Лагранжиан свободных фермионов

[Munin]

Правильно фамилия пишется 'т Хоофт ('t Hooft), но в старых изданиях писали по-разному.
Конфайнмент понят "на пальцах". А строго он даже "оборотной стороной асимптотической свободы" не является. Просто прекращает работать теория возмущений, а что при этом образуется именно адрон ограниченного радиуса, снаружи весь такой синглетный, этого не доказано. Более того, в color glass condensate, возможно, получается цветная система радиуса больше радиуса конфайнмента.

[lek]

lucien в сообщении #622072 писал(а):

К сожалению не могу вспомнить источник, но по памяти там говорилось следующее: "По теореме т'Хофта (?) перенормируемым является лишь лагранжиан калибровочно инвариантной модели. Поэтому в стандартной модели нельзя вводить массы "руками", а нужно применять механизм Хиггса". Как-то так.

Понял о чем идет речь. Перенормируемую теорию с массивным векторным полем построить можно, но она не будет лоренц-инвариантной. Исключения из этого правила:
а) калибровочная теория со спонтанным нарушением симметрии;
б) теория, включающая нейтральный массивный векторный бозон, взаимодействующий с сохраняющимся током .
(см. Ченг-Ли, гл. 2)

lucien в сообщении #622072 писал(а):

А нам говорили, что конфайнмент (оборотная сторона асимптотической свободы) в КХД еще строго не доказан.

Не известен его механизм.

[Munin]

lek в сообщении #622090 писал(а):

Не известен его механизм.

Ну это тоже если строго. А если "на пальцах", то там есть какие-то рассуждения про мешок и про струну.

[fizeg]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #622084 писал(а):

Правильно фамилия пишется 'т Хоофт ('t Hooft), но в старых изданиях писали по-разному.

Учитывая, что его нередко обзывают "тхуфтом", я уж не знаю, есть ли вообще какой-то смысл обсуждать такие мелочи

[Munin]

fizeg в сообщении #622098 писал(а):

Учитывая, что его нередко обзывают "тхуфтом"

Это те, которые читали старые издания. Там, действительно, где-то был вариант Т'Хуфт. Но это ещё до того, как он стал достаточно известен, чтобы переводчики разобрались, что он голландец, и проявили к его орфографии чуть больше уважения.

[fizeg]

Munin
Я это слышал от зарубежных коллег, которых и сейчас смущает двойное латинское o

[Munin]

Ну, среди англоговорящей публики вообще не всегда принято обращать внимание на какой-то там ещё мир, который пользуется латинским алфавитом :-) Разве что немецкое ei устойчиво читают как [ai], возможно, Айнстайн в том виноват. Но вот произнести von Neumann уже сложновато...

В голландской орфографии много сочетаний гласных, которые непонятно как произносить: aa, aai, ae, au, auw, ay, ee, eeuw, ei, eu, ie, ieuw, ij, oe, oi, oo, ooi, ou, ouw, ui, uu, uw - не говоря про разные акценты. Ладно бы они просто смущали, тут ещё можно как-то выкрутиться, но не запнувшись читать oo на английский манер как /uː/ всё-таки некрасиво. Подсуньте им фамилию Dijktsra, и сбегите подальше.

[type2b]

Munin в сообщении #621885 писал(а):

калибровочно-инвариантный лагранжиан оказывается перенормируемым, даже когда его отдельные члены не удовлетворяют этому условию. См., например, лагранжиан КХД.

нет, почему же. Константа связи YM имеет неотрицательную массовую размерность в $d\le 4$, и там и только там YM перенормируем.

lek в сообщении #622052 писал(а):

кроме неабелевых калибровочных теорий ни одна перенормируемая теория поля не может быть асимптотически свободной

Только надо уточнить: в четырехмерии.

Насчет конфайнмента -- есть разные качественные и дуальные модели, догадки, решеточные вычисления, но доказательства (или показательства) из первых принципов, кажется, еще нет.

[lek]

type2b в сообщении #622148 писал(а):

Только надо уточнить: в четырехмерии.

Разумеется.

[lucien]

lek в сообщении #622090 писал(а):

Перенормируемую теорию с массивным векторным полем построить можно, но она не будет лоренц-инвариантной.

И все же вопрос у меня остался. Рассмотрим лагранжиан Прока. Он лоренцинвариантный и по формальным подсчетам (супер) перенормируемый. Тоже касается лагранжиана массивного дираковского поля (свободного). Но если эти лагранжианы перенормируемые, то зачем было городить огород со спонтанным нарушением симметрии? У Ч-Л п. 8.3 сказано

Цитата:

Введение членов, соответствующих произвольным массам калибровочных бозонов и явно нарушающих калибровочную инвариантность, приводит к такому изменению высокоэнергетического поведения теории, что она перестает быть перенормируемой.

Наверное, то же относится и к введению "руками" масс фермионов. Так значит формальный подсчет степени расходимости не всегда приводит к правильному результату? Или я неправильно подсчитываю степень расходимости?

[lek]

lucien в сообщении #622214 писал(а):

Или я неправильно подсчитываю степень расходимости?

Не только. Лагранжиан Прока является свободным лагранжианом, тогда как при учете расходимостей надо смотреть на члены взаимодействия. Далее, рассматривая асимптотическое поведение пропагатора лагранжиана Прока, можно найти каноничаскую размерность векторного поля. Она будет равна 2, а не 1, что получается из прямого (наивного) подсчета. Поэтому единственный член взаимодействия с размерностью $\leq4$ будет иметь вид $\varphi^2A_{\mu}$. Но он явно не обладает лоренц-инвариантностью...
PS
Еще раз советую, прочитайте внимательно гл. 2 Ченга-Ли, §2.4 особенно.

[lucien]

lek в сообщении #622236 писал(а):

Лагранжиан Прока является свободным лагранжианом, тогда как при учете расходимостей надо смотреть на члены взаимодействия. Далее, рассматривая асимптотическое поведение пропагатора лагранжиана Прока, можно найти каноничаскую размерность векторного поля. Она будет равна 2, а не 1, что получается из прямого (наивного) подсчета. Поэтому единственный член взаимодействия с размерностью $\leq4$ будет иметь вид $\varphi^2A_{\mu}$. Но он явно не обладает лоренц-инвариантностью...

Это все понятно, и указанные переграфы у Ч-Л я читала. Но из этого текста следует, что расходимости содержутся в слагаемых с взаимодействием, а не в массовом члене, что противоречит приведенной мной ранее цитате из того же Ч-Л

Цитата:

Введение членов, соответствующих произвольным массам калибровочных бозонов и явно нарушающих калибровочную инвариантность, приводит к такому изменению высокоэнергетического поведения теории, что она перестает быть перенормируемой.

Так все же, лагранжиан свободных дираковских и массивных векторных полей перенормируем или нет? И если перенормируемый, то как понимать приведенную выше цитату (которую я встречала не только у Ч-Л)?

[bayak]

fizeg в сообщении #620948 писал(а):

Munin в сообщении #620300 писал(а):

Мне так не показалось. Я взял матрицу поворота 2-плоскости на действительный угол, её с. в. очевидно комплексные, а под конструкцию bayak подходит.

Да, я ж говорю голова не варила, я почему-то подумал, что имеется в виду разложение $O^TDO$...

Имея в виду предыдущее моё сообщение и сообщение из другой темы, хотел бы продолжить разговор о фермионно-бозонном лагранжиане в следующем русле. Если предположить, что элементарные частицы реализуются как векторные поля в 8-мерном пространстве, то чем представляется лагранжиан фермионов и бозонов по отдельности? Но прежде неплохо было бы ответить на вопрос (затронутый в теме) о том какое место в этом 8-мерном пространстве занимает пространство Минковского.

[lek]

lucien в сообщении #622251 писал(а):

Так все же, лагранжиан свободных дираковских и массивных векторных полей перенормируем или нет? И если перенормируемый, то как понимать приведенную выше цитату (которую я встречала не только у Ч-Л)?

Разумеется и в сободном лагранжиане можно перенормировать, например, массу или заряд, но смысла в этой операции нет никакого. Говорить о перенормируемости имеет смысл только при наличии взаимодействия. Что же качается вашей цитаты, то почему вы считаете что речь там идет о свободном лагранжиане? Совсем наоборот:

Цитата:

Введение членов, соответствующих произвольным массам калибровочных бозонов и явно нарушающих калибровочную инвариантность, приводит к такому изменению высокоэнергетического поведения теории, что она перестает быть перенормируемой (см. обсуждение в разделе 2.4).

Обратите внимание, Ченг-Ли отсылает вас в раздел 2.4, где обсуждается перенормируемость теорий исключительно с членами взаимодействия.

[lucien]

Неужели я так плохо излагаю свои мысли. Ладно, попробую еще раз.
Меня смущает то, что в литературе говорится, что слагаемые, нарушающие перенормируемость -- это именно массовые члены, а не взаимодействие. Вы же мне все твердите, что неперенормируемость обусловленна взаимодействием.