Один вопрос про связность.

[Alex-Yu]

Oleg Zubelevich в сообщении #550414 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #550395 писал(а):

Если вся связность сводится только к кручению

а это как? просто объясните внятно с формулами желательно

Ну Вы же крутой по самое немогу. Вот сами и соображайте. Я, кстати, не уверен, что получится тензорный закон. Что и отметил вопросительным знаком в скобках. А проверять мне лениво. Но что-то такое смутно вроде помнится.

[Bulinator]

*@z@zello* в сообщении #550415 писал(а):

Калибровочное поле - это то же пример локальной связности и, последняя, ведет себя как ковектор при заменах .

Где $x$- координаты чего? В калибровочных теория связность- 1-форма принимающая значения на $TF$($F$-это слой). При преобразованиях координат базы- она не преобразуется ковариантно.

[Oleg Zubelevich]

Alex-Yu в сообщении #550417 писал(а):

Ну Вы же крутой по самое немогу. Вот сами и соображайте. Я, кстати, не уверен, что получится тензорный закон. Что и отметил вопросительным знаком в скобках. А проверять мне лениво. Но что-то такое смутно вроде помнится.

Вот-вот. Ну я так и понял.

Вот больше надо таких веток, я давно так не ржал. Вот и сейчас чуть чаем клавиатуру не залил.

[Alex-Yu]

Oleg Zubelevich в сообщении #550428 писал(а):

Вот-вот. Ну я так и понял.

Кстати, утверждение действительно правильное, проверил.

[Oleg Zubelevich]

Alex-Yu в сообщении #550430 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #550428 писал(а):

Вот-вот. Ну я так и понял.

Кстати, утверждение действительно правильное, проверил.

выложите проверочку, пожалуйста, и формулировку утверждения

[Утундрий]

Alex-Yu в сообщении #550325 писал(а):

Любое многообразие может быть рассмотрено как гиперповерхность в пространстве бОльшей размерности (достаточно не более чем на 2). Если рассматривать связность, индуцированную евклидовой структурой этого более многомерного пространства и писать векторы в виде компонент по глобальному базису этого бОльшего пространства,

Вот теперь все вещи названы своими именами.

*@z@zello* в сообщении #550378 писал(а):

Действительно, допустим ($\[e_\mu ^{} \equiv {\partial _\mu }\]$)

$\[R_{\beta \mu \nu }^\alpha {u^\beta } = {u^\alpha }_{;\mu \nu } - {u^\alpha }_{;\nu \mu }\]$

Сделаем преобразование в одной и той же точке O

$\[{u^\alpha }(O) \to {u^{\alpha '}}(O) = f{u^\alpha }\]$

В результате, получаем

$\[f{u^\alpha }_{;\mu \nu } - {u^\alpha }_{;\mu \nu } = {u^\alpha }{f_{;[\mu \nu ]}} \ne R_{\beta \mu \nu }^\alpha {u^\beta }\]$

Линейный же оператор $\[R\]$ не должен зависеть от такого преобразования. Поэтому тензор кривизны определяется по-другому.

Ошибка предложенного рассуждения в том, что преобразование компонент вектора рассматривается само по себе, между тем как рассматривать его необходимо в качестве следствия преобразования координат. Само доказательство (очень хочется поставить тут это слово в кавычки) тензорности $R$ сводится к выписыванию закона преобразования коммутатора ковариантных производных да к однократному применению теоремы Дирака "о частном".

[*@z@zello*]

Bulinator в сообщении #550424 писал(а):

Где $x$- координаты чего? В калибровочных теория связность- 1-форма принимающая значения на $T*F$($F$-это слой). При преобразованиях координат базы- она не преобразуется ковариантно.

$\[y = y(x){\rm{ }} \to {\rm{ }}\Gamma _{\mu b}^a(x) = \Gamma _{\nu b}^a(y)\frac{{d{y^\nu }}}{{d{x^\mu }}}\]$

$\[\Gamma _{\mu b}^a(x) \to g(x)\Gamma _{\mu b}^a(x){g^{ - 1}}(x) - \delta _b^a\frac{{\partial g(x)}}{{\partial {x^\mu }}}{g^{ - 1}}(x)\]$

[Bulinator]

Стоп. Сначала. Я запутался. Пусть имеется расслоение с базой $B$ и слоем $F$. . Связность это такая штука, которая берет вектор из $T_xB$, вектор из $T_fF$ и перетаскивает все это в $T_fF$. Т.е. При преобразованиях базы не затрагивающих слой, она ведет себя как 1форма. В случаее же касательного расслоения, слой $F$ совпадает с $T_xB$ и вы не можете преобразовывать базу не затрагивая слоя.

[Munin]

(Оффтоп)

Alex-Yu в сообщении #550325 писал(а):

Любое многообразие может быть рассмотрено как гиперповерхность в пространстве бОльшей размерности (достаточно не более чем на 2).

Насколько я помню, $n+2$ недостаточно. И даже $2n$ недостаточно. Вот $n^2$ заведомо достаточно, и даже с избытком (есть меньшие оценки).

[Alex-Yu]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #550459 писал(а):

Насколько я помню, $n+2$ недостаточно.

Как-то у меня не дошли руки до доказательства этого утверждения. Поверил на слово знакомому. Как-то зашел об этом разговор. Он профессор-математик (не самый плохой), наверное не врет, говорит есть такая теорема. Где она есть и как доказывается я не интересовался, посему не настаиваю.

[Утундрий]

Alex-Yu в сообщении #550430 писал(а):

Кстати, утверждение действительно правильное, проверил.

Что гаммы могут быть кососимметричны? Это невозможно, потому что в этом случае гаммы - тензоры и неоткуда взять необходимую для ковариантности всего выражения симметричную добавку $\[ x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } x_{,\tilde \mu \tilde \nu }^\alpha \] $

[Oleg Zubelevich]

Alex-Yu в сообщении #550430 писал(а):

Кстати, утверждение действительно правильное, проверил.

Ну так где доказательство-то и формулировка. Не томите. С профессором своим знакомым посоветуйтесь

[Alex-Yu]

Утундрий в сообщении #550468 писал(а):

Что гаммы могут быть кососимметричны? Это невозможно, потому что в этом случае гаммы - тензоры и неоткуда взять необходимую для ковариантности всего выражения симметричную добавку $\[ x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } x_{,\tilde \mu \tilde \nu }^\alpha \] $

Да, Вы правы. Косимметричная часть гаммы -- тензор (я не обратил внимания, что этого не достаточно). Но вот симметричную часть нельзя сделать нулевой в произвольной системе координат. Собственно утверждение верное, но условие этого утверждения (косимметричность гаммы) не реализуемо.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Alex-Yu в сообщении #550476 писал(а):

Собственно утверждение верное, но условие этого утверждения (косимметричность гаммы) не реализуемо.

Гм... На эту тему можно было бы развить какую-то мощную философию, но я все-таки предпочту по старинке считать такое высказывание ложным.

[Alex-Yu]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #550481 писал(а):

Гм... На эту тему можно было бы развить какую-то мощную философию, но я все-таки предпочту по старинке считать такое высказывание ложным.

Ну ее, философию. Корректный вывод из нереализуемого предположения. Ложно, конечно. Считайте вольностью речи.