Основания математики - элементарное рассмотрение

[Droog_Andrey]

vek88 в сообщении #478625 писал(а):

(Оффтоп)

тем, подобных post478607.html#p478607

(Оффтоп)

Огромное спасибо за ссылку, посмеялся от души

[vek88]

Напомню, что мы рассматриваем пункт 10 Фихтенгольца. Поскольку несчетные множества в СТМ не являются множествами, мы поправили определение сечения в области рациональных/вещественных чисел.

Теперь нетрудно видеть, что теорема Дедекинда имеет место и в СТМ:

Для всякого сечения в области $A| A'$ в области вещественных чисел существует вещественное число $\beta$, которое производит это сечение.

Доказательство проводится точно также (см. Фихтенгольц).

Далее у нас на очереди пункт 11 Границы числовых множеств. Мы докажем, что теорема о существовании точной верхней (нижней) грани ограниченного сверху (снизу) множества вещественных чисел имеет место и в СТМ. Однако доказательство несколько усложняется.

Делаю паузу, чтобы дать возможность поучаствовать в творчестве другим участникам форума. Итак, кто предложит наиболее простое доказательство упомянутой теоремы в рамках СТМ?

[vek88]

vek88 в сообщении #479069 писал(а):

Доказательство проводится точно также (см. Фихтенгольц).

Здесь я не прав. Теорема Дедекинда теперь доказывается несколько иначе. Строим сечение в области рациональных чисел следующим образом. В нижний класс включаем все рациональные числа, меньшие вещественных чисел из $A$, в верхний - остальные рациональные числа. Это сечение определяет искомое вещественное число $\beta$.

[vek88]

vek88 в сообщении #479069 писал(а):

Далее у нас на очереди пункт 11 Границы числовых множеств. Мы докажем, что теорема о существовании точной верхней (нижней) грани ограниченного сверху (снизу) множества вещественных чисел имеет место и в СТМ. Однако доказательство несколько усложняется.

Опять я не прав. Доказательство этой теоремы даже упрощается. Подсказка содержится в предыдущем посте post479175.html#p479175.

Идем дальше по Фихтенгольцу. Далее следуют:

- параграф 3 Арифметические действия над вещественными числами ;
- параграф 4 Дальнейшие свойства ... (корни, степени, логарифмы).

Здесь нам делать нечего, поскольку все это прекрасно проходит в СТМ ИМХО без изменений.

Итак, мы закончили ВВЕДЕНИЕ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА. Пока полет нормальный - никаких принципиальных отклонений от традиционного матанализа в рамках СТМ мы не обнаружили.

Далее ГЛАВА ПЕРВАЯ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Просмотрел бегло эту главу - никаких проблем для СТМ не нашел. И это ИМХО естественно, поскольку рассматриваются последовательности, для представления которых СТМ вполне достаточно.

У меня зреет крамольная мысль - а существует ли что-нибудь принципиальное и важное в матанализе, где бы СТМ было мало? ИМХО в СТМ будет все идентично традиционному матану за исключением, быть может, синтаксических отличий в связи с терминологией. Например, отрезок теперь не является множеством. Но пользоваться отрезками во всех матановых построениях мы ИМХО можем без ограничений.

Интересно, кто-нибудь может привести пример важного для приложений построения из матана, где существенна несчетность множества вещественных чисел? Мне кроме диагонального построения Кантора ничего в голову не приходит, но этот пример, похоже, к реальным приложениям матана не имеет отношения?

[Gortaur]

vek88

(Оффтоп)

Кто кого троллит непонятно. У меня отношение к темам, в которых 5-7 последних сообщений от однго и того же автора несколько негативное. Про других не знаю, возможно скучно как Алексей К. заметил.

[vek88]

Gortaur в сообщении #479405 писал(а):

vek88

(Оффтоп)

Кто кого троллит непонятно. У меня отношение к темам, в которых 5-7 последних сообщений от однго и того же автора несколько негативное. Про других не знаю, возможно скучно как Алексей К. заметил.

Спасибо, Gortaur

(Оффтоп)

Теперь я смогу написать 4 сообщения подряд, не вызывая у Вас отрицательных эмоций.

А если серьезно, то что Вы предлагаете мне? Например, сказать - ах, мне никто не задает вопросов и никто ничего не пишет ... ну, тогда погодите у меня ... в знак протеста прекращаю излагать свои гениальные мысли.

Но ведь это, по меньшей мере, было бы несерьезно. ИМХО раз уж я взялся что-то рассказать, то в любом случае должен довести дело до конца, даже если в данный исторический период охотников разбираться в этом на форуме не нашлось.

А негативное отношение ... - знаете ли, меня вот сильно смущает тот факт, что Вы и ряд других участников не находят времени на обсуждение сути рассматриваемых вопросов, а вот поучить других правилам хорошего тона ... это сколько угодно.

Впрочем это все суета. Возвращаюсь к теме.

На очереди Глава 2 Функции одной переменной.

Смотрим параграф 1 Понятие функции. В п. 43 сразу нестыковочка с СТМ. Говорится об области изменения переменной - произвольном числовом множестве. Однако вопрос решается просто - давайте так и будем говорить - область. А термин множество к области не применяем.

Далее в п. 45 Определение понятия функции говорится.

Переменная $y$ называется функцией от переменной $x$ в области ее изменения $X$, если по некоторому правилу или закону каждому значению $x$ из $X$ ставится в соответствие одно определенное значение $y$ (из $Y$).

Здесь $X$ - область определения функции.

Пример. Функция Дирихле $y=f(x)$ определена в области всех вещественных чисел. Она равна 1, если $x$ - рациональное число, и равна 0, если $x$ - иррациональное число.

Как видим, функции прекрасно определяются даже в области, не являющейся множеством.

Мы благополучно добрались до параграфа 2 Предел функции - это уже стр. 115. Пока все вопросы с СТМ успешно разрешаются в том смысле, что весь традиционный матан сохраняется - мы ничего не потеряли.

И особых усложнений по сравнению с традиционным матаном мы не встретили.

А если кто-то заметил усложнение ..., отсылаю к Очеркам по конструктивной математике Мартин-Лефа. Там тогда не усложнение, а катастрофа. Например, знакопеременная непрерывная функция на замкнутом интервале ... может не обращаться в нуль.

[vek88]

Gortaur в сообщении #479405 писал(а):

возможно скучно как Алексей К. заметил.

Иду навстречу пожеланиям общественности - постараюсь сократить рассмотрение.

Итак, бегло просмотрел Главу 2, в частности, понятия предела функции и непрерывности, теорему о промежуточном значении и др. Нигде не нашел принципиальных расхождений с СТМ. Кроме терминологических, о которых мы уже говорили выше. Например, окрестность точки теперь просто окрестность, а не множество.

А теперь осмелюсь высказать предположение, что дальше будет то же самое, поскольку основы матана мы уже прошли. Итак, возникает убежденность в следующем:

1. Матанализ практически ничего не теряет в СТМ.

2. Усложнения ничтожны и касаются лишь терминологии.

[Someone]

Думаю, что можно обойтись вообще без теории множеств. Например, использовать теорию категорий. Вообще, чем дальше от оснований, тем меньше нужна теория множеств, не говоря уже о том, что она всюду тащит за собой свои специфические проблемы, не имеющие непосредственного отношения к предмету теории (в случае анализа - к дифференциальному и интегральному исчислению).

[vek88]

Someone в сообщении #479542 писал(а):

Думаю, что можно обойтись вообще без теории множеств. Например, использовать теорию категорий. Вообще, чем дальше от оснований, тем меньше нужна теория множеств, не говоря уже о том, что она всюду тащит за собой свои специфические проблемы, не имеющие непосредственного отношения к предмету теории (в случае анализа - к дифференциальному и интегральному исчислению).

Someone

Воодушевленный Вашим сообщением, попытался найти хоть какие-нибудь следы теории множеств в первом томе Фихтенгольца. Два дня парился - он у меня в формате djvu, поэтому поиск терминов дать не могу. В предметном указателе терминов из этой области нет. По тексту тоже нигде ничего не нашел. Даже теоретико-множественные операции не используются?

Блин, не нашел даже понятия счетного/несчетного множества. Соответственно, не нашел и диагонального построения Кантора.

Похоже, Фихтенгольц не только умный, но и мудрый мужик. Во всяком случае, термин множество он использует очень осторожно и взвешенно.

Однако не смог вспомнить, когда впервые узнал доказательство несчетности множества ДЧ? Такое ощущение, что знал это всегда ... ну, где-то порядка полвека - может, в школе это рассказывали?

[tolstopuz]

vek88 в сообщении #480047 писал(а):

Воодушевленный Вашим сообщением, попытался найти хоть какие-нибудь следы теории множеств в первом томе Фихтенгольца. Два дня парился - он у меня в формате djvu, поэтому поиск терминов дать не могу. В предметном указателе терминов из этой области нет. По тексту тоже нигде ничего не нашел. Даже теоретико-множественные операции не используются?

Ничего удивительного в этом нет. Фихтенгольц за основу своей книги взял "Курс анализа бесконечно малых" Ш. Ж. де ла Вале-Пуссена, написанный еще в XIX веке.

vek88 в сообщении #480047 писал(а):

Похоже, Фихтенгольц не только умный, но и мудрый мужик.

Таких мудрых было полно - можно взять любую другую книгу 100-150-летней давности.

[vek88]

Меня очень порадовал факт признания общественностью отсутствия большой необходимости в теории множеств на уровне математического анализа. Так что мой вопрос о СТМ можно считать закрытым.

А вот давнишний вопрос о непротиворечивости реальной математической практики, к сожалению, закрыть не могу. Что-то неуловимое и сугубо интуитивное вертится ... , но никак не получается сформулировать суть.

Для затравки дальнейшего обсуждения - если, разумеется, оно случится - попробую в который раз взять за основу подсказку К-систем, но на этот раз с другого конца.

Итак, как-то так получается, что мы не придаем определениям какой-либо существенной роли. А ведь именно определения, которые вводят новые объекты, конструкции, множества, должны быть в центре внимания при анализе непротиворечивости создаваемых нами теорий.

Вместо этого мы погрязли в априорной аксиоматизации еще не построенных теорий.

Так вот, рассматривая в качестве примера, традиционные определения матана, мы замечаем, что они строятся следующим образом.

Есть нечто совсем тривиальное, например натуральные числа. Над ними мы строим арифметику натуральных чисел. Здесь на содержательном уровне всякое утверждение либо истинно, либо ложно. И никаких противоречий.

Затем, на основе уже построенного выше, мы определяем рациональные числа - соответственно, возникают операции и отношения на множестве рациональных чисел. Следовательно, снова никаких противоречий.

Далее идут вещественные числа ... и т.д.

Таким образом, никаких порочных кругов в определениях не возникает. Следовательно, все реальные построения непротиворечивы.

В то же время, пытаясь дать априорную формализацию чего-либо, например, теории множеств, мы пишем некие аксиомы, про которые трудно сказать что-либо в плане их непротиворечивости.

Так что надо смотреть на определения, в которых, есть посылки и заключение. И если посылки ссылаются на уже определенные непротиворечивым образом объекты, то и новые объекты не создадут противоречий. Другими словами, расширенная теория будет непротиворечивой, если исходная была таковой.

Соответственно, главный вопрос в следующем. Как в реальной математической практике строятся определения новых объектов, конструкций, множеств?

ЗЫ. Возможны определения, выбирающие определенные объекты из множества ранее уже определенных. Это ИМХО другая песня.

[vek88]

vek88 в сообщении #480209 писал(а):

Соответственно, главный вопрос в следующем. Как в реальной математической практике строятся определения новых объектов, конструкций, множеств?

Догадываюсь, почему очень трудно дать ответ на этот вопрос. Все дело в том, что это естетсвенно-научный вопрос о математическом творчестве.

Соответственно, математикам этот вопрос не очень интересен, поскольку он неформален по своей природе. В самом деле, да мало ли как формулируются определения в математике - их все не просмотришь.

А нематематики на этот вопрос в принципе не могут ответить, поскольку не знакомы в достаточной степени с математикой.

Так что, ИМХО интересный вопрос есть, а отвечать на него некому!?

Да еще все осложняется многообразием типов определений. Например, определение группы или иной алгебраической структуры не вводит никакого нового множества, а лишь выделяет некие конкретные множества из уже определенных: множество с определенными на нем операциями/отношениями ..., удовлетворяющими ... , называется ... . Соответственно, определения такого типа вообще не могут породить противоречивую теорию.

И что же делать?

В определенном смысле Гильберт уже сказал, что делать. Нам нужна формализация!

Однако нам не нужна формализация в смысле построения аксиоматической теории с целью загнать математиков в какие-то формальные рамки.

Нам нужна формализация с целью понимания и логического обоснования реальной математической практики.

К сожалению, нынешние основания математики не в полной мере способствуют пониманию этой реальной математической практики.

[Droog_Andrey]

Можно было бы отталкиваться от того, что математика - это наука о преобразовании информации.

Но, думаю, мало кто поддержит эту идею сейчас.

[a.k.]

Someone в сообщении #458374 писал(а):

А насчёт конечных множеств Вы сильно заблуждаетесь. Конструктивная математика свободно работает с бесконечными множествами (за исключением, может быть, финитизма). В частности, в арифметике (если не ограничиваться начальной школой) бесконечные множества - вещь обычная.
...
Вы просто не понимаете, о чём говорите. В классической математике точно так же все результаты получаются "за конечное число вполне конкретных операций". Или Вы имеете в виду исключительно арифметические операции?
...

a.k. в сообщении #445945 писал(а):

И как вообще понятие классического существования связано с тем, что мне представляется как существующий реально объект, мне не ясно.

А вот например натуральное число 5 - реально существующий объект? Покажите нам его. Только учтите, что "5 камешков" - это не число 5, а набор камешков. Число 5 - это некоторая логическая конструкция. Вот её-то Вы и должны нам показать как реальный объект.
...

a.k. в сообщении #445945 писал(а):

Но разве с помощью подобных построений нельзя вывести нечто вроде парадокса Ришара?

Флаг Вам в руки! Выводите.

Прошу прощения за долгое отсутствие.

Согласен, конструктивная математика работает с бесконечностью, но с потенциальной и счетной! Такую я готов принять, ибо не вижу принципиальной разницы между бесконечностью и числом, равным 10000000000^10000000000: ни то, ни другое моему воображению не подвластно!

Что же касается классических теорем, то тут я с Вами не согласен. Как я за конечное (или даже за счетное) число шагов получу точную верхнюю грань произвольного ограниченного множества? Или докажу теорему о вполне упорядочении??

Что касается таких объектов, как число 5, то я позволю себе называть их реально существующими. Естественно, это абстракция, но базовая и прозрачная. Если я решал задачу о максимальной массе арбуза, который могу перекинуть через забор и получил в качестве результата число 5, я точно знаю какой арбуз купить! А вот если доказал существование точной верхней грани таких масс, что мне теперь делать!? В предыдущем посте я как раз об этом и говорил.

И еще раз позволю себе повторить вопрос про теорему Кантора. Сколько принципиально различных доказательств было дано для этой теоремы? И какой вид она имеет в ZF? Буду признателен, если кто-нибудь кинет ссылочку...

-- Чт сен 08, 2011 18:24:37 --

vek88 в сообщении #479347 писал(а):

vek88 в сообщении #479069 писал(а):

Далее у нас на очереди пункт 11 Границы числовых множеств. Мы докажем, что теорема о существовании точной верхней (нижней) грани ограниченного сверху (снизу) множества вещественных чисел имеет место и в СТМ. Однако доказательство несколько усложняется.

Опять я не прав. Доказательство этой теоремы даже упрощается. Подсказка содержится в предыдущем посте post479175.html#p479175.

Такс, это все кажется крайне странным... Ведь если выполняется теорема Дедекинда, то мы получим полное пространство. Не означает ли это, в силу теоремы Бэра, что мы снова получаем несчетное множество всех действительных чисел?? Но тогда и сама эта теорема оперирует не только со счетными множествами!

[Someone]

(a.k.)

a.k. в сообщении #481507 писал(а):

Согласен, конструктивная математика работает с бесконечностью, но с потенциальной и счетной!

"Счётной" в каком смысле? Множество конструктивных действительных чисел (КДЧ) в конструктивном смысле несчётно (в конструктивной математике, однако, говорят "неперечислимо"): существует алгоритм, который, получив на входе конструктивную последовательность КДЧ, вырабатывает КДЧ, не входящее в эту последовательность. Точно так же это делается и в классическом анализе: для произвольной последовательности действительных чисел указывается действительное число, не принадлежащее заданной последовательности.
Что касается понятий актуальной и потенциальной бесконечности, то их в математике нет, и прежде, чем Ваше утверждение приобретёт математический смысл, Вам придётся дать математические определения того и другого.

a.k. в сообщении #481507 писал(а):

Что же касается классических теорем, то тут я с Вами не согласен. Как я за конечное (или даже за счетное) число шагов получу точную верхнюю грань произвольного ограниченного множества? Или докажу теорему о вполне упорядочении??

Доказательство теоремы о вполне упорядочении в ZFC ищите в учебнике по теории множеств. В нём вполне конечное число шагов. Что касается точной верхней грани числового множества, то её за конечное число шагов можно получить не всегда, но этого ни в классической, ни в конструктивной математике никто и не делает. Теорема о существовании точной верхней грани - это "чистая" теорема существования, совершенно неконструктивная (и в конструктивной математике неверная).

a.k. в сообщении #481507 писал(а):

Что касается таких объектов, как число 5, то я позволю себе называть их реально существующими. Естественно, это абстракция, но базовая и прозрачная.

В каком смысле оно "реально существует"? По-моему, исключительно в том, что Вы пожелали это так назвать. Указать физический объект "число 5" Вы не сможете.

a.k. в сообщении #481507 писал(а):

И еще раз позволю себе повторить вопрос про теорему Кантора. Сколько принципиально различных доказательств было дано для этой теоремы? И какой вид она имеет в ZF? Буду признателен, если кто-нибудь кинет ссылочку...

Которая теорема Кантора? О несчётности множества действительных чисел? Или о том, что мощность множества подмножеств любого множества больше мощности самого множества? А почему именно в ZF? Вид обеих теорем в ZF самый обычный: множество действительных чисел несчётно, а $\left|2^A\right|>|A|$. А Вы чего ожидали? Или Вы имели в виду ещё какую-нибудь теорему? И какая разница, сколько у теоремы доказательств?