Один вопрос про связность.

[Утундрий]

*@z@zello* в сообщении #550178 писал(а):

Вот эту формулу выведите, пожалуйста,

$\[{u^\alpha }_{;\mu } = {u^\alpha }_{,\mu } + \Gamma _{\mu \nu }^\alpha {u^\nu }\]$

Это определение. Определения не выводятся.

-- Вт мар 20, 2012 01:38:36 --

m@x в сообщении #550198 писал(а):

Я, что-то, так и не понял. Связность, вообще, это тензор или не тензор

m@x в сообщении #550198 писал(а):

показано, что сами коэффициенты преобразуются по нелинейному закону и не образуют тензора

Ну и какого ответа вы еще ждете?

[*@z@zello*]

Alex-Yu в сообщении #550169 писал(а):

смволы Кристоффеля можно определить так:

$$ \frac{\partial {\bf e}_k}{\partial x^i}=\Gamma^j_{ki}{\bf e}_j $$

Нельзя, эти символы симметричны.

Цитата:

Тогда:

$$ \frac{\partial {\bf A}}{\partial x^i}=\frac{\partial A^k {\bf e}_k}{\partial x^i}= \frac{\partial A^k}{\partial x^i}{\bf e}_k + A^k \frac{\partial {\bf e}_k}{\partial x^i} $$

Это нелепость. Вектор $\[A\]$ не зависит от координат.

Цитата:

Что дает:

$$ \frac{\partial {\bf A}}{\partial x^i}=\frac{\partial A^k}{\partial x^i}{\bf e}_k + A^k \Gamma^j_{ki}{\bf e}_j $$

Нет не дает. Такой формулы вообще нет.
Есть вектор

$\[B = \frac{{dA}}{{ds}}\]$.

Если, это действительно вектор, то его можно разложить по базису

$\[\frac{{dA}}{{ds}} = \frac{{d{A^k}}}{{ds}}{e_k}\]$

С другой стороны, раз базис неевклидов, то

$\[\frac{{dA}}{{ds}} = \frac{{d({A^k}{e_k})}}{{ds}} = \frac{{d{A^k}}}{{ds}}{e_k} + {A^k}\frac{{d{e_k}}}{{ds}} \ne \frac{{d{A^k}}}{{ds}}{e_k}\].$

Поэтому, чтобы скомпенсировать добавку, нужно переопределить сам вектор в виде

$\[\frac{{\nabla A}}{{ds}} \to \frac{{dA}}{{ds}} + \Gamma (A),{\rm{ }}\Gamma (A) = {\nabla _u}{e_k}{A^k}\]$
$\[{\nabla _u}{e_k} -> \frac{{d{e_k}}}{{ds}} + \Gamma ({e_k})\]$

Так что определение символов Кристоффеля - это симметризация величин $\[({e^l},{\nabla _i}{e_k}) = \Gamma _{ki}^l\]$ и только так.

Утундрий в сообщении #550207 писал(а):

*@z@zello* в сообщении #550178 писал(а):

Вот эту формулу выведите, пожалуйста,

$\[{u^\alpha }_{;\mu } = {u^\alpha }_{,\mu } + \Gamma _{\mu \nu }^\alpha {u^\nu }\]$

Это определение. Определения не выводятся.

Ошибаетесь. Это не определение, а частный случай. Определение совсем другое.

[Утундрий]

Кстати, насчет расслоенных пространств, коль уж завернули в эту тему, есть у меня нечто вроде склеротическо-мнемонического набора правил-запоминамил. Вообще говоря, нижеследующие производственные рецепты представляют собой нечто большее чем считалочка, но ежели считать оные таковыми, то тоже большого вреда не будет.

В общем, что есть риманова геометрия? Грубо говоря, это зоопарк таких вот $\[ u^\alpha \] $ и вот таких вот $\[ w_\alpha \] $ зверушек. Над зверушками можно проводить вивисекции следующего вида: $\[ u^{\tilde \alpha } = x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } u^\alpha \] $, что составляет суть так называемой алгебры. Чтобы перебраться до так называемого анализа нужно доразнообразить вивисекции до таковых: $\[ u_{,\mu }^\alpha \] $. Однако, вот незадача, $\[ u_{,\tilde \mu }^{\tilde \alpha } = x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } x_{,\tilde \mu }^\mu u_{,\mu }^\alpha + x_{,\alpha \mu }^{\tilde \alpha } x_{,\tilde \mu }^\mu u^\alpha \] $, что ровно на второе слагаемое не вписывается в прежнее определение зверушкности. Посему проблема разрешается кардинально, путем $\[ u_{;\mu }^\alpha \equiv u_{,\mu }^\alpha + \Gamma _{\mu \nu }^\alpha u^\nu \] $, где то новое введено таким образом, чтобы $\[ u_{;\tilde \mu }^{\tilde \alpha } = x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } x_{,\tilde \mu }^\mu u_{;\mu }^\alpha \] $. (Как для этого надобно извратить гамму показано выше).

Далее, замечаем, что $\[ w_\alpha u^\alpha \] $ - исконнейшая зверушка, абсолютно к вивисекциям резистентная (т.е. $\[ \left( {w_\alpha u^\alpha } \right)_{;\mu } \equiv \left( {w_\alpha u^\alpha } \right)_{,\mu } = w_{\alpha ,\mu } u^\alpha + w_\alpha u_{,\mu }^\alpha \] $) и налагая требования удобств Лейбница (к коим сызмальства привыкли): $\[ \left( {w_\alpha u^\alpha } \right)_{;\mu } \equiv w_{\alpha ;\mu } u^\alpha + w_\alpha u_{;\mu }^\alpha \] $, получаем $\[ w_{\alpha ;\mu } = w_{\alpha ,\mu } - w_\nu \Gamma _{\mu \alpha }^\nu \] $.

Пусть теперь разнородные зверушки испытывают сродство вида $\[ u_\alpha \equiv g_{\alpha \beta } u^\beta \] $. Тогда из правил удобств следует $\[ u_{\alpha ;\mu } = g_{\alpha \beta ;\mu } u^\beta + g_{\alpha \beta } u_{;\mu }^\beta \] $. Потребуем теперь дополнительно совершенно экстремального максимума удобств в форме $\[ g_{\alpha \beta ;\mu } \equiv 0 \] $, что равносильно $\[ g_{\alpha \beta ,\mu } = \Gamma _{\alpha \beta \mu } + \Gamma _{\beta \alpha \mu } \] $ (где положено $\[ \Gamma _{\alpha \beta \mu } \equiv g_{\alpha \nu } \Gamma _{\beta \mu }^\nu \] $).

Данные соотношения совершенно разрешимы и дают $\[ 2\Gamma _{\mu \alpha \beta } = g_{\mu \alpha ,\beta } + g_{\mu \beta ,\alpha } - g_{\alpha \beta ,\mu } \] $. Рассматривая $\[ u_{;\mu \nu }^\alpha - u_{;\nu \mu }^\alpha \] $ приходим к кривизне $\[ R_{\beta \mu \nu }^\alpha \] $.

Разнообразим теперь наш зоопарк несколько неожиданными тушканчиками типа $\[ {}^a\varphi \] $, которые скачут как $\[ {}^{\tilde a}\varphi = {}_a^{\tilde a} W \cdot {}^a\varphi \] $. Переход к анализу спотыкается об аналогичную беду $\[ {}^{\tilde a}\varphi _{,\mu } = {}_a^{\tilde a} W_{,\mu } \cdot {}^a\varphi + {}_a^{\tilde a} W \cdot {}^a\varphi _{,\mu } \] $, которая зарамсивается уже проверенным способом $\[ {}^a\varphi _{;\mu } \equiv {}^a\varphi _{,\mu } + {}_b^a \Gamma _\mu \cdot {}^b\varphi \] $. Далее совершенно так же поимеиваем $\[ {}_a\psi _{;\mu } = {}_a\psi _{,\mu } - {}_b\psi \cdot {}_a^b \Gamma _\mu \] $, $\[ {}_{ab}g_{;\mu } \equiv 0 \] $, $\[ {}_{ab}g_{,\mu } = {}_{ab}\Gamma _\mu + {}_{ba}\Gamma _\mu \] $.

А вот тут стоп. Обращает внимание факт неполного определения "гамм" через производные "жэ":
$\[ {}_{ab}\Gamma _\mu \equiv \frac{1} {2}{}_{ab}g_{,\mu } + {}_{ab}A_\mu \] $
где новая сущность представляет собой самостоятельное (и, заметим, незваное) пополнение зоопарка:
$\[ {}_{ab}A_\mu = - {}_{ba}A_\mu \] $.
Далее те же бла-бла-бла, рассматриваем $\[ {}^a\varphi _{;\mu \nu } - {}^a\varphi _{;\nu \mu } \] $ и приходим к кривизне $\[ {}_b^a F_{\mu \nu } \] $, которая есть это самое, Янга-Миллса которое.

Приблизительно как-то так.

-- Вт мар 20, 2012 02:46:14 --

*@z@zello* в сообщении #550214 писал(а):

Ошибаетесь.

Повторяетесь. И при этом ошибочно полагаете, что с ростом числа повторений ваши высказывания станут более истинными.

[*@z@zello*]

Цитата:

Повторяетесь. И при этом ошибочно полагаете, что с ростом числа повторений ваши высказывания станут более истинными.

Вы бы лучше внимательней посмотрели, что я написал выше. Вы приводите одну и ту же формулу преобразования и в упор не видите, что все величины Г, которыми вы оперируете, заведомо симметричны. Для символов Кристоффеля формула верна, потому что это символы, это лишь часть аффинной связности. А, речь с самого начала шла не о том. И, вообще, ковариантная производная вектора или тензора вводится, строго говоря, не через символы Кристоффеля.
Кроме того, есть такая теорема: координаты евклидовы тогда и только тогда, когда $\[\Gamma _{kl}^i = - \Gamma _{lk}^i\]$

Цитата:

Рассматривая $\[ u_{;\mu \nu }^\alpha - u_{;\nu \mu }^\alpha \] $ приходим к кривизне $\[ R_{\beta \mu \nu }^\alpha \] $.

Это, строго говоря, не тензор. Истинным тензором будет

$\[R_{klm}^i = \left\langle {{\omega ^i},{\rm{R}}({e_l},{e_m}){e_k}} \right\rangle \]$,

где $\[{\rm{R}}({e_l},{e_m}) = [{\nabla _l},{\nabla _m}] - {\nabla _{[l,m]}}\]$ есть оператор кривизны.

[Oleg Zubelevich]

Да. Такой феерический бред редко читать удается. Всем аффтарам объявляю благодарность. Я сейчас вам масла подолью, а то, что-то скучно стало.
Вот есть мнение, что векторы $\bf{ e}_k$ в координатной записи имеют вид $(0,\ldots,0,1,0\ldots,0)$ -- единица на к-ой позиции, остальные нули. Если к этим векторам применить формулу

Утундрий в сообщении #550173 писал(а):

$\[ \begin{gathered} u_{;\mu }^\alpha \equiv u_{,\mu }^\alpha + \Gamma _{\mu \nu }^\alpha u^\nu \hfill \end{gathered} \] $

то как раз получится формула

m@x в сообщении #550122 писал(а):

$\[{\nabla _i}{e_k} = \Gamma _{ki}^l{e_l}\]$ -

а формула

Alex-Yu в сообщении #550169 писал(а):

так:

$$ \frac{\partial {\bf e}_k}{\partial x^i}=\Gamma^j_{ki}{\bf e}_j $$

не получится.
аффтары пишыте исчо!

[Alex-Yu]

m@x в сообщении #550198 писал(а):

Я, что-то, так и не понял. Связность, вообще, это тензор или не тензор. Определение, ведь, дается через ковариантную производную. А, у Ландау, показано, что сами коэффициенты преобразуются по нелинейному закону и не образуют тензора.

А-а-а-а... Понятно в чем загвоздка. Вы забываете, что кристоффели выражаются через ковариантную производную СПЕЦИАЛЬНОГО (реперного) "векторного" поля. Такого, что обычная производная от него равна нулю в любой системе координат. Собственно это реперное поле и не векторное поле вовсе, ибо его компоненты вообще не преобразуются при смене системы координат. В каждой системе координат свое реперное поле! $e_j$ не является вектором в смысле, используемом у Ландау. Но тогда и кристоффели не тензор. В общем странная затея так определять кристоффели. Хотя формально вроде и в некотором смысле верные формулы.

[Oleg Zubelevich]

Alex-Yu в сообщении #550240 писал(а):

Собственно это реперное поле и не векторное поле вовсе, ибо его компоненты вообще не преобразуются при смене системы координат.

жесть ! пишите , пишите, не отвлекайтесь

[type2b]

(Оффтоп)

горький катаклизьм на 3 страницы

[Oleg Zubelevich]

*@z@zello* в сообщении #550220 писал(а):

Цитата:
Рассматривая $\[ u_{;\mu \nu }^\alpha - u_{;\nu \mu }^\alpha \] $ приходим к кривизне $\[ R_{\beta \mu \nu }^\alpha \] $.

Это, строго говоря, не тензор. Истинным тензором будет

[Alex-Yu]

Oleg Zubelevich в сообщении #550237 писал(а):

Вот есть мнение, что векторы $\bf{ e}_k$ в координатной записи имеют вид $(0,\ldots,0,1,0\ldots,0)$ -- единица на к-ой позиции, остальные нули.

Тут все зависит от того, что понимать под "координатной записью". Возьмем простой пример. Любое многообразие может быть рассмотрено как гиперповерхность в пространстве бОльшей размерности (достаточно не более чем на 2). Если рассматривать связность, индуцированную евклидовой структурой этого более многомерного пространства и писать векторы в виде компонент по глобальному базису этого бОльшего пространства, то в такой координатной записи компоненты этих векторов не будут константами. Естественно, в разных точках гиперповерхности получаются разные векторы, касательные к координатной сетке на гиперповерхности. В общем тут все упирается в то, что такое вектор. Не существует "единственно правильной" системы определений! Определения могут быть разными. Хотя, в коненчом итоге, теория может быть и та же самая, эквивалентная (например, в описанной выше конструкции надо, строго говоря, еще добавить проектирование на касательную гиперплоскость чтобы получить риманову геометрию; впрочем, это автоматически получается при разложении производной от ${\bf e}_k$ по касательным (реперным) векторам). Это все хорошо известно профессиональным математикам (к которым, кстати, я не принадлежу, я физик), но тайна за семью печатями для самоуверенных мальчишек, прочитавших лишь одну книжку по конкретному вопросу. Мальчишки, правда, иногда оказываются достаточно солидного возраста. Не пререставая при этом быть мальчишками. Но по стилю общения мальчишество видно почти сразу для опытного человека

[*@z@zello*]

Oleg Zubelevich в сообщении #550256 писал(а):

*@z@zello* в сообщении #550220 писал(а):

Цитата:
Рассматривая $\[ u_{;\mu \nu }^\alpha - u_{;\nu \mu }^\alpha \] $ приходим к кривизне $\[ R_{\beta \mu \nu }^\alpha \] $.

Это, строго говоря, не тензор. Истинным тензором будет

Так ведь не было доказано.
Действительно, допустим ($\[e_\mu ^{} \equiv {\partial _\mu }\]$)

$\[R_{\beta \mu \nu }^\alpha {u^\beta } = {u^\alpha }_{;\mu \nu } - {u^\alpha }_{;\nu \mu }\]$

Сделаем преобразование в одной и той же точке O

$\[{u^\alpha }(O) \to {u^{\alpha '}}(O) = f{u^\alpha }\]$

В результате, получаем

$\[f{u^\alpha }_{;\mu \nu } - {u^\alpha }_{;\mu \nu } = {u^\alpha }{f_{;[\mu \nu ]}} \ne R_{\beta \mu \nu }^\alpha {u^\beta }\]$

Линейный же оператор $\[R\]$ не должен зависеть от такого преобразования. Поэтому тензор кривизны определяется по-другому.

m@x в сообщении #550198 писал(а):

Я, что-то, так и не понял. Связность, вообще, это тензор или не тензор. Определение, ведь, дается через ковариантную производную. А, у Ландау, показано, что сами коэффициенты преобразуются по нелинейному закону и не образуют тензора.

Связность - это линейное отображение на векторном расслоении. Если рассмотреть это отображение для репера, то получим 1-форму связности, которая используется в калибровочных моделях и дается формулой:

$\[\omega '_a^b = S_a^c\omega _c^d({S^{ - 1}})_d^b + dS_a^c({S^{ - 1}})_c^b\]$

На касательном расслоении эта же форма определит аффинную связность без кручения. И, соответственно это не тензорный объект.
Однако, если существует линейная связность, которая несимметрична, то нельзя ввести координат таких, что локальная форма связности $\[\Gamma _{\beta \gamma }^\alpha = 0\]$. И этот объект ведет себя как тензор.

[Bulinator]

*@z@zello* в сообщении #550378 писал(а):

И этот объект ведет себя как тензор.

Не понял, *@z@zello*. Т.е. получается, что в пространствах с кручением это тензор а в пр-х без кручения- нет? Вы точно ничего не напутали? Как так-то?

[Alex-Yu]

Bulinator в сообщении #550381 писал(а):

Т.е. получается, что в пространствах с кручением это тензор а в пр-х без кручения- нет?

Если вся связность сводится только к кручению, то тензор. В чисто асимметричном случае "патологические" члены сокращаются, на сколько я помню (?). Любители показывать свою крутизну (вместо того, чтобы объяснять так, чтобы спрашивающему было понятно) зачастую несколько небрежны в применении слов. И без дифференциальных форм, конечно, они никак то же самое сказать не могут

-- Вт мар 20, 2012 22:27:34 --

*@z@zello* в сообщении #550378 писал(а):

Связность - это линейное отображение на векторном расслоении.

Т.е. правило, задающее что такое параллельный перенос вектора, если в терминах ЛЛ2. Может выражаться через метрику (риманова геометрия), а может и не выражаться в общем случае.

[Oleg Zubelevich]

Alex-Yu в сообщении #550395 писал(а):

Если вся связность сводится только к кручению

а это как? просто объясните внятно с формулами желательно

[*@z@zello*]

Цитата:

Не понял, *@z@zello*. Т.е. получается, что в пространствах с кручением это тензор а в пр-х без кручения- нет? Вы точно ничего не напутали? Как так-то?

Что тензор?
В самом общем случае, если у вас неголономный базис, можно определить разные локальные формы связности.
Калибровочное поле - это то же пример локальной связности и, последняя, ведет себя как ковектор при заменах $\[x\]$. А, закон изменения самой формы связности дается обычным образом.