Лагранжиан свободных фермионов

[Munin]

Утундрий в сообщении #621618 писал(а):

Мне интересно, достаточно ли широка эта схема, чтобы охватить все имеющийся на вооружении теорфизиков игрушки.

Достаточно, достаточно.

Если хотите, можете погрузить свои зубы в Сарданашвили "Современные методы теории поля", там та же песня, хотя и более навороченными словами и обозначениями.

[Утундрий]

Сарданашвили меня пугает. А вот Ченга и Ли в свое время прочел с большим удовольствием. Там что-то такое "современное" уже теплилось, но язык (слава Тензору) был еще вполне человеческий.

Я все-таки насчет фермионов не очень понимаю. Можно конечно пойти напролом и заменить вещественные числа элементами грассмановой алгебры...

Однако, перелистывал я в очередной раз "Квантовую механику" Давыдова и натолкнул меня его "вывод" уравнения Дирака на следующую конструкцию.

Пусть имеем безмассовое (для упрощения выкладок) Янг-Миллсово поле ${}^a\varphi $, вклад коего в лагранжиан есть ${}^a\varphi ^{;\mu } \cdot {}_a\varphi _{;\mu } $. Тогда уравнение движения будут суть

$${}^a\varphi _{;\mu }^{;\mu } = 0$$

Раскрывая ковариантные производные и ограничиваясь случаем плоского П-В, получим

$$\square \vec \varphi + 2\hat \Gamma ^\mu \cdot \vec \varphi _{,\mu } + \left( {\hat \Gamma _{,\mu }^\mu + \hat \Gamma ^\mu \cdot \hat \Gamma _\mu } \right) \cdot \vec \varphi = 0 \eqno (1)$$

(мне надоело возиться с левыми индексами и я ввел сокращенные обозначения)

Рассмотрим только такие решения $(1)$, которые одновременно удовлетворяют уравнению

$$\square \vec \varphi + m^2 \vec \varphi = 0 \eqno (2)$$

Для этого, очевидно, должно выполняться

$$2\hat \Gamma ^\mu \cdot \vec \varphi _{,\mu } + \left( {\hat \Gamma _{,\mu }^\mu + \hat \Gamma ^\mu \cdot \hat \Gamma _\mu - m^2 } \right) \cdot \vec \varphi = 0 \eqno (3)$$

Предположим, что матрица в скобках невырождена и приведем $(3)$ к виду

$$\hat \gamma ^\mu \cdot \vec \varphi _{,\mu } + im\vec \varphi = 0 \eqno (3')$$

Решение уравнения $(3')$ будет также удовлетворять уравнению $(2)$, если в качестве малых гамм взять обычные матрицы Дирака. Предположим также, что

$$\hat \Gamma ^\mu = \kappa \hat \gamma ^\mu $$

тогда для коэффициента пропорциональности получаем следующие допустимые значения

$$\kappa = \frac{{i \pm \sqrt 3 }}{4}m$$

Итак, мы имеем наличие ненулевой постоянной связности в слое. Так как коммутаторы матриц Дирака не равны нулю, кривизна $\hat F_{\mu \nu } $ этой связности также не нулевая. Член в действии $\hat F_{\mu \nu } \cdot \cdot \hat F^{\mu \nu } $ оказывается константой, пропорциональной $m^4$, что соответствует космологической постоянной

$$\lambda \sim l^2 \left( {\frac{{mc}}{\hbar }} \right)^4 \eqno (4)$$

(здесь восстановлены физ-константы)

Это конечно же, означает что с самого начала нужно было не ограничиваться случаем плоского П-В и зарезервировать хотя бы лямбду, однако в первом приближении и так сойдет.

Резюмируя, можно предположить, что наличие постоянной кривизны слоя может привести к возникновению у безмассового уравнений Я-М решений, ведущих себя как решения уравнений Дирака и одновременно вызвать возникновение космологической постоянной, пропорциональной четвертой степени массы.

[Munin]

В лагранжиане для поля Дирака только одна производная.

[Утундрий]

Munin
Так он же постфактум пишется, чтобы только уравнение воспроизвести.

[Munin]

Тогда я с фразы "вклад коего в лагранжиан" не понимаю.

[Утундрий]

Munin
Я примерно догадываюсь в чем заключается непонимание, но желал бы услышать некоторых подробностей от носителя оного.

[espe]

Munin в сообщении #621439 писал(а):

Но почему спиноры и скаляр не работают, а векторы работают?

Написать неминимальное взаимодействие для этих полей можно, надо только из этих полей составить синглет относительно калибровочных преобразований и скаляр относительно преобразований координат, например $D_\mu\bar{\psi}F^{\mu\nu}D_\nu\psi,\quad\varphi^*F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\varphi$ и т.д. насколько фантазии хватит. Но они будут неперенормируемыми.

Про перенормируемость можно прочитать в Ченг, Ли §2.4.
Кратое резюме оттуда: дано слагаемое из лагранжиана (взаимодействие), например $\mathcal{L}_i=D_\mu\bar{\psi}F^{\mu\nu}D_\nu\psi$. Считаем сколько в нём скалярных полей+безмассовых бозонов$\,=b_i,$ сколько фермионных$\,=f_i$ и сколько производных$\,=d_i.$ Подставляем в формулу (2.140) и считаем каноническую размерность данного взаимодействия (в 4-х мерном пространстве)

$$d(\mathcal{L}_i)=b_i+\frac{3}{2}f_i+d_i\eqno{(2.140)}$$

Если получили $>4$, то данное взаимодействе не перенормируемое. В данном примере будет 7, в другом 6.

[lucien]

espe в сообщении #621783 писал(а):

Если получили $>4$, то данное взаимодействе не перенормируемое.

А если $<4$? У Ченга и Ли такая теория называется суперперенормированной, и сказанно, что в ней содержится конечное число расходящихся диаграмм. Так подходят такие теории или нет? Можно ли расходящиеся диаграммы "спрятать" в перенормировку коких-то параметров?

[Munin]

espe в сообщении #621783 писал(а):

Про перенормируемость можно прочитать в Ченг, Ли §2.4.
Если получили >4, то данное взаимодействе не перенормируемое.

Этот рецепт я знаю (хотя узнал его из Вайнберга... вы что, все из одного вуза, что хором ссылаетесь на Ченга-Ли?). Но этот рецепт, насколько я знаю, для калибровочных полей не совсем справедлив: калибровочно-инвариантный лагранжиан оказывается перенормируемым, даже когда его отдельные члены не удовлетворяют этому условию. См., например, лагранжиан КХД.

espe в сообщении #621783 писал(а):

Написать неминимальное взаимодействие для этих полей можно, надо только из этих полей составить синглет относительно калибровочных преобразований и скаляр относительно преобразований координат

Хмм, начинаю понимать... то есть лагранжиан самих спиноров и скаляров, тоже оказывается синглетом относительно калибровочных преобразований, за счёт преобразования спиноров и скаляров, и преобразования калибровочной производной?

-- 21.09.2012 19:06:38 --

lucien в сообщении #621879 писал(а):

А если <4? У Ченга и Ли такая теория называется суперперенормированной, и сказанно, что в ней содержится конечное число расходящихся диаграмм. Так подходят такие теории или нет?

Подходят, но дело в том, что с таким жёстким ограничением можно написать очень немного разных членов, и реальной физике они не соответствуют. И часто даже не будут скалярами относительно преобразований координат.

lucien в сообщении #621879 писал(а):

Можно ли расходящиеся диаграммы "спрятать" в перенормировку коких-то параметров?

Известен только один рецепт подобного рода: добиться калибровочной инвариантности.

[lucien]

Munin в сообщении #621885 писал(а):

Подходят, но дело в том, что с таким жёстким ограничением можно написать очень немного разных членов, и реальной физике они не соответствуют.

Механизм Хиггса придумали для того, чтобы ввести массы фермионам и калибровочным бозонам. При этом в учебниках пишут, что добавление массовых слагаемых "руками" нарушает перенормируемость. Но ведь для них каноническая размерность меньше 4?

[lek]

lucien в сообщении #622011 писал(а):

в учебниках пишут, что добавление массовых слагаемых "руками" нарушает

калибровочную инвариантность...

[Munin]

Чё-то я запутался... Извините, не могу сказать.

-- 21.09.2012 22:26:05 --

lek в сообщении #622034 писал(а):

в учебниках пишут, что добавление массовых слагаемых "руками" нарушает

калибровочную инвариантность...

Я хотел привести примером КЭД, но там массовые слагаемые есть, и инвариантность есть...

[lucien]

lek в сообщении #622034 писал(а):

lucien в сообщении #622011 писал(а):

в учебниках пишут, что добавление массовых слагаемых "руками" нарушает

калибровочную инвариантность...

Нет, речь шла именно о перенормируемости. Калибровочная инвариантность нарушается и самим механизмом спонтанного нарушения (при выборе определенного значения вакуума. Разве не так?).

[lek]

Munin в сообщении #622038 писал(а):

Я хотел привести примером КЭД, но там массовые слагаемые есть, и инвариантность есть...

Речь по-видимому идет о теории с массовым членом вида $\frac{m^2}{2}A_{\mu}A^{\mu}$. Простейший пример такой теории - теория массивного векторного поля с лагранжианом Прока, который при $m=0$ совпадает с лагранжианом Максвелла.

lek в сообщении #622052 писал(а):

Нет, речь шла именно о перенормируемости. Калибровочная инвариантность нарушается и самим механизмом спонтанного нарушения (при выборе определенного значения вакуума. Разве не так?

Нарушается, но "не руками". Исходный лагранжиан калибровочно-инвариантен. Если же говорить связи между калибровочной инвариантностью и перенормируемостью, то кроме неабелевых калибровочных теорий ни одна перенормируемая теория поля не может быть асимптотически свободной. Это одно из важнейших (если не важнейшее) следствий принципа калибровочной инвариантности.

[lucien]

К сожалению не могу вспомнить источник, но по памяти там говорилось следующее: "По теореме т'Хофта (?) перенормируемым является лишь лагранжиан калибровочно инвариантной модели. Поэтому в стандартной модели нельзя вводить массы "руками", а нужно применять механизм Хиггса". Как-то так. Может быть что-то наврала.

lek в сообщении #622052 писал(а):

Это одно из важнейших (если не важнейшее) следствий принципа калибровочной инвариантности.

А нам говорили, что конфайнмент (оборотная сторона асимптотической свободы) в КХД еще строго не доказан. Или это все же не две сущности одной медали?