Любое многообразие может быть рассмотрено как гиперповерхность в пространстве бОльшей размерности (достаточно не более чем на 2). Если рассматривать связность, индуцированную евклидовой структурой этого более многомерного пространства и писать векторы в виде компонент по глобальному базису этого бОльшего пространства,
Вот теперь все вещи названы своими именами.
Действительно, допустим (
)
Сделаем преобразование в одной и той же точке O
В результате, получаем
Линейный же оператор
не должен зависеть от такого преобразования. Поэтому тензор кривизны определяется по-другому.
Ошибка предложенного рассуждения в том, что преобразование компонент вектора рассматривается само по себе, между тем как рассматривать его необходимо в качестве следствия преобразования координат. Само доказательство (очень хочется поставить тут это слово в кавычки) тензорности
сводится к выписыванию закона преобразования коммутатора ковариантных производных да к однократному применению теоремы Дирака "о частном".