Асимптотическая плоскость

[Joker_vD]

Shtorm в сообщении #591054 писал(а):

Но тем не менее, даже в такой расшифровке, гладкое многообразие $N$ по прежнему может создавать лишь одну единственную асимптоту, как сказал ИСН, а это не есть хорошо.

А вот не знаю. Лично я изначально представлял асимптотическую плоскость именно как идущую в одном направлении... ну то есть, представьте себе поверхность, а теперь из какой-то точки идите по какому-то вектору вперед и вперед, в бесконечность — поверхность должна будет неограничено сближаться с асимптотической плоскостью, с той а.п., которая соответствует этому направлению. Определение Oleg Zubelevich позволяет идти не только по направлению, но и по спирали, и по вообще довольно замысловатой кривой.

-- Вс июл 01, 2012 21:52:50 --

Лично мне кажется, что это примерно того же сорта обобщение, что и обобщение "производной по направлению" до "полного дифференциала".

[Shtorm]

Joker_vD, а ведь до меня только сейчас дошло, что "Ваш желоб" как раз является ярким контрпримером тому определению, которое мы вырабатывали с Алексеем К. и ИСН. Как ни крути, ни верти, а через этот желоб не проведёшь секущие плоскости так, чтобы в них были кривые, дающие асимптоты в А.П.

Вот!!!! ИСН, Эврика!!!

Таким образом, критерием для такого желоба может служить пространственная кривая, проведённая внутри этого желоба и имеющая в качестве А.П. плоскость, которая будет А.П. желоба.
Joker_vD, а касательно выделенного направления - какой смысл называть в таком направлении плоскость, когда можно лишь назвать прямую в пространстве, которая и будет асимптотой для одного выделенного направления поверхности.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #591102 писал(а):

Вот!!!! ИСН, Эврика!!!

Про эту эврику Вам ewert уже писал во первЫх страницах этой темы. И я устал его цитировать. Что-то про много разных бесконечностей и фиолетовых обезьянок.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #591251 писал(а):

И я устал его цитировать.

Я заметил.

Глубоко уважаю пользователя ewert. Но он в своих аргументах делал упор на то, что это асимптотическая плоскость (АП)- неестественна для поверхностей, на что я ему тут же привёл яркие примеры с цилиндрическими поверхностями, а затем ещё всякие поверхности, полученные вращением кривой, имеющую асимптоту. На что он уже в качестве контраргумента использовал фиолетовых обезьян

Также напомню Вам, Алексей К., что на мою просьбу - хотя бы признать, что АП вообще существует, Вы ответили:

Алексей К. в сообщении #583439 писал(а):

Г. в.! Признаю без всяких "хотя бы".

Я со своей стороны, готов признать, что имел весьма примитивное представление о решении вопроса, связанного с АП, и только теперь понимаю, что ewert имел ввиду, когда писал:

ewert в сообщении #580923 писал(а):

уж слишком много там разных бесконечностей. ...

Тем не менее, всё же мы продвинулись в понимании данного вопроса, выработали хоть какое-то определение. Сейчас обнаружили недоработку - ну и что - доработаем!

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #591457 писал(а):

мы продвинулись

Опять обобщения...

(Оффтоп)

Ну, накарябал я здесь 50 сообщений, но на велосипед мне надо гораздо больше.

[ИСН]

Хрень с желобом надо отвергнуть. Иначе я тоже этак скажу, что ${1\over x}+\sin^2x$ имеет горизонтальную асимптоту.

[Shtorm]

ИСН в сообщении #591529 писал(а):

Иначе я тоже этак скажу, что ${1\over x}+\sin^2x$ имеет горизонтальную асимптоту.

Берём предел при $x \to \pm \infty$ и получаем, что предела не существует, значит горизонтальных асимптот нет.

В случае желоба, представленного Joker_vD, берём предел при $x,y \to \pm \infty$ от функции $z=e^{-\sqrt{x^2+y^2}}$ и получаем горизонтальную АП.

Вы предлагаете отвергнуть с точки зрения того, что верхние края желоба - так и не достигнут плоскости и вообще между этими краями и плоскостью будет значительный зазор?
Ну хорошо, а другие винтовые поверхности, которые всей поверхностью будут приближаться к АП? Что-то типа геликоида, но асимптотичного.

[ИСН]

Желоб не является функцией $z=e^{-\sqrt{x^2+y^2}}$. Он соотносится с ней примерно так же, как моя функция - с $1\over x$.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #591533 писал(а):

а другие винтовые поверхности

Намотайте мой жёлоб, $z=|x|^y$ (или его аналог), на спираль, например $r=e^\varphi$. Ширину переменную сделайте, типа $w=\frac12r$.

$$\hspace{-3cm}x(t,\varphi)=(r+wt)\cos\varphi,\quad y(t,\varphi)=(r+wt)\sin\varphi,\quad z(t,\varphi)=\left(\frac{t^2}{1-t^2}\right)^r,\quad -\frac{1}{\sqrt2}< t<\frac{1}{\sqrt2},\quad, -\infty_{pot}<\varphi<+\infty_{act}.$$

Пределы по тэ поставил поуже, чтоб, если рисовать будете, в бесконечность не лазить.
Можно на синусоиду намотать. Можно ещё на что-то.

[Shtorm]

Алексей К., Вашу поверхность пока не смотрел, поскольку занимался геликоидами.

Итак, гиликоидоподобная поверхность, имеющая АП $z=0$:

$$\begin{cases}x=u\cos v,\\y=u\sin v,\\z=e^{-v},\end{cases}$$

ИСН, Вы же не будует говорить, что её тоже нужно отвергнуть?

[ИСН]

Shtorm в сообщении #591546 писал(а):

ИСН, Вы же не будует говорить, что её тоже нужно отвергнуть?

Такая штука годится. Но это совершенно из другой оперы, нежели всё предыдущее: вся она не может быть выражена в явном виде как $z(x,y)$, а её куски, которые могут - любые из них! - не имеют этой А.П.

[Shtorm]

ИСН в сообщении #591559 писал(а):

Такая штука годится. Но это совершенно из другой оперы, нежели всё предыдущее: вся она не может быть выражена в явном виде как $z(x,y)$, а её куски, которые могут - любые из них! - не имеют этой А.П.

Да, про явность и неявность-то я забыл. Так разве "то совместное определение" было только для явно заданных функций? Это я "свои формулы и свойство" писал только для явно заданных функций, а геометрическое определение должно быть верным и для неявных. А тут получается, что если рассечь этот экспоненциальный геликоид плоскостями перепендикулярными плоскости $XOY$, то там не будет асимптот. И получается, что определение нужно дорабатывать. Я прав?

-- Вт июл 03, 2012 16:55:45 --

Алексей К. в сообщении #591543 писал(а):

Shtorm в сообщении #591533 писал(а):

а другие винтовые поверхности

Намотайте мой жёлоб, $z=|x|^y$ (или его аналог), на спираль, например $r=e^\varphi$. Ширину переменную сделайте, типа $w=\frac12r$.

$$\hspace{-3cm}x(t,\varphi)=(r+wt)\cos\varphi,\quad y(t,\varphi)=(r+wt)\sin\varphi,\quad z(t,\varphi)=\left(\frac{t^2}{1-t^2}\right)^r,\quad -\frac{1}{\sqrt2}< t<\frac{1}{\sqrt2},\quad, -\infty_{pot}<\varphi<+\infty_{act}.$$

Пределы по тэ поставил поуже, чтоб, если рисовать будете, в бесконечность не лазить.
Можно на синусоиду намотать. Можно ещё на что-то.

Немножко не понял Ваши уравнения: каждая переменная зависит от трёх независимых параметров?

[ИСН]

Shtorm в сообщении #591659 писал(а):

А тут получается, что если рассечь этот экспоненциальный геликоид плоскостями перепендикулярными плоскости $XOY$, то там не будет асимптот. И получается, что определение нужно дорабатывать. Я прав?

Нет. Или да. Зависит от определения асимптотической прямой. С явными-то функциями понятно всё, но тут - - -

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #591659 писал(а):

Немножко не понял Ваши уравнения: каждая переменная зависит от трёх независимых параметров?

$r$ (полярный радиус) и $w$ (полуширина) явно заданы как функции $\varphi$. Поэтому координаты в итоге зависят только от указанной пары параметров. Просто в такой записи видно, что при $t\in(-1,1)$ сечение жёлоба полярным лучом сидит в диапазоне $r\pm w$.

-- 03 июл 2012, 19:09:57 --

Можно сделать $r=e^{\varphi/3}$ (чтоб не так быстро в бесконечность убегало), жёлоб сузить (типа $w=0.2r$).

[Shtorm]

Алексей К., пытался строить в Maple Вашу поверхность, вышла эдакая загогулина. Правда почему-то она не во всех октантах пространства расположена или это так должно быть?

ИСН в сообщении #591684 писал(а):

Shtorm в сообщении #591659 писал(а):

А тут получается, что если рассечь этот экспоненциальный геликоид плоскостями перепендикулярными плоскости $XOY$, то там не будет асимптот. И получается, что определение нужно дорабатывать. Я прав?

Нет. Или да. Зависит от определения асимптотической прямой. С явными-то функциями понятно всё, но тут - - -

Хм...Но когда даётся определение асимптоты - то там же нет никаких особенностей. Что для явных, что для неявных - главное, чтобы расстояние между этой прямой и кривой стремилось к нулю, при удалении на бесконечность.