Бесконечность простых чисел-близнецов

vorvalm · 31/12/10 1555

Определение разности d дано в самом начале темы.

Sonic86 · 08/04/08 8562

vorvalm в сообщении #476272 писал(а):

Определение разности d дано в самом начале темы.

Нашел это:

vorvalm в сообщении #394187 писал(а):

а - вычет ПСВ, d - разность между вычетами,

Перевод: $d>0$ - разность $\text{ПСВ}_M \Leftrightarrow (\exists x,y \in \text{ПСВ}_M)y-x=d$ . Значит $0$ - не разность.
Тогда

vorvalm в сообщении #424222 писал(а):

Теорема 2. Число разностей d в ПСВ по модулю р
1) при условии $(p,d)=1$ определяется функцией $\varphi_2(p)$ ,
2) при условии $p\mid d$ - определяется функцией $\varphi(p)$ .
Доказательство.1)Если $(p,d)=1$ и $p>d$ , то $d=a_m$ , т.е. является вычетом ПСВ по модулю р и найдется один вычет $a_n$ , когда $a_m+a_n=p$ .Если $p<d$ , тогда $d=kp+a_m$ , $a_n+a_m+kp=p(1+k)$ и $Nd=\varphi_2(p)$ .
2)Если $p\mid d$ , то $d=kp$ и $(a+kp)$ - вычет ПСВ, т.е. все вычеты ПСВ имеют разности d и $Nd=\varphi(p)$ .

Так, ну при $p=2$ теорема 2 пункт 1) неверна, поскольку $\text{ПСВ}_2 = \{ 1\}$ - положительных разностей здесь не получишь. При $p>2$ пункт 1) верен: множество всех возможных положительных разностей, составленных из чисел $\text{ПСВ}_p = \{ 1;2;...;p-1\}$ - то множество $\{ 1;...p-2\}$ , его мощность равна $p-2 = \varphi _2(p)$ . В частности, мы видим, что $p<d$ . Из этого получается, что пункт 2 неверен, поскольку если $p|d$ , то $p \geqslant d$ , что противоречит $p<d$ , а значит число разностей 2-го типа равно 0.

Из доказательства видна какая-то смутная догадка о том, что автор вместо $\text{ПСВ}_p$ использует немного другое множество $\{ x: x\ \in \mathbb{N}, A \leqslant x \leqslant B, \text{НОД}(x,p)=1\}$ , но каковы были $A,B$ я не догадался.

vorvalm · 31/12/10 1555

Функция $\varphi_2(p)$ - для модулей р>2.
Модуль р=2 рассматривается отдельно как исключение.
Любая четная разность - взаимно простая с 1 .
Вы не совсем верно понимаете множество вычетов ПСВ(р).
Это не обязательно 1, 2, 3,......p-1
Например, 4, 5, 6,....p-1, p+1, p+2, p+3 - тоже ПСВ(р) или может быть
kp+1, tp+2, mp+3,......qp+(p-1)
В теореме 2 отдельно рассмотрен случай p<d.

Sonic86 · 08/04/08 8562

vorvalm в сообщении #476368 писал(а):

Функция $\varphi_2(p)$ - для модулей р>2.
Модуль р=2 рассматривается отдельно как исключение.
Любая четная разность - взаимно простая с 1 .

Ну это ладно, я просто для полноты картины выяснил.

vorvalm в сообщении #476368 писал(а):

Вы не совсем верно понимаете множество вычетов ПСВ(р).
Это не обязательно 1, 2, 3,......p-1
Например, 4, 5, 6,....p-1, p+1, p+2, p+3 - тоже ПСВ(р) или может быть
kp+1, tp+2, mp+3,......qp+(p-1)
В теореме 2 отдельно рассмотрен случай p<d.

Ура! Я добился!
А я же Вам писал определение ПСВ. Что ж Вы сразу не сказали, что не так.
Значит тогда так:
Множество $Q$ является $\text{ПСВ}$ по модулю $M$ $\Leftrightarrow$ $|Q| = \varphi (M)$ и отображение $f:Q \to \mathbb{Z}_M$ по правилу $q \to \bar q_M$ ( $\bar q_M$ - класс вычетов по модулю $M$ ) переводит $Q$ в $\mathbb{Z}_M^{\times}$ (мультипликативную группу вычетов по модулю $M$ ).
Еще скажите тогда сразу: условие $|Q| = \varphi (M)$ (т.е. мощность множества равна $\varphi (M)$ ) обязательно или нет? Хотя отсюда:

vorvalm в сообщении #394187 писал(а):

Число вычетов ПСВ по модулю М определяет функция Эйлера
$\varphi(M)=\prod_2^p(p-1)$

следует, что оно нужно.

Только теперь придется все заново перечитывать. Читаем.
Тогда уже здесь:

vorvalm в сообщении #394187 писал(а):

В ПСВ по модулю р или по модулю М вычеты распoложены симметрично относительно числа 0,5р или числа 0,5М, т.е. $a_{1+n}+a_{\varphi(p)-n}=p$ или $a_{1+n}+a_{\varphi(M)-n}=M$ , где (1+n)- порядковый номер вычета а.

неверно (например для $\{ 1;7;13;19\}$ - ПСВ по модулю $5$ - свойство не выполняется)
Это может быть и ладно, но тогда и

vorvalm в сообщении #394187 писал(а):

Теорема1. Число вычетов-близнецов в ПСВ по модулю $p>2$ равно $p-2=\varphi_2(p)$ .

Неверна. Контрпример - та же $\{ 1;7;13;19\}$ - ПСВ по модулю $5$ . Разница между любой парой чисел на равна 2.

vorvalm · 31/12/10 1555

У меня складывается двоякое ощущение.
С одной стороны я вижу, что вы хотите разобраться в этой теме, но сдругой стороны я чуствую себя в роли подозреваемого, а вас - в роли следователя и мне все время приходится оправдываться.
Давайте убавим менторский тон. Следователь тоже иногда задает нелепые вопросы.
Как-то, будучи студентом КАИ на экзамене по математике я ответил по билету, но преподаватель начал гонять меня по всему курсу до тех пор, пока не поймал меня на гиперболоиде. Он был так рад, ...что все-таки поставил мне 5.
Теперь по теме.
Определение ПСВ писали не вы, но Эйлер, а к вашему определению я дал приписку, что оно неоднозначно. И почему такой резкий переход к мультипликации? До нее еще далеко.
Видно, что вы давно не держали в руках Бухштаба. Основной ПСВ считается та, у которой все вычеты меньше модуля. Все другие ПСВ по этому модулю должны оговариваться особо.
У меня есть свой контр пример. ПСВ по модулю р=5: 2, 4, 6, 8. Здесь все три пары близнецов.

Jnrty · 16/01/07 1567 Северодвинск

vorvalm, Вы нарушаете правила дискуссионного раздела. Вы используете термины нестандартным образом, поэтому обязаны точно их определить, тем более, что Вас об этом просят. Если Вы этого не сделаете и будете ограничиваться отписками типа "я это определял в начале темы", переедем в Пургаторий.

vorvalm в сообщении #476368 писал(а):

Вы не совсем верно понимаете множество вычетов ПСВ(р).
Это не обязательно 1, 2, 3,......p-1
Например, 4, 5, 6,....p-1, p+1, p+2, p+3 - тоже ПСВ(р) или может быть
kp+1, tp+2, mp+3,......qp+(p-1)