Теорема Ферма и теорема косинусов

[Коровьев]

Yarkin в сообщении #614074 писал(а):

Элементарное доказательство ВТФ будет получено только с помощью теоремы косинусов.

Элементарное доказательство ВТФ никогда не будет получено

[Гаджимурат]

Коровьев в сообщении #614169 писал(а):

Элементарное доказательство ВТФ никогда не будет получено

Но для отдельных степеней элементарное доказательство все же существует,как и можно доказать,что Ферма прав для 4 степени, рассматривая уравнение $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$

[Belfegor]

Гаджимурат в сообщении #614317 писал(а):

как и можно доказать,что Ферма прав для 4 степени, рассматривая уравнение $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$

Уважаемый Гаджимурат! А вот с этого места, пожалуйста, поподробнее!

[Гаджимурат]

Не сегодня,но если есть интерес,то выставлю...Вас уведомлю,где просмотреть!!

[Belfegor]

Спасибо, жду! Посмотрим, что ещё может уравнение $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$

[Yarkin]

AKM в сообщении #613882 писал(а):

Соотношения между сторонами косоугольного треугольника описываются, в частности, теоремой косинусов. Они никак не могут описываться уравнением теоремы Ферма: это теорема о неких соотношениях между целыми числами (одно из которых больше двух). К треугольникам эта теорема не имеет никакого отношения, как и к числу яблок, купленных Машей, Петей и Васей в некой другой задачке.

Утверждение без доказательства. Уравнение Ферма - частный случай соотношений теоремы косинусов. Это мною было доказано в моих ранних темах.

-- Вс сен 09, 2012 13:17:13 --

Коровьев в сообщении #614169 писал(а):

Элементарное доказательство ВТФ никогда не будет получено

Мы до этого времени доживем, хотя мне за семьдесять.

[AKM]

Yarkin в сообщении #616570 писал(а):

Утверждение без доказательства

Yarkin в сообщении #616570 писал(а):

Мы до этого времени доживем

Утверждение без доказательства.

[pushkar]

А если таким образом?

Уравнение теоремы Ферма:
$A^n=B^n+C^n$ (1)
Уравнение теоремы Ферма для степени $n=4$:
$A^4=B^4+C^4$ (2)
Соотношение между сторонами треугольника определяется теоремой косинусов:
$A^2=B^2+C^2 -2BC\cos\alpha$ (3)
где:
$\alpha$ – угол, противолежащий стороне $A$
треугольника.
Уравнение (3) перепишем следующим образом:
$A^2+2BC\cos\alpha =B^2+C^2 $ (4)
Возведем обе части уравнения (4) в квадрат:
$(A^2+2BC\cos\alpha)^2 =(B^2+C^2)^2 $ (5)
После преобразования биномов Ньютона в формуле (5) получим:
$A^4+4A^2BC\cos\alpha+4(BC)^2\cos^2\alpha= B^4+2(BC)^2+C^4 $ (6)
Если выполняется уравнение (2), то в соответствии с уравнением (6) должно выполняться равенство:

$4A^2BC\cos\alpha+4(BC)^2\cos^2\alpha= 2(BC)^2 $ (7)
Отсюда следует квадратное уравнение относительно $\cos\alpha$:
$2BC\cos^2\alpha+2A^2\cos\alpha-BC=0$ (8)
Решая квадратное уравнение (8), получим:
$\cos\alpha=\frac{\sqrt{A^4+2(BC)^2}-A^2}{2BC}$ (9)
В соответствии с теоремой косинусов $\cos\alpha$ определяется по формуле:
$\cos\alpha=\frac{B^2+C^2-A^2}{2BC}$ (10)
Правые части формул (9), (10) не равны. Поскольку косинусы углов треугольников в соответствии с теоремой косинусов определяются только по формуле (10), формула (9) неверна. Следовательно, допущение, что формула (2) является равенством, неверно. Таким образом, уравнение Великой теоремы Ферма не имеет решения в натуральных числах для степени $n=4$.

[alexo2]

pushkar в сообщении #800654 писал(а):

Правые части формул (9), (10) не равны.

Откуда вам это известно для всех А, В, С?..

[Someone]

pushkar в сообщении #800654 писал(а):

Уравнение теоремы Ферма для степени $n=4$:
$A^4=B^4+C^4$ (2)

pushkar в сообщении #800654 писал(а):

Решая квадратное уравнение (8), получим:
$\cos\alpha=\frac{\sqrt{A^4+2(BC)^2}-A^2}{2BC}$ (9)
В соответствии с теоремой косинусов $\cos\alpha$ определяется по формуле:
$\cos\alpha=\frac{B^2+C^2-A^2}{2BC}$ (10)
Правые части формул (9), (10) не равны.

Поскольку по предположению выполняется равенство (2), то

$$\frac{\sqrt{A^4+2(BC)^2}-A^2}{2BC}=\frac{\sqrt{B^4+2B^2C^2+C^4}-A^2}{2BC}=\frac{\sqrt{(B^2+C^2)^2}-A^2}{2BC}=\frac{B^2+C^2-A^2}{2BC},$$

поэтому правые части формул (9) и (10) равны.

[vorvalm]

pushkar клон Markopolo

[yk2ru]

Независимо от длин сторон, для уравнения в первой степени угол 180 градусов, для 2 степени - 90 градусов. Наверное для 3 степени и далее свой какой-то определённый угол. Так или не так?

[pushkar]

Формула (2) верна только по предположению.
Подставив любые значения чисел $A, B, C$ в формулы
(9), (10), вы всегда получите разные значения косинуса угла.

Рассматриваемый треугольник всегда остроугольный.
В этом легко убедиться, сделав пробные расчеты по формуле (2).
Задайтесь любыми значениями чисел $B, C$, определите
число $A$ и постройте треугольник.

[Someone]

pushkar в сообщении #801233 писал(а):

Формула (2) верна только по предположению.

Поскольку Вы такое предположение сделали, то Вы должны его придерживаться до тех пор, пока не получите противоречие.

А так, как Вы сделали, получается, что Вы одновременно делаете два противоречащих друг другу предположения:
1) равенство (2) верно;
2) равенство (2) неверно.

Чего же удивляться, что у Вас получилось противоречие. Вы просто без доказательства предположили, что равенство (2) неверно. А Вы докажите, что оно неверно!

[vasili]

Если для целых взаимно простых (a,b,c) $a^P+ b^P = c^P$, то можно попытаться равенство $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$ исследовать, используя формулы Абеля
и в частности
$c=UV$, $a= U_1V_1$, $b =U_2V_2$, $a + b= U^P$, $c-a =U_2^P$ и $c-b =U_2^P$.

Тогда
$c^2 - a^2 =(c-a)(c+a) =U_2^P(c+a)$, а с учетом этого

$U_2^P(c +a) = b^2 - 2ab\cos\gamma$ и благодаря формулам

$U_2^P(c+a) = U_2^2V_2^2 - 2U_1V_1U_2V_2\cos\gamma$, отсюда

$2U_1V_1U_2V_2\cos\gamma\equiv 0\mod U_2^2$. тогда очевидно, что $\cos\gamma$-

число рациональное (P/q). Но до противоречия далеко.