Лагранжиан свободных фермионов

[lek]

Здесь на первом...

[Утундрий]

lek в сообщении #621238 писал(а):

Здесь на первом...

Ну так если перенести его вторую строчку, то снизу вверх вполне единственно выводится.

[lek]

Тут проблема в том, что $D_{\mu}\psi=(\partial_{\mu}+A_{\mu})\psi$ только, если $\psi$ - векторное (точнее - одноиндексное) или спинорное поле. А вот действие $D_{\mu}$ на тензорном (мультииндексном) поле Munin определил иначе. И не вполне очевидно было, что эти вообще говоря разные действия приводят к одному закону преобразования калибровочного поля $A_{\mu}$. Это верно в ОТО, где вместо $A_{\mu}$ мы имеем символы Кристоффеля, но здесь не ОТО и поэтому надо было проверить...

[Утундрий]

Однако такая проверка не дает единственности. Да, из заявленного закона трансформации связности следует тензорность ковариантной производной. Но откуда следует, что только из заявленного?

[lek]

Единственность следует из эквивалентности условий

$$ A_{\mu}\to A'_{\mu}=\omega A_{\mu}\omega^{-1}-\partial_{\mu}\omega\qquad\text{и}\qquad D'_{\mu}(\omega\psi)=\omega (D_{\mu}\psi), $$

где

$$ \psi=(\psi^{\alpha})\qquad\text{и}\qquad D_\mu\psi^\alpha=\partial_\mu\psi^\alpha+A_{\mu\beta}^{\alpha}\psi^{\beta}. $$

Его мы доказываем в "обе стороны" (хотя можно и не доказывать, а просто сослаться на Я-М), а затем, для остальных действий $D_\mu$ (на мультииндексные величины), проверяем уже только в одну - "сверху вниз" (разумеется, можно и "снизу вверх", разве что проверка будет сложнее). А можно и в две стороны, если есть время

[espe]

Munin в сообщении #620300 писал(а):

А бывают ли неминимальные взаимодействия, но при этом по-прежнему калибровочно-инвариантные?

Если имеется ввиду вопрос можно ли их написать, то ответ да. Например $i\varphi^*_\mu F^{\mu\nu}\varphi_\nu,$ $\varphi_\mu$ --- векторное поле.

Если имеется ввиду, есть ли они в стандартной модели, то ответ нет. Имеея спиноры и скаляр (и напряжённость калибровочного поля) невозможно написать перенормируемое неминимальное взаимодействие.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Что-то молчаливо подразумеваем, что-то в уме, быстренько пока никто не заметил, доказываем...

Пусть имеем некий набор ${}^a\varphi$, физически эквивалентный набору

$${}^{\tilde a}\varphi = {}_b^{\tilde a} W \cdot {}^b\varphi \eqno (1)$$

, если только детерминант $W$ не нуль. Положим

$${}^a\varphi _{;\mu } \equiv {}^a\varphi _{,\mu } + {}_b^a \Gamma _\mu \cdot {}^b\varphi \eqno (2)$$

$${}^{\tilde a}\varphi _{;\mu } = {}_b^{\tilde a} W \cdot {}^b\varphi _{;\mu } \eqno (3)$$

Последнее уравнение распишем подробнее

$${}^{\tilde a}\varphi _{,\mu } + {}_{\tilde b}^{\tilde a} \Gamma _\mu \cdot {}^{\tilde b}\varphi = {}_b^{\tilde a} W \cdot \left( {{}^b\varphi _{,\mu } + {}_c^b \Gamma _\mu \cdot {}^c\varphi } \right) \eqno (3')$$

Здесь введена новая величина - преобразованная гамма ${}_{\tilde b}^{\tilde a} \Gamma _\mu $. Потребуем, чтобы из $(1)$ и $(2)$ следовало $(3)$. Это даст

$${}_{\tilde b}^{\tilde a} \Gamma _\mu \cdot {}_c^{\tilde b} W = {}_b^{\tilde a} W \cdot {}_c^b \Gamma _\mu - {}_c^{\tilde a} W_{,\mu } \eqno (4)$$

Потребуем

$$\left( {{}^a\varphi \cdot {}^b\psi } \right)_{;\mu } \equiv {}^a\varphi _{;\mu } \cdot {}^b\psi + {}^a\varphi \cdot {}^b\psi _{;\mu } \eqno (5)$$

Отсюда и из $(3)$ автоматически следует тензорность введенного дифференцирования

$$\left( {{}^{\tilde a}\varphi \cdot {}^{\tilde b}\psi } \right)_{;\mu } = {}_c^{\tilde a} W \cdot {}_d^{\tilde b} W \cdot \left( {{}^c\varphi \cdot {}^d\psi } \right)_{;\mu } \eqno (6)$$

Используя $(2)$, перепишем $(5)$ в виде

$$\left( {{}^a\varphi \cdot {}^b\psi } \right)_{;\mu } = \left( {{}^a\varphi \cdot {}^b\psi } \right)_{,\mu } + {}_c^a \Gamma _\mu \cdot \left( {{}^c\varphi \cdot {}^b\psi } \right) + {}_c^b \Gamma _\mu \cdot \left( {{}^a\varphi \cdot {}^c\psi } \right) \eqno (5')$$

Учитывая, что из всевозможных пар ${{}^a\varphi \cdot {}^b\psi }$ можно составить произвольную двухиндексную величину, получаем следующее правило дифференцирования

$${}^{ab}\tau _{;\mu } = {}^{ab}\tau _{,\mu } + {}_c^a \Gamma _\mu \cdot {}^{cb}\tau + {}_c^b \Gamma _\mu \cdot {}^{ac}\tau \eqno (7)$$

Обобщение на произвольное количество индексов очевидно.

Введем в рассмотрение объекты с нижними значками, положив

$${}^a\varphi \cdot {}_a\psi = {}^{\tilde a}\varphi \cdot {}_{\tilde a}\psi = {\text{inv}} \eqno (8)$$

Отсюда следует закон преобразования

$${}_{\tilde a}\psi = {}_b\psi \cdot {}_{\tilde a}^b M \eqno (9)$$

, где $M$ задается матрицей, обратной к $W$. То есть

$$\begin{gathered} {}_c^{\tilde a} W \cdot {}_{\tilde b}^c M = {}_{\tilde b}^{\tilde a} \delta \hfill \\ {}_{\tilde c}^a M \cdot {}_b^{\tilde c} W = {}_b^a \delta \hfill \\ \end{gathered} \eqno (10)$$

Положим

$$\begin{gathered} \left( {{}^a\varphi \cdot {}_a\psi } \right)_{;\mu } \equiv \left( {{}^a\varphi \cdot {}_a\psi } \right)_{,\mu } \hfill \\ \left( {{}^a\varphi \cdot {}_a\psi } \right)_{;\mu } \equiv {}^a\varphi _{;\mu } \cdot {}_a\psi + {}^a\varphi \cdot {}_a\psi _{;\mu } \hfill \\ \end{gathered} \eqno (11)$$

Откуда следует

$${}_a\psi _{;\mu } = {}_a\psi _{,\mu } - {}_b\psi \cdot {}_a^b \Gamma _\mu \eqno (12)$$

Аналогично предыдущему, требуя

$$\left( {{}_a\varphi \cdot {}_b\psi } \right)_{;\mu } \equiv {}_a\varphi _{;\mu } \cdot {}_b\psi + {}_a\varphi \cdot {}_b\psi _{;\mu } $$

получим

$${}_{ab}\tau _{;\mu } = {}_{ab}\tau _{,\mu } - {}_{cb}\tau \cdot {}_a^c \Gamma _\mu - {}_{ac}\tau \cdot {}_b^c \Gamma _\mu \eqno (13)$$

и аналогично для произвольного числа нижних индексов.

Как видно, получается обычный рецепт, когда каждому индексу при ковариантном дифференцировании соответствует ровно одно слагаемое. Это позволяет дифференцировать все что имеет индексы получая при этом дивно ковариантный результат.

Введем невырожденный симметричный тензор ${}_{ab}g\left( { = {}_{ba}g} \right)$, так что существует единственное ${}^{ab}g$ со свойством ${}^{ac}g \cdot {}_{cb}g = {}_b^a \delta $ и потребуем равенства нулю его ковариантной производной

$${}_{ab}g_{;\mu } \equiv 0 \eqno (14)$$

Это накладывает некоторые ограничения на "гаммы", которые теперь могут быть записаны в виде

$${}_{ac}g \cdot {}_b^c \Gamma _\mu = \frac{1}{2} \cdot {}_{ac}g_{,\mu } + {}_{ab}A_\mu \eqno (15)$$

Здесь появляется новая антисимметричная величина ${}_{ab}A_\mu \left( { = - {}_{ba}A_\mu } \right)$, которая уже ничем никому не обязана и может быть выбрана совершенно произвольно.

[Munin]

espe в сообщении #621329 писал(а):

Munin в сообщении #620300 писал(а):

А бывают ли неминимальные взаимодействия, но при этом по-прежнему калибровочно-инвариантные?

Если имеется ввиду вопрос можно ли их написать, то ответ да. Например $i\varphi^*_\mu F^{\mu\nu}\varphi_\nu,$ $\varphi_\mu$ --- векторное поле.

Если имеется ввиду, есть ли они в стандартной модели, то ответ нет. Имеея спиноры и скаляр (и напряжённость калибровочного поля) невозможно написать перенормируемое неминимальное взаимодействие.

Спасибо, вот то, что я спрашивал! Но почему спиноры и скаляр не работают, а векторы работают?

[lek]

Утундрий, такой способ нумерации формул смотрится посимпатичней:

$$ {}^{\tilde a}\varphi = {}_b^{\tilde a} W \cdot {}^b\varphi\eqno(10) $$

Это так, для информации...

[Утундрий]

Информация полезная, благодарю.
*Записал в блокнотик, вырвал лист, хорошенько прожевал и съел*

Но вот какой вопрос меня занимает. Возможно ли в эдакой форме взять да и представить все что теорфизики по сию пору понавыдумали?

Возьмем, к примеру, Элєктромагнетізмъ...

Для $N$-плета компенсирующих полей будет ровно ${{N\left( {N - 1} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{N\left( {N - 1} \right)} 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}$. Поскольку поле у нас одно, стало быть $N=2$. Поскольку с левыми индексами можно шаманить в каждой точке базы независимо, пусть метрика слоя везде будет иметь одинаковые компоненты

$${}_{ab}g = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} } \right) \eqno (1)$$

Что означает, что в дальнейшем следует ограничиться лишь такими ${}_b^{\tilde a} W$, которые приводят к ${}_{\tilde a\tilde b}g = {}_{ab}g$. Таковых имеется всего два типа (с точностью плюс-минус и перемножить друг на друга):

$$\begin{gathered} \hat W_\theta \equiv \left( {\begin{array}{*{20}c} {\cos \theta } & { - \sin \theta } \\ {\sin \theta } & {\cos \theta } \\ \end{array} } \right) \hfill \\ \hat W_{inv} \equiv \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 \\ 0 & { - 1} \\ \end{array} } \right) \hfill \\ \end{gathered} \eqno (2)$$

Действие их на поля таково

$$\begin{gathered} \hat W_\theta :\tilde \phi = e^{i\theta } \phi \hfill \\ \hat W_{inv} :\tilde \phi = \phi ^* \hfill \\ \end{gathered} \eqno (3)$$

где введена более удобная комплексная переменная

$$\phi \equiv {}^1\varphi + i \cdot {}^2\varphi \eqno (4)$$

Поскольку ${}_{ab}g_{,\mu } = 0$, то ${}_b^a \Gamma _\mu = {}_b^a A_\mu $. При этом ${}_2^1 A_\mu = {}_{12}A_\mu = - {}_{21}A_\mu = - {}_1^2 A_\mu $, так что

$${}_b^a A_\mu = \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 1 \\ { - 1} & 0 \\ \end{array} } \right)A_\mu \eqno (5)$$

Действие $(2)$ на $(5)$ таково

$$\begin{gathered} \hat W_\theta :\tilde A_\mu = A_\mu + \theta _{,\mu } \hfill \\ \hat W_{inv} :\tilde A_\mu = - A_\mu \hfill \\ \end{gathered} \eqno (6)$$

Ковариантная производная в терминах $(4-5)$ примет вид

$$\phi _{;\mu } = \phi _{,\mu } - iA_\mu \phi \eqno (7)$$

[lek]

Утундрий в сообщении #621355 писал(а):

Введем невырожденный симметричный тензор ${}_{ab}g\left( { = {}_{ba}g} \right)$, так что существует единственное ${}^{ab}g$ со свойством ${}^{ac}g \cdot {}_{cb}g = {}_b^a \delta $ и потребуем равенства нулю его ковариантной производной

$${}_{ab}g_{;\mu } \equiv 0 \eqno (14)$$

Это накладывает некоторые ограничения на "гаммы", которые теперь могут быть записаны в виде

$${}_{ac}g \cdot {}_b^c \Gamma _\mu = \frac{1}{2} \cdot {}_{ac}g_{,\mu } + {}_{ab}A_\mu \eqno (15)$$

Здесь появляется новая антисимметричная величина ${}_{ab}A_\mu \left( { = - {}_{ba}A_\mu } \right)$, которая уже ничем никому не обязана и может быть выбрана совершенно произвольно.

Подобные формулы возникают в тетрадных формулировках ОТО, когда из условия

$$ D_{\mu}e^{a}_{\nu}=0\eqno(1) $$

получают равенство

$$ e_{b}^{\nu}e_{\lambda}^{a}\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}=e_{b}^{\nu}\partial_{\mu}e^{a}_{\nu}+\omega^{a}_{\mu b},\eqno(2) $$

где $\omega^{a}_{\mu b}$ - калибровочное поле локальной группы Лоренца, которое обычно называют (минимальной) спиновой связностью. В качестве ссылки рекомендую книгу Грина-Шварца-Виттена "Теория суперструн" (том 2, глава 12). Скачать можно здесь.

Утундрий в сообщении #621478 писал(а):

Но вот какой вопрос меня занимает. Возможно ли в эдакой форме взять да и представить все что теорфизики по сию пору понавыдумали?

Ну это вряд ли... Все же уравнения Максвелла и их симметрии это не одно и тоже.

[Утундрий]

Тетрадный формализм это более частный случай излагаемой здесь схемы. В частности, минимальная тетрада определена метриками базы и слоя вполне однозначно.

lek в сообщении #621516 писал(а):

Ну это вряд ли... Все же уравнения Максвелла и их симметрии это не одно и тоже.

А, так они тут рядом, буквально за углом...

Положим

$${}^a\varphi _{;\mu \nu } - {}^a\varphi _{;\nu \mu } \equiv - {}_b^a F_{\mu \nu } \cdot {}^b\varphi $$

тогда

$${}_b^a F_{\mu \nu } = {}_b^a \Gamma _{\nu ,\mu } - {}_b^a \Gamma _{\mu ,\nu } + {}_c^a \Gamma _\mu \cdot {}_b^c \Gamma _\nu - {}_c^a \Gamma _\nu \cdot {}_b^c \Gamma _\mu $$

Что в случае рассмотренного выше частного случая Элєктромагнетізма даётъ

$${}_b^a F_{\mu \nu } = \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 1 \\ { - 1} & 0 \\ \end{array} } \right)\left( {A_{\nu ,\mu } - A_{\mu ,\nu } } \right)$$

Это вот поле.

А уравнения следуют из обычного в таких делах членов ${}_b^a F_{\mu \nu } \cdot {}_a^b F^{\mu \nu } $ и ${}^a\varphi _{;\mu } \cdot {}_a\varphi ^{;\mu } $ в лагранжиане (ну, еще, может ${}^a\varphi \cdot {}_a\varphi $) и имеют довольно обычный вид.

[lek]

lek в сообщении #621558 писал(а):

Тетрадный формализм это более частный случай излагаемой здесь схемы.

Ну что ж, попробуйте развить свой формализм. Если получится обобщить Грина-Шварца-Виттена, будет интересно посмотреть...

[Munin]

А в чём обобщение? Я пока вижу только воспроизведение пройденного.

[Утундрий]

Катехизис не мой, мои только обозначения и порядок изложения. Мне интересно, достаточно ли широка эта схема, чтобы охватить все имеющийся на вооружении теорфизиков игрушки. То, что избыточна - очевидно. Достаточно в предыдущем примере вместо $(+,+)$ взять $(+,-)$ и получится явно что-то лишнее. Однако фермионы сюда вплетать непонятно как. Что-то похожее на уравнения Дирака получается только если рассматривать частные решения уравнений Я-М. Хотя, вдруг они не такие уж и фундаментальные, как принято считать...