2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 41  След.
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение12.06.2011, 16:46 
Модератор
Аватара пользователя


30/06/10
980
 i  Возвращено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение12.06.2011, 17:59 


31/12/10
1555
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 О разностях между вычетами ПСВ
Сообщение31.07.2011, 10:50 


31/12/10
1555
Чтобы не повторятся, мы будем использовать наработки из темы "Бесконечность простых чисел - близнецов"
Число разностей d между любыми вычетами ПСВ определяется по формуле: $Nd=A_2\varphi_2(M)$ где $A_2=\prod \frac{\varphi(p)}{\varphi_2(p)}, p\mid d$
Однако, число разностей между соседними вычетами эта формула не дает (кроме d=2 и d=4). Это связано с тем, что разности d > 4 образуются из групп n-го размера по мере роста модуля М. В ПСВ есть группы вычетов, которые имеют в своем составе максимальное число вычетов при общей разности d, т.е. имеют максимальный размер.
Такие группы мы будем назывть первообразными. Все другие группы меньшего размера с общей разностью d > 4, которые входят в состав первообразных, будем называть производными. Разность между размером первообразной группы и размером производной группы будем называть порядком производной группы. Например, группы:
C[6]=(2,4), C[6]=(4,2), D[8]=(2,4,2), D[10]=(4,2,4), E[12]=(2,4,2,4), E[12]=(4,2,4,2), F[16]=(4,2,4,2,4) - первообразные,
т.к. в ПСВ нет других групп, имеющих большее число вычетов при данной общей разности. Как и в анализе, определение первообразнех групп при достаточно большой общей разности представляет определенные трудности.
Группы C[6] имеют только одну производную группу B[6], т.е.разность между соседними вычетами d=6.
Группа F[16]=(4,2,4,2,4) имеет 4 производные группы первого порядка:
E[16]=(6,4,2,4), E[16]=(4,6,2,4), E[16]=(4,2,6,4), E[16]=(4,2,4,6). Эти группы образуются путем последовательного исключения одного вычета из состава группы F[16] с увеличением разности между вычетами при сохранении общей разности d=16.
Каждая группа Е[16] имеет свои производные группы, которые для группы F[16] будут производными второго порядка. Это 6 групп:
D[16]=(10,2,4), D[16]=(6,6,4), D[16]=(6,4,6), D[16]=(4,8,4), D[16]=(4,6,6), D[16]=(4,2,10). Далее, 4 производные группы 3-го порядка:
C[16]=(12,4), C[16]=(10,6], C[16]=(6,10), C[16]=(4,10). И, наконец, одна производная группа 4-го порядка B[16].
Таким образом, все разности между соседними вычетами при d > 4 являются производными группами различных порядков.
Число первообразных групп Q[n] - n-го размера определяется по формуле $N(Q_n)=A_n\varphi_n(M)$. При определении числа производных групп эта формула даст общее число этих групп, куда войдут: 1) собственно производные группы, 2) те же группы, но которые входят в состав других групп. Это могут быть первообразные и производные группы большего размера.
Например, если определять число разностей d=6 в ПСВ по модулю М=30 по формуле $N(6)=2\varphi_2(M)$, то получим N(6)=6. Это разности:
1--7, 7-(11)13, 11-(13)17, 13-(17)19, 17-(19)23, 23--29. Из них только две являются группами В[6] (соседние вычеты). Остальные группы С[6]=(2,4) и
C[6]=(4,2) - первообразные. Отсюда, число первых производных групп равно разности между общим числом этих групп и числом первообразных групп.

 i  Близкие темы соединены. / GAA

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение31.07.2011, 12:55 


31/12/10
1555
GAA
Весьма удивлен? Предложенная тема никакого отношения не имеет к теме" о близнецах". У К.Прахара эти темы разнесенны по разным главам. Тема " близнецов" разрабатывалась В.Бруном и А.Сельбергом, а тема" о разностях" разрабатывлась И.Хардии и Е.Литлвудом. При такой принципиальности начинаешь сомневаться...в собственной компетенции. Тема "о близнецах" сама по себе объемная и засорять ее другими темами нет никакой необходимости.
Прошу убрать тему" О разностях..." из темы "о близнецах".

 Профиль  
                  
 
 Re: О разностях между вычетами ПСВ
Сообщение13.08.2011, 09:27 


31/12/10
1555
Продолжаем тему " О разностях..."
$N(Q_{n-1})=A_{n-1}\varphi_{n-1}(M)-A_n\varphi_n(M)$ ; где n - размер первообразной группы. Для группы В[6] : $N(B[6])=2\varphi_2(M)-2\varphi_3(M)$.
При модуле М=30 $N(B[6])=6-4=2$.
Коэффициенты проходимости групп:
$D[4]=(0,4,6,10), m(3)=2,m(5)=1,K(3)=1,k(5)=2 ,\varphi_4(5)=1$ ,
$A_4=2$.

$C[3]=(0,6,10), m(3)=1,m(5)=1,K(3)=1 ,K(5)=3 ,\varphi_3(5)=2$ ,
$A_3=3/2$

$C[3]=(0,4,10) , m(3)=1 , m(5)=1 ,K(3)=1 , K(5)=3 , A_3=3/2$.

Суммарный коэффициент $A_3=3$.

$B[2]=(0,10) , m(3)=0 , m(5)=1 , K(3)=1 , K(5)=4 , \varphi_2(5)=3 , A_2=4/3$.
$N(B[10])=4/3\varphi_2-3\varphi_3+2\varphi_4$. Аргумент М опущен.
При М=210 , [math]$N(B[10])=20-24+6=2$. , при М=2310 $N(B[10])=180-192+42=30$.
Приведем формулы числа групп Bd для небольших значений d. Аргумент М опущен.
$N(B[6])=2\varphi_2-2\varphi_3$ , при M>6.
$N(B[8])=\varphi_2-2\varphi_3+\varphi_4$ , при M>6.
$N(B[10])=4/3\varphi_2-3\varphi_3+2\varphi_4$ , при M>30.
$N(B[12])=2\varphi_2-7\varphi_3+10\varphi_4-2\varphi_5$ , при M>30.
$N(B[14])=6/5\varphi_2-5\varphi_3+28/3\varphi_4-3\varphi_5$ , при M>210.
$N(B[16])=\varphi_2-5\varphi_3+12\varphi_4-6\varphi_5+\varphi_6$ , при M>30.

Очевидно, что сумма числа смежных разностей B[d] в ПСВ равна функции Эйлера $\varphi(M)=\sum_d B[d]$.
Сумма произведений d на Nd равна модулю $M=\sum_d dNd$.
Эти формулы можно использовать для проверки правильности определения разностей в ПСВ.
Пример. $M(11)=2310, \varphi(2310)=480.$
$\varphi(2310)=N(B[2])+N(B[4])+N(B[6])+N(B[8])+N(B[1]0)+N(B[12])+N(B[14])=135+135+142+28+30+8+2=480.$
$M(11)=2N(B[2])+4N(b[4])+6N(B[6])+8N(B[8])+10N(B[10])+12N(B[12])+14N(B[14])=270+540+852+224+300+96+28=2310.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение13.08.2011, 12:28 


31/12/10
1555
В предыдущем тексте пропущено несколько строк. Извиняюсь.
После $N(B[6])=6-4=2$, следует:
Аналогично определяется число вторых производных групп как разность между общим числом этих групп и числом первых производных групп.
В общем случае число групп B[d] в ПСВ по модулю М определяется по формуле:
$N(B[d])=\sum_2^n(-1)^n A_n\varphi_n(M)$, где n - размер первообразной группы,
$A_n$ - суммарные коэффициенты проходимости для всех групп одого размера.
Например, группа B[10] - вторая производная группы $D[4]=(4,2,4)$ и первая производная двух групп $C[10]=(4,6) , (6,4) $
Далее по тексту.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение18.08.2011, 19:19 
Заслуженный участник


08/04/08
8557
Буду переводить здесь, начиная с 1-го абзаца :-(
$\mathbb{P}$ - множество простых чисел.
$M(p) := \prod\limits_{q \in \mathbb{P}, q \leqslant p}q$
$\text{ПСВ}_p := \{ x \in \mathbb{N}: 1 \leqslant x \leqslant M(p), \text{НОД}(x,M(p))=1\}$
$|\text{ПСВ}_p| = \varphi (M(p))$, элементы $\text{ПСВ}_p$ можно пронумеровать по порядку числами $1,...,\varphi (M(p))$.
Все в принципе понятно до момента
vorvalm в сообщении #394187 писал(а):
Число вычетов ПСВ, имеющих близнецов, определяется функцией Эйлера второго порядка по простому модулю $\varphi_2(p)$ и по составному модулю М - $\varphi_2(M)$ (новое понятие).

Что здесь обозначено словом "близнец"? Первым делом подумалось о простом вида $p \pm 2$ для данного простого$p$. И тогда $\varphi _2 (M(p)) := |\{ (x,y): y=x+2, x,y \in \text{ПСВ}_p, x,y \in \mathbb{P}\}|$ (автор тут уже переопределяет $\text{ПСВ}_p$ на произвольные составные модули, пока это игнорируем). Однако
vorvalm в сообщении #394187 писал(а):
Теорема1. Число вычетов-близнецов в ПСВ по модулю $p>2$ равно $p-2=\varphi_2(p)$.

при таком определении близнецов явно неверна, поскольку $\text{ПСВ}_p$ содержит всего лишь $p-1$ число, а значит число всех пар $(x,x+2)$ равно $p-3$, что меньше, чем $p-2$. Соответственно, без определения слова "близнец" читать дальше бессмысленно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение18.08.2011, 20:42 


31/12/10
1555
Вычет $a_n$ , имеющий близнеца $a_n+2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение18.08.2011, 20:53 
Заслуженный участник


08/04/08
8557
vorvalm в сообщении #476139 писал(а):
Вычет $a_n$ , имеющий близнеца $a_n+2$

т.е. простота не предполагается? Но теорема 1 все равно тогда неверна:
берем $\text{ПСВ}_5 = \{ 1;2;3;4\}$ - тут 2 пары: $(1;3)$ и $(2;4)$, но в теореме сказано, что $\varphi _2(5)=5-2=3 \neq 2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение18.08.2011, 21:08 


31/12/10
1555
(4;6)- третья пара.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение19.08.2011, 06:24 
Заслуженный участник


08/04/08
8557
vorvalm в сообщении #476146 писал(а):
(4;6)- третья пара.

Но $6>5$, а мы рассматриваем ПСВ $= \{ 1;2;3;4\}$, 6 не входит в ПСВ. Сами же пишете:
vorvalm в сообщении #394187 писал(а):
Рассмотрим ПСВ по модулю $p>2$: 1, 2, 3.....(p-2),(p-1).

т.е. для $p=5$ имеем $\{ 1;2;3;4\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение19.08.2011, 08:14 


31/12/10
1555
Близнец вычета $a_n$ необязательно должен быть в данной ПСВ. Важно, что он взаимно простой с модулем. Он очевидно в другой ПСВ по этому же модулю.
Ведь и в жизни не все близнецы живут в одной квартире.
Функция Эйлера дает только число вычетов ПСВ. Определение ПСВ так же ничего не говорит о конкретном составе вычетов ПСВ. Здесь у вас полная свобода выбора в пределах определения.
Если же вы хотите, чтобы все пары близнецов были в одной ПСВ по модулю р, то нетрудно найти такую ПСВ. Я думаю, вы ее найдете сами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение19.08.2011, 10:04 
Заслуженный участник


08/04/08
8557
Так, тогда
$\varphi _2 (M(p)) := |\{ (x,y): y=x+2, x \in \text{ПСВ}_p, \text{НОД}(y,M(p)) \}|$
vorvalm в сообщении #476198 писал(а):
Определение ПСВ так же ничего не говорит о конкретном составе вычетов ПСВ.

Вообще-то нет: $\text{ПСВ}_p$ уже однозначно определено. Но пока это, вроде, неважно.

Переопределю ПСВ на произвольный модуль:
$\text{ПСВ}_M := \{ x \in \mathbb{N}: 1 \leqslant x \leqslant M, \text{НОД}(x,M)=1\}$. Старые обозначения будут теперь записываться как $\text{ПСВ}_{M(p)}$.
Определение: $b$ называется близнецом числа $a \Leftrightarrow b=a \pm 2$. В паре $(a;a+2)$ число $a$ назовем меньшим близнецом, а $a+2$ - большим.
Ну тогда теорема 1 верна:
$\varphi _2(2)=1, p>2 \Rightarrow \varphi _2(p)=p-2$

vorvalm в сообщении #394187 писал(а):
Отношение $\frac {\varphi_2(M)}M$ - средняя плотность близнецов в модуле, следовательно, число близнецов, приходящееся на интервал простых чисел будет равно:
$p^2\frac {\varphi_2(M)}M$

Насчет 1-го точнее будет сказать, что $\frac {\varphi_2(M)}{M}$ - средняя плотность меньших близнецов в $\text{ПСВ}_M$, а вторая формула является приближенной, причем ее можно использовать пока для $M=M(p)$, а не для произвольного $M$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение19.08.2011, 11:33 


31/12/10
1555
Я совершенно согласен собозначением ПСВ.
Обозначение ПСВ(р) означает, что число вычетов в этой ПСВ равно р-1, но как эти вычеты расположены относительно модуля р - неоднозначно.
Насчет определения близнецов можно подискуссировать. По-моему, близнецами надо называть вычеты, имеющие разность d=2.
Кстати, это относится и к"старшим" близнецам, которые имеют разность d=4.
Число близнецов определяется по числу меньших близнецов.
В тексте есть неточности:
у вас $\varphi_2(2)=2$, а на самом деле $\varphi_2(2)=1$,
далее, $\varphi_2(p)=\varphi(p)-1=p-2$.
Число пар близнецов и число меньших близнецов совпадают.
Формула $p^2 \varphi_2(M)/M$ записана условно. Правильнее было бы написать:
$$p_{r+1}(p_{r+1}-1)\varphi_2(M_r)/M_r$$
А в остальном я полностью согласен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение19.08.2011, 15:29 
Заслуженный участник


08/04/08
8557
vorvalm в сообщении #476224 писал(а):
Обозначение ПСВ(р) означает, что число вычетов в этой ПСВ равно р-1, но как эти вычеты расположены относительно модуля р - неоднозначно.

Нет. Вы кажется просто опять смешиваете понятия. Я потом при необходимости разделю.
vorvalm в сообщении #476224 писал(а):
у вас $\varphi_2(2)=2$, а на самом деле $\varphi_2(2)=1$,

ой! Сейчас исправлю. upd: исправил.

Так, дальше:
vorvalm в сообщении #424222 писал(а):
Теорема 2. Число разностей d в ПСВ по модулю р

Поскольку любое число является разностью в обычном смысле, значит слово "разность" употребляется здесь в необычном смысле, значит термин не определен.
Определите, пожалуйста, строго + учитывая Ваш опыт написания текстов прошу привести эмпирический пример, - так станет понятнее.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 608 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 41  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group