Откуда берется формула центра масс?

[lunya]

Извините, если я задаю банальные вопросы. У меня возник один вопрос, ответа на который я нигде не нашла. Во всех учебниках, что мне попадались (около десятка), в том числе и учебниках для высших учебных заведений, авторы вводят формулу для определения центра масс в виде:



Причем формула эта вводится в виде определения!!!

Потом на ее основе показывают какими преимуществами обладают системы центра масс и т.д. и т.п. Но лично для меня данная формула не является тривиальной... Ощущение такое, что ее взяли с потолка, а потом показали какая она хорошая и как много хорошего из нее следует. Меня интересует - откуда взялась эта формула? На основе каких рассуждений? Как к ней пришли?

[Oleg Zubelevich]

она возникает естественным образом при выводе теоремы о движении центра масс системы материальных точек

[Munin]

Ландау-Лифшиц т. 1 § 8 "Центр инерции".

[lunya]

Munin в сообщении #624111 писал(а):

Ландау-Лифшиц т. 1 § 8 "Центр инерции".

То есть эта формула следует из попытки найти такую систему отчета, в которой полный импульс системы обращается в нуль?

Но тогда у меня другой вопрос. Каков смысл полного импульса системы по существу? Как я понимаю, если мы рассматриваем полный импульс системы как сумму импульсов совершенно несвязанных друг с другом точек системы, то тем самым мы фактически делаем попытку рассмотреть эти точки как единное тело. Я правильно понимаю?

[_Ivana]

Это часто встречающаяся конструкция, она усредняет аддитивные свойства/действия. Например, по такой же формуле рассчитывается средняя скорость движения тележки, если её в течение $n$различных промежутков времени возили с постоянными на этих промежутках скоростями в разные стороны Представили? Берем итоговый вектор её перемещения как сумму элементарных и делим на все время движения. В пределе можно перейти к интегральной записи этой конструкции.

[Oleg Zubelevich]

Пусть имеется система материальных точек с массами $m_i,\quad i=1,\ldots,n$. Через ${\overline v}_S$ обозначим скорость ее центра масс.

Теорема. Верна формула $m\dot{\overline v}_S=\overline F$ , где $\overline F$ -- cумма внешних сил, действующих на систему, $m=\sum_{i=1}^nm_i$

[lunya]

Oleg Zubelevich в сообщении #624129 писал(а):

Через ${\overline v}_S$ обозначим скорость ее центра масс.

У меня такое ощущение, что вы вообще не читали мой вопрос? Что лежит в основе определения понятия центра масс и формулы для определения его положения?

А вы мне - "обозначим скорость ее центра масс"...

Специально для вас перефразирую вопрос: представте, что я не знаю, что такое центр масс, и вообще понятия не имею чем он хорош, соответсвенно не имею понятия о теоремах свзяных с ним! Я спрашиваю на какой основе появляется это понятие? И как появляется формула для его определения. Не просто же в бошку ударило - "а давай ка, я запишу такую теорему, и посмотрю какая формула получится"...

В чем изначальная идея введения этого понятия?

[Oleg Zubelevich]

Я прочитал ваш вопрос, и намекнул каким образом появляется понятие центра масс. Выведите в качестве упражнения теорему, которую я сформулировал и ваш вопрос отпадет сам собой. Никаких других основ кроме формул динамики нет. За "сокровенным знанием" идите к кришнаитам

[miflin]

lunya в сообщении #624152 писал(а):

В чем изначальная идея введения этого понятия?

В свою бытность студентом, много десятилетий назад, тоже задался
этим вопросом и разрешил его для себя так.
Если в невесомости пихнуть тело произвольной формы тычком в произвольную
его точку, то оно полетит, вращаясь вокруг некоторой оси - оси, относительно
которой момент инерции минимален. Эта ось, по идее, должна проходить
через центр масс. Теорема Гюйгенса-Штейнера подтвердила это предположение.
Помутузьте уравнения...

[Oleg Zubelevich]

miflin в сообщении #624169 писал(а):

Если в невесомости пихнуть тело произвольной формы тычком в произвольную
его точку, то оно полетит, вращаясь вокруг некоторой оси - оси, относительно
которой момент инерции минимален

это неверно, выходит если я длинный тонкий стержень пихну в один из его концов в перпендикулярном направлении то он закрутится вокруг своей оси

[miflin]

Oleg Zubelevich в сообщении #624171 писал(а):

выходит если я длинный тонкий стержень пихну в один из его концов в перпендикулярном направлении то он закрутится вокруг своей оси

"Своих осей" у стержня бесконечно много. И любая, вокруг которой он
закрутится, будет проходить через центр масс.

[Oleg Zubelevich]

miflin в сообщении #624173 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #624171 писал(а):

выходит если я длинный тонкий стержень пихну в один из его концов в перпендикулярном направлении то он закрутится вокруг своей оси

"Своих осей" у стержня бесконечно много. И любая, вокруг которой он
закрутится, будет проходить через центр масс.

хорошо, я уточню глупость на которой Вы настаиваете. Берем длинный тонкий стержень цилиндрической формы. Толкаем его в один из его концов в направлении перпендикулярном его оси симметрии (оси вращения цилиндра). Минимальный момент инерции стержень имеет как раз относительно этой оси. Поэтому

miflin в сообщении #624169 писал(а):

Если в невесомости пихнуть тело произвольной формы тычком в произвольную
его точку, то оно полетит, вращаясь вокруг некоторой оси - оси, относительно
которой момент инерции минимален

стержень будет крутиться вокруг этой оси. Самое смешное, что по-Вашему он будет крутиться вокруг своей оси симметрии (оси вращения цилиндра) в любом случае , как не толкай.

[lunya]

Oleg Zubelevich в сообщении #624167 писал(а):

За "сокровенным знанием" идите к кришнаитам

Причем тут сокровенные знания? Если вы знаете - объясните по человечески... Мне не понятно, и я снова спрашиваю вас, перефразируя свой вопрос - почему мне должно прийти в голову складывать силы, чтобы получить полную силу действующую на систему точек, ТЕМ БОЛЕЕ, ЧТО ЭТИ СИЛЫ ПРИЛОЖЕНЫ К РАЗНЫМ ТОЧКАМ? В чем изначальная предпосылка сделать это действие?

Пользователь Munin отослал меня к Ландау-Лифшицу, где написано, что основная предпосылка - найти систему в которой полный импульс равен нулю. Но в связи с этим у меня вопрос об импульсе, который я задала выше.

[Oleg Zubelevich]

lunya в сообщении #624176 писал(а):

Мне не понятно, и я снова спрашиваю вас, перефразируя свой вопрос - почему мне должно прийти в голову складывать силы, чтобы получить полную силу действующую на систему точек, ТЕМ БОЛЕЕ, ЧТО ЭТИ СИЛЫ ПРИЛОЖЕНЫ К РАЗНЫМ ТОЧКАМ? В чем изначальная предпосылка сделать это действие?

складывать силы надо что бы сократились внутренние силы, которые удовлетворяют третьему закону Ньютона. но вообще-то вы складываете уравнения

[lunya]

Oleg Zubelevich в сообщении #624178 писал(а):

lunya в сообщении #624176 писал(а):

Мне не понятно, и я снова спрашиваю вас, перефразируя свой вопрос - почему мне должно прийти в голову складывать силы, чтобы получить полную силу действующую на систему точек, ТЕМ БОЛЕЕ, ЧТО ЭТИ СИЛЫ ПРИЛОЖЕНЫ К РАЗНЫМ ТОЧКАМ? В чем изначальная предпосылка сделать это действие?

складывать силы надо что бы сократились внутренние силы, которые удовлетворяют третьему закону Ньютона

А внешние силы остануться! И что? Для чего я их складывала? В чем изначальная идея сделать это действие?