Himfizik в сообщении #624380 писал(а):
Обсуждать "аксиоматику" науки можно бесконечно долго

На счет аксиоматики понятно! Но, наверное, проблема в том, что я лично считаю, если уж авторы учебников берут в качестве аксиом законы Ньютона, то было правильней показать как из них доходят до всех определений и следствий... А не плодить бессвязные определения, а потом связывать их с законами.
В общем, для себя лично буду считать, что идея понятия центра масс (той самой удивительной точки) следует из предположения, что каждую механическую систему мат. точек искусственно можно представить в виде одной мат. точки имеющей массу системы, движение которой подчиняется основному закону движения (F=ma).

 Профиль  
                  
 
 Re: Откуда берется формула центра масс?
Сообщение28.09.2012, 19:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
lunya в сообщении #624433 писал(а):
если кто-то даст мне формулу и скажет - поверь мне, вот так определяется центр
А что такое "центр"? Может быть, он именно так и определяется - этой самой формулой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Откуда берется формула центра масс?
Сообщение28.09.2012, 19:32 
Аватара пользователя


27/09/12
39
Someone в сообщении #624451 писал(а):
lunya в сообщении #624433 писал(а):
если кто-то даст мне формулу и скажет - поверь мне, вот так определяется центр
А что такое "центр"? Может быть, он именно так и определяется - этой самой формулой.

Встречный вопрос: а что если бы закон движения выглядел бы не как F=ma, а как-то подругому, как тогда бы определялся центр масс? Имел бы он вообще физический смысл? Математический возможно бы имел... А физический? Вам это очевидно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Откуда берется формула центра масс?
Сообщение28.09.2012, 19:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Откуда берется формула центра масс?
Сообщение28.09.2012, 20:17 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
lunya в сообщении #624433 писал(а):
Вы меня извините, конечно, но я учусь в 9 классе, и если кто-то даст мне формулу и скажет - поверь мне, вот так определяется центр, то для меня не совсем очевидно что центр именно там... Тем более, что в общем случае, центр масс, центр тяжести, да и что уж там говорить - геометрический центр системы - вещи разные.

Ну вот смотрите: как мы находим среднее арифметическое чисел? Складываем все, затем делим на их количество. Повторим для векторов.
Пусть есть три вектора $\vec u, \vec v, \vec w$, их среднее арифметическое: $\vec r=\dfrac{\vec u+\vec v+\vec w}{3}$. Если векторы - радиус-векторы материальных точек, массы которых одинаковы, $\vec r$ - их среднее, то бишь центр масс.
Пусть теперь массы разные: векторам $\vec u$ и $\vec w$ соответствует масса $1$, $\vec v$ - масса $3$. Как тогда найти центр? Просто примем, что вектор $\vec v$ в три раза "ценнее", в точку указывает не один, а сразу три вектора, соответственно и делить придется не на $3$, а на $5$. И центром масс будет $\vec r=\dfrac{\vec u+3\vec v+\vec w}{5}$.
Вот в этом смысле я говорил про среднее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Откуда берется формула центра масс?
Сообщение28.09.2012, 20:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12512
Определение данное выше и превосходное и догматическое. Однако, можно подойти к нему чисто кинематически.

Пусть в некоторой ИСО задана эволюция вектора ${\mathbf{r}}_C $, указующего на точку $C$, из которой отложен псевдовектор угловой скорости ${\mathbf{\omega }}$ и вектор ${\mathbf{r}}$, вращающийся с помянутой угловой скоростью и отмечающий положение элементарной массы $dm$ взятой внутре некоего вращающегося же твердого тела. Тогда скорость рассматриваемого элемента $dm$ в вышеупомянутой ИСО будет
$${\mathbf{v}} = {\mathbf{v}}_C  + {\mathbf{\omega }} \times {\mathbf{r}}$$
ее квадрат будет
$$v^2  = v_C^2  + 2\left( {{\mathbf{v}}_C  \times {\mathbf{\omega }}} \right) \cdot {\mathbf{r}} + {\mathbf{\omega \omega }} \cdot  \cdot \left( {\hat 1r^2  - {\mathbf{rr}}} \right)$$
откуда кинетическая энергия тела примет
$$\int\limits_V {\frac{{v^2 }}{2}dm = } \frac{{mv_C^2 }}{2} + \left( {{\mathbf{v}}_C  \times {\mathbf{\omega }}} \right) \cdot \int\limits_V {{\mathbf{r}}dm}  + \frac{1}{2}{\mathbf{\omega \omega }} \cdot  \cdot \int\limits_V {\left( {\hat 1r^2  - {\mathbf{rr}}} \right)dm} $$
И еще сильнее примет, если выбрать точку $C$ так, что
$$\int\limits_V {{\mathbf{r}}dm}  = 0$$
И это он, это он - ленинградский центр масс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Откуда берется формула центра масс?
Сообщение28.09.2012, 20:38 
Аватара пользователя


27/02/12
3893

(Оффтоп)

Где-то Munin цитировал, не нашел. Примерно так: если десятилетняя
девочка не согласна с теорией Дарвина, моветоном считается не учитывать
её мнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Откуда берется формула центра масс?
Сообщение28.09.2012, 21:41 


31/10/10
404

(Оффтоп)

alcoholist в сообщении #624455 писал(а):
попахивает спором номиналистов с реалистами

угу, есть немного...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 206 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 14  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group