Вопрос про гравитацию и бозон Хиггса

[Xaositect]

Munin в сообщении #621039 писал(а):

Получить слишком много ответов может быть страшнее, чем не получить ответов вообще... Господа, всем спасибо, но я отложу до вечера.

Пока такой вопрос: вы говорите, что представления $\mathrm{Spin}(p,1)$ и $\mathrm{C\ell}^0_{p,1}(\mathbb{R})$ соответствуют один-в-один, так? Но сама $\mathrm{Spin}(p,1)$ вложена в $\mathrm{C\ell}^0_{p,1}(\mathbb{R}),$ а не изоморфна ей, так я не понимаю, как при этом представления могут быть один-в-один. Или я вас неправильно понял.

Это доказывается.

Цитата:

Ещё хотелось бы алгебры с группами не путать. Алгебра Клиффорда $\mathrm{C\ell}^0_{p,1}(\mathbb{R})$ - это группа Ли или алгебра Ли? Если алгебра, то как в неё может быть вложена группа $\mathrm{Spin}(p,1)$? Кроме того, насколько я знаю, алгебры Ли и группы Ли не соответствуют один-в-один, а их представления? Наверное, тоже не должны.

Это не алгебра Ли, это ассоциативная алгебра. В мультипликативную группу ее обратимых элементов вложена $Spin$.

[Munin]

Ещё одно спасибо.

[Xaositect]

Munin в сообщении #621059 писал(а):

Так-так-так, а в алгебре Клиффорда есть мультипликативно необратимые элементы?

Ну по табличке видно, что они там сплошь и рядом алгебры матриц и квадраты, там есть необратимые элементы.

[lek]

Munin в сообщении #621039 писал(а):

Кроме того, насколько я знаю, алгебры Ли и группы Ли не соответствуют один-в-один, а их представления? Наверное, тоже не должны.

Поскольку группа $Spin(p,q)$ односвязная, представления "один-в-один". По остальным вопросам присоединяюсь к Xaositect.

[Xaositect]

lek в сообщении #621066 писал(а):

Munin в сообщении #621039 писал(а):

Кроме того, насколько я знаю, алгебры Ли и группы Ли не соответствуют один-в-один, а их представления? Наверное, тоже не должны.

Поскольку группа $Spin(p,q)$ односвязная, представления "один-в-один". По остальным вопросам присоединяюсь к Xaositect.

Я вот тут задумался, а не мало ли получается представлений. В общем, это, по всей видимости, широко распространенное заблуждение: см. http://mathoverflow.net/questions/24181 ... f-clifford
Представления $Pin$ взаимно однозначно соответствуют представлениям мультипликативной группы алгебры Клиффорда, а не представлениям самой алгебры. Со $Spin$ все должно быть аналогично.

[lek]

Xaositect в сообщении #621081 писал(а):

Я вот тут задумался, а не мало ли получается представлений...

Мало, если считать все представления. Но если ограничится представлениями $Spin(p,q)$ в спинорных пространствах, то получится (как выразился Munin) "один-в-один". Дело в том, что спинорные пространства - это в точности (левые) идеалы алгебры Клиффорда (минимальные, если речь идет о неприводимых представлениях). На тех же пространствах реализует свои представления и алгебра Клиффорда. Поэтому любое спинорное представление группы $Spin(p,q)$ индуцирует представление $Cl^0_{p,q}(\mathbb{R})$ и наоборот.

[rockclimber]

Спасибо за интересную дискуссию, но я перестал что-либо понимать еще в конце первой страницы. Я начал читать книгу Хелзена и Мартина "Кварки и лептоны", которую посоветовал Munin. Дошел до раздела, где было "краткое введение в алгебру групп" (кажется), но оно было настолько кратким, что мне не хватило. Кто-то может подсказать хорошую книгу (хотя бы на английском, если на русском нет), или лучше в подфоруме математиков спросить?

И еще вопрос, может и глупый, конечно. Объяснение взаимодействия частиц "на пальцах" (с помощью диаграмм Фейнмана) - довольно понятное, в научно-популярной литературе встречается часто. А про бозон Хиггса обычно просто пишут, что он "отвечает за появление у частиц массы". А какое-то простое и наглядное описание этого процесса есть? Грин, если я правильно помню, писал про то, что частицы взаимодействуют с полем Хиггса, когда изменяют свою скорость движения, и выглядит все так, как будто у частицы появляется инертная масса. Если взять два электрона, то они обмениваются виртуальным фотоном, время жизни и энергия которого определяются соотношением неопределенности Гейзенберга. А с чем обменивается частица, когда взаимодействует с полем Хиггса?

[lek]

rockclimber, попробуйте посмотреть 4-ю главу книги Ченга-Ли "Калибровочные теории в физике элементарных частиц" (скачать можно здесь). Изложение там для физиков (так же как и у Хелзена-Мартина), но проще и четче, имхо. Если и это будет сложно, то ищите для начала что-нибудь "полу-популярное" по теории групп для физиков. Математики вам вряд ли помогут, поскольку разделы по теории групп необходимые физику все же слишком специфичны.

[espe]

Munin в сообщении #620744 писал(а):

Понял, что меня не топология $\mathrm{Spin}(3,1)$ интересует, а её разложение в правую и левую компоненты.

По простому (как мне кажется) написано у Райдера «Квантовая теория поля» §2.3.

Райдер писал(а):

Группа Лоренца по существу не отличима от группы $SU(2)\otimes SU(2),$ и состояния, преобразующиеся определённым образом, должны нумероваться значениями двух угловых моментов $(j,j')$ ...

Вейлевские (двухкомпонентные) спиноры это те, которые преобразуются по представлениям $(1/2,0)$ и $(0,1/2)$. Одни из них называют правыми, другие --- левыми.

[Munin]

rockclimber в сообщении #621308 писал(а):

Дошел до раздела, где было "краткое введение в алгебру групп" (кажется), но оно было настолько кратким, что мне не хватило. Кто-то может подсказать хорошую книгу (хотя бы на английском, если на русском нет), или лучше в подфоруме математиков спросить?

Рубаков "Классические калибровочные поля", глава 3. Там, кажется, попроще, чем в Ченге-Ли.

rockclimber в сообщении #621308 писал(а):

И еще вопрос, может и глупый, конечно. Объяснение взаимодействия частиц "на пальцах" (с помощью диаграмм Фейнмана) - довольно понятное, в научно-популярной литературе встречается часто. А про бозон Хиггса обычно просто пишут, что он "отвечает за появление у частиц массы". А какое-то простое и наглядное описание этого процесса есть?

Лучше не подменяйте настоящие объяснения "простыми, наглядными и неправильными". Например, "объяснение на пальцах с помощью диаграмм Фейнмана" лучше правильно понимать как возникающее из фейнмановского квантования поля и последовательного рассмотрения разных убывающих вкладов.

С бозоном Хиггса довольно много объяснений, каким образом юкавский член и ненулевое вакуумное среднее приводят к массе; но я практически не видел объяснений, каким образом массовый член должен исчезать и заменяться юкавским для калибровочной инвариантности.

Ну вот, например, вторая часть из этой серии
minutephysics
http://www.youtube.com/watch?v=9Uh5mTxRQcg (видео 3 минуты) - The Higgs Boson, Part I
http://www.youtube.com/watch?v=ASRpIym_jFM (видео 3 минуты) - The Higgs Boson, Part II: What is Mass?
http://www.youtube.com/watch?v=6guXMfg88Z8 (видео 3 минуты) - Higgs Boson Part III: How to Discover a Particle

espe
Спасибо, я пока завяз, но доберусь.

[fizeg]

espe
Собственно это разложение (и как оно получается) я уже писал, но на уровне алгебр и для комплексификаций (тогда и $SU(2,\mathbb{C})=SL(2,\mathbb{C})$) Впрочем вряд ли Райдер беспокоился о математической строгости своих слов

[rockclimber]

Munin в сообщении #621430 писал(а):

http://www.youtube.com/watch?v=9Uh5mTxRQcg
http://www.youtube.com/watch?v=ASRpIym_jFM
http://www.youtube.com/watch?v=6guXMfg88Z8

Спасибо, отличное видео!

(Оффтоп)

Но... У вас есть такое же, но чтобы говорили в два раза медленнее? Я немножко не успеваю понимать.

[lek]

espe в сообщении #621341 писал(а):

По простому (как мне кажется) написано у Райдера «Квантовая теория поля» §2.3.

Райдер писал(а):

Группа Лоренца по существу не отличима от группы $SU(2)\otimes SU(2)$ ...

Действительно, я нашел это утверждение в указанном параграфе. Странно... Это не верно сразу по двум причинам. Во-первых строить тензорные произведения групп нельзя, поэтому запись $SU(2)\otimes SU(2)$ не корректна. Далее, из предыдущего текста становится ясно, что речь идет на самом деле не о тензорном, а о прямом произведении групп $SU(2)\times SU(2)$. Но и здесь ошибка. Группа Лоренца является простой группой Ли и поэтому не может разлагаться в прямое произведение двух собственных подгрупп. Таким образом это либо небрежность автора, либо неточность перевода...

[Munin]

rockclimber в сообщении #621458 писал(а):

Но... У вас есть такое же, но чтобы говорили в два раза медленнее? Я немножко не успеваю понимать.

Ставьте каждую секунду на паузу, и читайте субтитры :-)

[rockclimber]

Munin в сообщении #621513 писал(а):

rockclimber в сообщении #621458 писал(а):

Но... У вас есть такое же, но чтобы говорили в два раза медленнее? Я немножко не успеваю понимать.

Ставьте каждую секунду на паузу, и читайте субтитры

Это первое, с чего я начал, когда услышал "тра-та-та" на английском. Но на первых же секундах третьего ролика нашел фразу, в субтитрах не упомянутую, от чего и впал в уныние. Я сначала целиком посмотрю, а потом буду "разбирать".