(Оффтоп)
Что-то молчаливо подразумеваем, что-то в уме, быстренько пока никто не заметил, доказываем...
Пусть имеем некий набор
, физически эквивалентный набору
, если только детерминант
не нуль. Положим
Последнее уравнение распишем подробнее
Здесь введена новая величина - преобразованная гамма
. Потребуем, чтобы из
и
следовало
. Это даст
Потребуем
Отсюда и из
автоматически следует тензорность введенного дифференцирования
Используя
, перепишем
в виде
Учитывая, что из всевозможных пар
можно составить произвольную двухиндексную величину, получаем следующее правило дифференцирования
Обобщение на произвольное количество индексов очевидно.
Введем в рассмотрение объекты с нижними значками, положив
Отсюда следует закон преобразования
, где
задается матрицей, обратной к
. То есть
Положим
Откуда следует
Аналогично предыдущему, требуя
получим
и аналогично для произвольного числа нижних индексов.
Как видно, получается обычный рецепт, когда каждому индексу при ковариантном дифференцировании соответствует ровно одно слагаемое. Это позволяет дифференцировать все что имеет индексы получая при этом дивно ковариантный результат.
Введем невырожденный симметричный тензор
, так что существует единственное
со свойством
и потребуем равенства нулю его ковариантной производной
Это накладывает некоторые ограничения на "гаммы", которые теперь могут быть записаны в виде
Здесь появляется новая антисимметричная величина
, которая уже ничем никому не обязана и может быть выбрана совершенно произвольно.