Теорема Ферма и теорема косинусов

[klitemnestr]

Для Someone
Я могу пользоваться любыми установленными фактами.
А высказывания типа "чушь на уровне школьника младших классов" говорят об отсутствии аргументов в доказательстве и о соответствующем уровне культуры общения. Такие высказывания выходят за пределы правил форума.

[Yarkin]

Someone в сообщении #612736 писал(а):

Господи, ну возьмите треугольник с целыми сторонами, например, $5$, $8$, $9$, и посчитайте по теореме косинусов, какие у него углы.

Вы противоречите самому себе.

Someone в сообщении #612731 писал(а):

Если Вы просто берёте какой попало треугольник с целыми сторонами, то с какой стати он будет удовлетворять требуемому уравнению?

-- Вс сен 02, 2012 13:59:59 --

klitemnestr в сообщении #612908 писал(а):

Уважаемый Someone!
Косоугольный треугольник со сторонами $25, 36, 49$ существует, но приведенное соотношение чисел не удовлетворяет уравнению теоремы Ферма для степени $n=4$: $25^4+36^4=2070241 =(37,9319549...)^4 $.
$P.S.$ Я не претендую на доказательство теоремы Ферма, я всего лишь рассматриваю вопрос: может ли уравнение теоремы косинусов быть преобразовано в уравнение теоремы Ферма при условии, что стороны косоугольного треугольника имеют целочисленное значение.

Докажите, что существует.

[Someone]

klitemnestr в сообщении #613787 писал(а):

Я могу пользоваться любыми установленными фактами.

А в чём, собственно говоря, Ваша цель? Разве не в доказательстве теоремы Ферма?

[AKM]

klitemnestr в сообщении #612642 писал(а):

Пока вы не нашли ошибок в моем доказательстве, ...

klitemnestr,

в сообщениях, предшествующих этому, не было сформулировано какого-либо утверждения и его доказательства. Были сообщения с какими-то формулами и выводами, но подразумеваемое Вами при этом утверждение осталось тайной, которую различные читатели, возможно, по-разному трактовали.
Были два вопроса (в виде каких-либо утверждений не прозвучавшие):

klitemnestr в сообщении #611088 писал(а):

Вопрос 1: могут ли соотношения между сторонами косоугольного треугольника описываться двумя разными уравнениями: уравнением теоремы косинусов и уравнением теоремы Ферма?

Соотношения между сторонами косоугольного треугольника описываются, в частности, теоремой косинусов. Они никак не могут описываться уравнением теоремы Ферма: это теорема о неких соотношениях между целыми числами (одно из которых больше двух). К треугольникам эта теорема не имеет никакого отношения, как и к числу яблок, купленных Машей, Петей и Васей в некой другой задачке. Конечно, стороны некого косоугольного треугольника (как и упомянутые яблоки) могут удовлетворять или не удовлетворять уравнению теоремы Ферма. При этом рассмотрению подлежат только треугольники с целочисленными сторонами. Для данных сторон $a,b,c$ уравнение $a^n+b^n=c^n$ относительно $n$ решается, видимо, однозначно. Согласно теореме Ферма, целые решения c $n>2$ невозможны. Согласно теореме косинусов (треугольник косоугольный) невозможно и $n=2$. Ежели треугольник невырожденный, невозможно и $n=1$.
Что здесь неясного? В чём состоит Ваш вопрос (если он ещё остался) в точной формулировке?

klitemnestr в сообщении #611088 писал(а):

Вопрос 2: может ли уравнение теоремы косинусов быть преобразовано в уравнение теоремы Ферма и наоборот?

klitemnestr в сообщении #612908 писал(а):

Я не претендую на доказательство теоремы Ферма, я всего лишь рассматриваю вопрос: может ли уравнение теоремы косинусов быть преобразовано в уравнение теоремы Ферма при условии, что стороны косоугольного треугольника имеют целочисленное значение.

На неясность этой формулировки уже указывали. Сформулируйте, если актуально, без непонятного "преобразования уравнений". Например, в тех терминах, в которых я прокомментировал первый вопрос.

Без точных формулировок вопросов я буду считать тему исчерпанной. Если Вы что-то доказываете, сформулируйте утверждение.

-- 02 сен 2012, 17:55 --

Вариант понятной переформулировки вопроса 2:
Пусть имеется треугольник со сторонами $a,b,c$ и углом $\gamma\:\left[\gamma\lesseqgtr\frac\pi{2}\right]$, для которого сторона $c$ является противолежащей (т.е., в извращённой форме

$$c^2=\left[(a-b)\cos\frac\gamma{2}\right]^2+\left[(a+b)\sin\frac\gamma{2}\right]^2;$$

может, кому-нибудь приглянется). Удовлетворяют ли числа $a,b,c$...
Нет, этот вопрос сформулировать не могу. Только тавтологии с первым получаются.

[Belfegor]

Someone в сообщении #613432 писал(а):

Чушь на совершенно детском уровне

AKM в сообщении #613882 писал(а):

Нет, этот вопрос сформулировать не могу. Только тавтологии с первым получаются.

Как-то всё затянулось для такого простого случая (а помнится самого Сорокина убеждали).
Думаю главный вопрос по теме должен звучать так: Корректно ли с точки зрения современной математики использовать теорему косинусов при доказательстве Великой теоремы Ферма?

[AKM]

Ну а как Вам видится ответ на такой вопрос, по-моему вполне аналогичный: "Корректно ли с точки зрения современной математики использовать теорему Пифагора для решения диофантова уравнения $x^2+y^2=z^2$?"

[Belfegor]

AKM в сообщении #613923 писал(а):

Ну а как Вам видится ответ на такой вопрос, по-моему вполне аналогичный: "Корректно ли с точки зрения современной математики использовать теорему Пифагора для решения диофантова уравнения $x^2+y^2=z^2$?"

Многоуважаемый АКМ! Я всего лишь надеюсь увидеть четкое и простое объяснение для автора темы, почему не используют теорему косинусов для доказательства ВТФ.

[Someone]

Belfegor в сообщении #613952 писал(а):

Я всего лишь надеюсь увидеть четкое и простое объяснение для автора темы, почему не используют теорему косинусов для доказательства ВТФ.

Поскольку неравенство треугольника для решений уравнения $a^n+b^n=c^n$ выполняется, то теорему косинусов формально написать можно, но это приведёт только к появлению ненужного угла. Теорема косинусов не накладывает никаких ограничений на стороны треугольника сверх простого неравенства треугольника, поэтому её использование бесполезно.

[AKM]

(. .)

Любезный Belfegor!

Очень легко убедиться, что все Ваши собеседники в теме были просто "уважаемыми". Даже Someone . И лишь меня Вы произвели во "многоуважаемые". (Я, чтобы проверить свою память, воспользовался этой кнопочкой и поиском по странице). Это всего лишь из-за моего модераторского статуса? Не думаю, что я выделился здесь чем-то другим, например, какими-то обширными знаниями.

Буду признателен, если Вы меня будете трактовать, как и остальных участников. Да и сами подумайте: зайдёт сюда супермодератор, или, не дай бог, администратор --- Вам придётся неологизмы сочинять.

При попытках доказать ВТФ многие пытаются ввести некую величину (относительно малую, типа дефекта) для замены переменной $c$. Так, всем известны знаменитые переменные (или постоянные, не помню точно) $p$ и $d$ (правда, там везде перемешаны все пять буковок, $a,b,c,d,p$). Простейший и весьма распространённый случай --- что-то вроде $c=a+b-\varepsilon$. Говорить при этом, что мы "используем теорему о яблоках для доказательства ВТФ" как-то странно.

Некоторые предпочитатют более хитропопый способ введения этого дефекта, $c^2=a^2+b^2-2ab\varepsilon$. Обозначив этот $\varepsilon$ как $\cos\gamma$, этому выражению придают внешнее сходство с теоремой косинусов. А это всего лишь некое ограничение на возможные значения введённых переменных. Говорить при этом, что мы "используем теорему косинусов для доказательства ВТФ", по-моему, не менее странно. Собственно, именно это я хотел сказать, написав чуть выше эту бессмыслицу.

По моему скромному мнению "использовать теорему косинусов при доказательстве Великой теоремы Ферма" не некорректно, а бессмысленно. Вводить же дефект в той или иной форме --- почему бы и нет? Вдруг прокатит, что-то будет понятнее выглядеть?

Но, подчеркну, это не "с точки зрения современной математики", а чисто я так считаю. Возможно, кто-нибудь из современных математиков (к каковым я себя не причисляю) даст Вам ответ с интересующей Вас точки зрения.

[Someone]

klitemnestr в сообщении #613787 писал(а):

А высказывания типа "чушь на уровне школьника младших классов" говорят об отсутствии аргументов в доказательстве и о соответствующем уровне культуры общения.

Совершенно нормальное высказывание. Как я ещё могу охарактеризовать утверждение, что число $z= 4ab\cos\gamma[(a^2+b^2)-ab\cos\gamma]$ дробное? На каком основании оно дробное? Или Вы считаете, что если один из множителей в произведении не целый, то и всё произведение не целое? Я уже с таким сталкивался.

[Belfegor]

AKM в сообщении #613979 писал(а):

(. .)

Учту, Уважаемый АКМ!

-- Вс сен 02, 2012 21:46:37 --

Someone в сообщении #613977 писал(а):

Теорема косинусов не накладывает никаких ограничений на стороны треугольника сверх простого неравенства треугольника, поэтому её использование бесполезно.

Уважаемый Someone! Надеюсь это объяснение наконец-то поможет автору темы разобраться с загадкой теоремы косинусов.

[Cash]

Цитата:

Уважаемый Cash! За 3 с половиной сотни лет после Эйлера, Куммера, Софи Жермен? Ну уж вряд ли

УважаемыйBelfegor!
Внимательно прочитав мой пост - вы заметите, что это я говорил только о том, что 3 с половиной сотни лет известно об отсутствии решений уравнения

$$x^4+y^4=z^\text{\large{\color{red}2}}.$$

Доказано самим Ферма.

Cash,

надеюсь, Вы не против того, что я, спекулируя модераторскими правами, в частности, использованием красного цвета, подкрасил Ваше сообщение. Слово "целочисленных" (решений) вставлять не стал, все понимают. //AKM

[Belfegor]

Cash в сообщении #614013 писал(а):

уравнения

$$x^4+y^4=z^\text{\large{\color{red}2}}.$$

Доказано самим Ферма.

Уважаемый Cash! Принято!
Но тогда прокомментируйте и вторую часть моего сообщения. Повторюсь:

Belfegor в сообщении #613008 писал(а):

Но вот интересная цитата от Серпински:
"Для случая $n=3$ из Великой теоремы Ферма А.Вакулич элементарным путем доказал, что нет пифагоровых треугольников, у которых катеты - кубы целых чисел."

Встречалось ли Вам это доказательство?

[Yarkin]

Someone в сообщении #613977 писал(а):

Поскольку неравенство треугольника для решений уравнения $a^n+b^n=c^n$ выполняется, то теорему косинусов формально написать можно, но это приведёт только к появлению ненужного угла. Теорема косинусов не накладывает никаких ограничений на стороны треугольника сверх простого неравенства треугольника, поэтому её использование бесполезно.

AKM в сообщении #613979 писал(а):

[off=". ."]
По моему скромному мнению "использовать теорему косинусов при доказательстве Великой теоремы Ферма" не некорректно, а бессмысленно. Вводить же дефект в той или иной форме --- почему бы и нет? Вдруг прокатит, что-то будет понятнее выглядеть?

Теорема косинусов – это почти физический закон для моделей чисел. Она имеет отношение в меньшей степени к треугольнику, а в большей степени ко всем арифметическим действиям, контролируя их правильность. Она накладывает ограничения на любые алгебраические уравнения, не исключая и уравнение Ферма. Она не признает нынешнее понятие числа и согласна с его определением по Пифагору. Всего не перечислить. Элементарное доказательство ВТФ будет получено только с помощью теоремы косинусов.

[Cash]

Belfegor,

Цитирую Серпинского из его "О решении уравнений в целых числах" (1956 год)
Между тем, известное правильное доказательство уже для показателя 3 является неэлементарным

Цитата:

А.Вакулич элементарным путем доказал, что нет пифагоровых треугольников, у которых катеты - кубы целых чисел

Здесь утверждается, что получено доказательство элементарными средствами отсутствия нетривиальных целочисленных решений уравнения $x^6+y^6=z^2$, то есть не $n=3$, а $n=6$. Что вполне возможно.
Но на 100% уверен в отсутствии доказательства слова "косинус" по следующей причине. Вводя $\cos{\gamma}$ вместо $z$ мы
а) не понижаем степень исходного уравнения
б) не уменьшаем количество переменных
в) и главное, если о $z$ известно, что оно целое, то природа $\cos{\gamma}$ гораздо сложнее - известна лишь рациональность (причем не любое рациональное, а весьма специфическое). А в таком случае - ну ищите уж рациональные решения $\xi^n+\eta^n=1$

Впрочем, здесь обо всем этом уже говорил AKM