К вопросу о неравенстве инертной и гравитационной массы

[schekn]

Как известно масса инертная и масса гравитационная в экспериментах равны с высокой точностью. Однако есть серьезные основания подозревать, что в ОТО эти массы не равны между собой. Определение инертной массы в ОТО дано в ЛЛ-2 в параграфе 105, уравнение (105.21) Мин=Р$^0$/с, где Р0 - нулевая компонента 4-импульса системы. Масса гравитационная – это постоянная М в нулевой компоненте g00 шварцшильдовского решения. Следует также прочитать абзац после этой формулы. В этом же параграфе дано доказательство выражения Мин =M грав .в частном случае. Далее идем в параграф 96, где дано развернутое выражение для 4-импульса системы (уравнение 96.11), при этом рассматривается островная система в которой ∂/∂x$_l$ (g$_i_k$)=0 вне массы. Как видно Pi есть интеграл по пространственным координатам от плотности тензора энергии-импульса внутри этой массы и плотности псевдотензора гравитационного поля (ГП) .

$P^i$=1/c∫($T^i^0+t^i^0$)(-g)dV

Сам псевдотензор это страшное в 4 строки выражение (96.8). Авторы учебника рассматривают в параграфе 105 шварцшильдовскую метрику в декартовых координатах и доказывают, что инертная масса и гравитационная именно в этом случае в точности равны.

Далее неплохо было бы прочитать две пионерские работы Шрёдингера и Бауэра 1918 года (одна за другим идут в Эйнштейновском сборнике 1981-82, найдете без труда, или могу прислать ссылку). В статье Шрёдингера « Компоненты энергии гравитационного поля» он показывает, что компоненты энергии – импульса гравитационного поля (псевдотензор) для статического шара можно обратить в ноль специальным выбором координат. Бауэр показал, что даже в отсутствии поля, если вычислять компоненты псевдотензора в полярных координат, то они оказываются совсем не ноль, а в интеграле составляют бесконечность. Они делают вывод, что введенные таким образом Эйнштейном характеристики поля (псевдотензор) не физические. Ландау и Лифшиц хорошо понимают эту проблему и указывают, что энергию гравитационного поля нельзя локализовать. Тем не менее, они поддерживают псевдотензорное направление, хотя закрадываются сомнения, а имеет ли смысл понятие энергии островной системы, так, как её определяют авторы учебника?

Далее следует ознакомиться со статье Логунова и др. «Инертная масса, определенная в ОТО не имеет смысла». (ссылка здесь http://www.mathnet.ru/links/c20a3752ddb ... mf2404.pdf). Я извиняюсь, что я epros дал несколько другую ссылку, не думал, что проблема скачать, но смысл здесь тот же. В этой статье все проще и имеются современные обозначения, взятые из ЛЛ-2. Все формулы для выражения псевдотензора также взяты из ЛЛ-2. В частности выражение h${^i^k^l}$ (7) это то же, что и (96.2) и (96.3) из ЛЛ-2. Они действительно рассматривают шварцшильдовское решение в изотропных декартовых координатах. Почему не в полярных – не знаю, я не нашел. Может быть для того , чтобы показать, что , если ограничиться только именно этой формой метрики, то Мин =M грав. А затем они переходят к другим допустимым координатам (меняя только радиальную r), нарушая условие линейности координатных преобразований, заданную в учебнике ЛЛ-2, доказывают их валидность, и получается, что инертная масса может принимать любое значение в зависимости от выбора пространственных координат и таким образом эта величина не имеет физического смысла. Я вычисления не проверял, а сравнил только их формулы с формулами из ЛЛ-2.
По поводу замечаний epros, о том, что в статье Логунова используется не мёллеровское выражение суперпотенциала. Во-первых, группой Логунова написано по меньшей мере 5 статей на эту тему и еще 2 независимым теоретиком и странно, что за 30 лет в официальной печати не появилось опровержения. Скорее всего, там грубых ошибок нет
(думаю, что все это перепроверялось неоднократно).
Во-вторых, в каждой статье есть ссылка на две статьи Мёллера из сборника « Гравитация и топология» (п/р Иваненко), где последний рассматривает другой вид суперпотенциала. Поэтому группа Логунова прекрасно осведомлена в этом вопросе, и более того, в конце статьи они пишут, что Мёллер очень близко подошел к понимаю проблемы, но до конца не разобрался. Получается, что есть выражение суперпотенциала по-Эйнштейну, по Ландау-Лифшицу, по Мёллеру. Причем их гораздо больше. Тут опять неопределенность в ОТО. Авторы же статьи критикуют только подход Эйнштейна и ЛЛ-2.
В-третьих, я видел статью теоретика Денисова без соавторов, где он рассматривает тот же вопрос не на уровне псевдотензора, а на уровне Лагранжиана системы и делает более сильное утверждение, что само понятие энергии в ОТО зависит от «арифметизации» пространства (то есть выбора системы координат), и соответственно от асимптотического поведения лагранжиана, а значит не имеет физического смысла, также как и законы сохранения в ОТО (могу заинтересованным дать ссылку).
Поэтому, если рассматривать широко распространённое псевдотензорное направление в рамках ЛЛ-2 (то же, что и у Эйнштейна и у некоторых других авторов), то можно прийти к мысли, что оно по крайней мере некорректно и приводит к неравенству инертной и грав. масс и потере смысла законов сохранения энергии-импульса в ОТО.

[Munin]

schekn в сообщении #531779 писал(а):

Во-первых, группой Логунова написано по меньшей мере 5 статей на эту тему и еще 2 независимым теоретиком и странно, что за 30 лет в официальной печати не появилось опровержения. Скорее всего, там грубых ошибок нет

Вообще, ситуация там другая, и выводы из неё другие.

[epros]

schekn в сообщении #531779 писал(а):

Во-первых, группой Логунова написано по меньшей мере 5 статей на эту тему и еще 2 независимым теоретиком и странно, что за 30 лет в официальной печати не появилось опровержения.

"Группа Логунова" по известным причинам долгое время имела возможность публиковаться без оглядки на рецензентов. Это не значит, что те, кто с ними не согласен, должны были тратить своё время на споры и опровержения. В науке так не делается - дискутируют в основном с теми, с кем есть хоть какое-то взаимопонимание, с целью выработать общую позицию. Например, стронники различных вариантов теории струн и сторонники петлевой теории гравитации плохо понимают друг друга. Между ними есть какие-то бурные дискуссии? Отнюдь. Впечатление такое, что одни не хотят слышать о существовании других...

schekn в сообщении #531779 писал(а):

Скорее всего, там грубых ошибок нет
(думаю, что все это перепроверялось неоднократно).

Что есть "грубая ошибка" - вопрос тонкий. Понятие скалярной/векторной/тензорной плотности общеизвестно. И никому нет нужды доказывать, что независимость интеграла от выбора координат имеет место тогда и только тогда, когда выражение под интегралом преобразуется как плотность - это общеизвестно. Какие из формул гравитационных суперпотенциалов соответствуют плотностям, а какие нет - тоже общеизвестно. Разумеется, в литературе (в том числе в ЛЛ2) иногда употребляются формулы суперпотенциалов, которые не соответствуют плотностям - ибо выбор суперпотенциала возможен с точностью до калибровки. Является ли "грубой ошибкой" статья, которая показывает, что интеграл от такого суперпотенциала неинвариантен по отношению к преобразованиям пространственных координат? Пожалуй, что формальной ошибки в этом нет. Однако, по-моему, концептуальная ошибка заключается в том, что такая статья вообще появилась (и теперь этот вопрос муссируется во многих местах).

-- Пт янв 27, 2012 10:30:59 --

schekn в сообщении #531779 писал(а):

статью теоретика Денисова

Это не тот ли Денисов, который выпустил в самиздате какую-то брошюрку, ниспровергающую СТО? Вообще, у теории относительности интересная история развития. По ОТО так вообще - целые толстые книжки написаны именитыми личностями, которые её не признают и не понимают. (Взять того же Фока).

[Munin]

(Оффтоп)

epros в сообщении #531834 писал(а):

Это не значит, что те, кто с ними не согласен, должны были тратить своё время на споры и опровержения.

При том, что некоторые опровержения всё-таки поступили, но диалог не завязался...

[obar]

Да бог с ними, суперпотенциалами. Почти в каждой работе по этой теме подчеркивается, что для вывода равенства инертной и гравитационной масс ключевым моментом является фиксация асимптотических условий на метрику

$$ g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+O(1/r)\,,\quad g_{\mu\nu,\lambda}=O(1/r^2)\,. $$

Как показано в той же работе Логунова и др. простая переарифметизация радиальной переменной $r\rightarrow r'$ может изменить вид асимптотики. Значит это условие нефизично. В чем тут ошибка?

[epros]

obar, я не понял в чём именно проблема? Разумеется, заменой пространственных переменных можно изменить вид асимптотики. Но это не значит, что это должно как-то повлиять на расчёт массы системы. В посте № 518275 в формуле (6) я указал, как можно рассчитать массу внутри сферы независимым от выбора координат образом: Потому что и площадь сферы $S$, и градиент потенциала $\varphi_{,p}$ рассчитываются независимо от выбора пространственных координат. Ну, выполним мы некую замену $r \to r'$, что это изменит?

[Munin]

obar
В работах по GR надо следить, подразумевается ли под словом "метрика" конкретный координатный вид метрики, или метрика псевдориманова многообразия в независимом от координат смысле. Разные авторы могут подразумевать под этим словом и то, и другое (и не особо оговаривать этот момент), особенно если это работы старые или маргинальные. Приходится догадываться по контексту, и такая догадка действительна только в пределах одной работы (или серии работ одного автора), или даже меньше.

[obar]

Равенство инертной и гравитационной масс есть лишь в тех координатах, в которых выполняются приведенные выше асимптотические условия. В частности, в статье Фаддеева Л.Д. (УФН, 1982, т 136, вып. 3) говорится

Цитата:

В недавней работе (Логунов, Денисов) используется координатное преобразование с асимптотикой ... По отношению к таким преобразованиям данное ниже определение энергии неинвариантно. С нашей точки зрения такие координатные преобразования недопустимы. Например, действие (2.12) по отношению к ним не инвариантно. Более строгие рассуждения должны быть основаны на детальном обсуждении компактификации многообразия, соответствующего асимптотически плоскому пространству-времени. Координатные преобразования ... сингулярны на этом многообразии. Однако подобное обсуждение выходит за рамки принятого в этом обзоре наивного, но наглядного определения допустимых координат.

Т.е. Фаддеевым признается, что заменой координат можно изменить инертную массу. Однако он считает по каким-то причинам (мне не понятным) эти координаты нефизическими. Мне гораздо понятнее логика Логунова: физическая величина не может зависеть от того, как я расставлю метки на координатной сетке.

[epros]

obar в сообщении #531897 писал(а):

Фаддеева Л.Д. писал(а):

По отношению к таким преобразованиям данное ниже определение энергии неинвариантно.

... Мне гораздо понятнее логика Логунова: физическая величина не может зависеть от того, как я расставлю метки на координатной сетке.

Ну что ж, мне тоже позиция о недопостимости координатных преобразований не очень понятна. Я бы скорее пришёл к выводу, что проблема - в подёркнутой части цитаты. Т.е. следует употреблять другое определение энергии, а не то, которое оказалось привязанным к конкретному виду пространственных координат.

obar в сообщении #531897 писал(а):

Равенство инертной и гравитационной масс есть лишь в тех координатах, в которых выполняются приведенные выше асимптотические условия.

Это утверждение мне непонятно. Сферические координаты имеют другую асимптотику, однако результат в них получается правильный:

Если $ds^2 = g_{t t} dt^2 - g_{r r} dr^2 - g_s [d \theta^2 + \cos^2 (\theta) d \varphi^2]$,
то площадь сферы равна $4 \pi g_s$, а радиальный градиент потенциала: $\frac{g_{t t ,r}}{2 g_{t t} \sqrt{-g_{r r}}}$.
Откуда масса: $M = \frac{g_s g_{t t ,r}}{2 G g_{t t} \sqrt{-g_{r r}}}$.

Давайте попробуем ради интереса заменить в этом выражении переменную $r$ и проверим изменится ли масса.

[Munin]

obar в сообщении #531897 писал(а):

Равенство инертной и гравитационной масс есть лишь в тех координатах, в которых выполняются приведенные выше асимптотические условия.

Значит, условия надо переформулировать в независимом от координат виде (как они и формулируются везде).

[obar]

epros в сообщении #531905 писал(а):

Я бы скорее пришёл к выводу, что проблема - в подёркнутой части цитаты. Т.е. следует употреблять другое определение энергии, а не то, которое оказалось привязанным к конкретному виду пространственных координат.

Фраза "данное ниже определение" обусловленна лишь структурой статьи: вначале Фаддеев дает определение асимптотически плоского пространства-времени (с этой части и взята цитата) и лишь затем приводит выражение для энергии. Другого, "не привязанного к конкретному виду пространственных координат" определения у него нет.

Munin в сообщении #531908 писал(а):

Значит, условия надо переформулировать в независимом от координат виде (как они и формулируются везде).

Везде -- это где? Можно конкретнее?

[schekn]

Munin в сообщении #531840 писал(а):

(Оффтоп)

epros в сообщении #531834 писал(а):

Это не значит, что те, кто с ними не согласен, должны были тратить своё время на споры и опровержения.

При том, что некоторые опровержения всё-таки поступили, но диалог не завязался...

Вы неправы, на всю критику в свой адрес в официальной научной печати они ответили весьма обстоятельно.
Денисов весьма мощный теоретик из МГУ.
Вот статья Фадеева УФН, 1982, 136, в 3, 435-457 "Проблема энергии в теории тяготения Эйнштейна".

Вот ответ В.И. Денисова, где он нашел у Фадеева ошибки:
"Энергия, определяемая в ОТО на основе традиционного гамильтонова подхода, не имеет физического смысла" :
http://www.mathnet.ru/links/cb6bd5cf0e6 ... mf2213.pdf
и более короткая, но информативная "О замечании Л. Д. Фаддеева ".
http://www.mathnet.ru/links/63d33a97802 ... mf2215.pdf
Просто они в математическом отношении сложнее, чем та, что я привел в основном тексте темы.

Вообще-то это вопросы принципиальные, поскольку - надо смотреть правде в глаза - вопрос с законом сохранения энергии-имульса в ОТО до сих пор удовлетворительно не решен. И не спорить с этим и не обсуждать, а замалчивать просто глупо. Конечно лучше на научных семинарах.
Ведь если нет ошибок у Логунова, то значит массы не равны, инертная зависит от выбора координат, это ведет к тому, что не работает постньютоновское приближение в ОТО. А само понятие Энерия системы теряет смысл.

-- 27.01.2012, 19:00 --

epros в сообщении #531905 писал(а):

obar в сообщении #531897 писал(а):

Фаддеева Л.Д. писал(а):

По отношению к таким преобразованиям данное ниже определение энергии неинвариантно.

... Мне гораздо понятнее логика Логунова: физическая величина не может зависеть от того, как я расставлю метки на координатной сетке.

Ну что ж, мне тоже позиция о недопостимости координатных преобразований не очень понятна. Я бы скорее пришёл к выводу, что проблема - в подёркнутой части цитаты. Т.е. следует употреблять другое определение энергии, а не то, которое оказалось привязанным к конкретному виду пространственных координат.

obar в сообщении #531897 писал(а):

Равенство инертной и гравитационной масс есть лишь в тех координатах, в которых выполняются приведенные выше асимптотические условия.

Это утверждение мне непонятно. Сферические координаты имеют другую асимптотику, однако результат в них получается правильный:

Если $ds^2 = g_{t t} dt^2 - g_{r r} dr^2 - g_s [d \theta^2 + \cos^2 (\theta) d \varphi^2]$,
то площадь сферы равна $4 \pi g_s$, а радиальный градиент потенциала: $\frac{g_{t t ,r}}{2 g_{t t} \sqrt{-g_{r r}}}$.
Откуда масса: $M = \frac{g_s g_{t t ,r}}{2 G g_{t t} \sqrt{-g_{r r}}}$.

Давайте попробуем ради интереса заменить в этом выражении переменную $r$ и проверим изменится ли масса.

А откуда такое выражение для массы? вы использовали потенциал Мёллера?

[epros]

schekn в сообщении #531999 писал(а):

А откуда такое выражение для массы? вы использовали потенциал Мёллера?

Насколько я понимаю, использование суперпотенциала Мёллера должно привести к такому же результату (просто в силу того, что он является плотностью). Но здесь я использовал более простые соображения. В частности, масса была определена классической формулой: через поток ускорений свободного падения. Очевидно, что корректное определение суперпотенциала должно приводить к такому же результату, ибо по своему смыслу суперпотенциал - это и есть та величина, поток которой через некоторую поверхность даёт полные энергию-импульс системы внутри поверхности.

[obar]

На сколько я понимаю, ваша формула

$$M(r)=\frac{g_s g_{t t ,r}}{2 G g_{t t}\sqrt{-g_{r r}}}$$

выражает инертную массу, заключенную внутри сферы радиуса $r$. Чтобы найти полную массу $M$ нужно перейти к пределу $r\rightarrow\infty$. Учитывая, что метрика на бесконечности должна принимать галилеевый вид, т.е.

$$ g_{tt}\rightarrow1\,\quad g_{rr}\rightarrow 1\,,\quad g_{s}\rightarrow r^2 $$

для полной массы получаем

$$ M=\frac1{2G}\lim_{r\rightarrow\infty}\left(r^2\frac{\partial g_{tt}}{\partial r}\right). $$

Этот предел существует (и отличен от нуля) только если выполняется асимптотическое условие

$$ g_{tt}=1+O(1/r).\eqno(1) $$

При этом, если условие (1) выполнено, то выражение для массы можно переписать в эквивалентной форме

$$ M=\frac1{2G}\lim_{r\rightarrow\infty}r(1-g_{tt}). $$

Итак, ваше выражение сводится к стандартной формуле и как и другие подобные формулы подчинено асимптотическому условию (1).

[geosiya]

Ни массы инертности, ни массы гравитационной НЕ СУЩЕСТВУЕТ! Инертность - возможность тела сопротивляться внешним силам. Гравитация - способность вращающейся системы сохранить целостность. И во втором случае совершенно неприемлемо применять Закон Всемирного тяготения - он дан для стационарных неподвижных тел. Гравитацией же обладают ТОЛЬКО вращающиеся тела и системы.