2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 41  След.
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение19.08.2011, 16:11 


31/12/10
1555
Определение разности d дано в самом начале темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение19.08.2011, 19:55 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
vorvalm в сообщении #476272 писал(а):
Определение разности d дано в самом начале темы.

Нашел это:
vorvalm в сообщении #394187 писал(а):
а - вычет ПСВ, d - разность между вычетами,

Перевод: $d>0$ - разность $\text{ПСВ}_M \Leftrightarrow (\exists x,y \in \text{ПСВ}_M)y-x=d$. Значит $0$ - не разность.
Тогда
vorvalm в сообщении #424222 писал(а):
Теорема 2. Число разностей d в ПСВ по модулю р
1) при условии $(p,d)=1$ определяется функцией $\varphi_2(p)$,
2) при условии $p\mid d$ - определяется функцией $\varphi(p)$.
Доказательство.1)Если $(p,d)=1$ и $p>d$, то $d=a_m$, т.е. является вычетом ПСВ по модулю р и найдется один вычет $a_n$, когда $a_m+a_n=p$.Если $p<d$, тогда $d=kp+a_m$ , $a_n+a_m+kp=p(1+k)$ и $Nd=\varphi_2(p)$.
2)Если $p\mid d$, то $d=kp$ и $(a+kp)$ - вычет ПСВ, т.е. все вычеты ПСВ имеют разности d и $Nd=\varphi(p)$.

Так, ну при $p=2$ теорема 2 пункт 1) неверна, поскольку $\text{ПСВ}_2 = \{ 1\}$ - положительных разностей здесь не получишь. При $p>2$ пункт 1) верен: множество всех возможных положительных разностей, составленных из чисел $\text{ПСВ}_p = \{ 1;2;...;p-1\}$ - то множество $\{ 1;...p-2\}$, его мощность равна $p-2 = \varphi _2(p)$. В частности, мы видим, что $p<d$. Из этого получается, что пункт 2 неверен, поскольку если $p|d$, то $p \geqslant d$, что противоречит $p<d$, а значит число разностей 2-го типа равно 0.

Из доказательства видна какая-то смутная догадка о том, что автор вместо $\text{ПСВ}_p$ использует немного другое множество $\{ x: x\ \in \mathbb{N}, A \leqslant x \leqslant B, \text{НОД}(x,p)=1\}$, но каковы были $A,B$ я не догадался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение20.08.2011, 08:30 


31/12/10
1555
Функция $\varphi_2(p)$ - для модулей р>2.
Модуль р=2 рассматривается отдельно как исключение.
Любая четная разность - взаимно простая с 1 .
Вы не совсем верно понимаете множество вычетов ПСВ(р).
Это не обязательно 1, 2, 3,......p-1
Например, 4, 5, 6,....p-1, p+1, p+2, p+3 - тоже ПСВ(р) или может быть
kp+1, tp+2, mp+3,......qp+(p-1)
В теореме 2 отдельно рассмотрен случай p<d.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение20.08.2011, 09:58 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
vorvalm в сообщении #476368 писал(а):
Функция $\varphi_2(p)$ - для модулей р>2.
Модуль р=2 рассматривается отдельно как исключение.
Любая четная разность - взаимно простая с 1 .

Ну это ладно, я просто для полноты картины выяснил.
vorvalm в сообщении #476368 писал(а):
Вы не совсем верно понимаете множество вычетов ПСВ(р).
Это не обязательно 1, 2, 3,......p-1
Например, 4, 5, 6,....p-1, p+1, p+2, p+3 - тоже ПСВ(р) или может быть
kp+1, tp+2, mp+3,......qp+(p-1)
В теореме 2 отдельно рассмотрен случай p<d.

Ура! Я добился!
А я же Вам писал определение ПСВ. Что ж Вы сразу не сказали, что не так.
Значит тогда так:
Множество $Q$ является $\text{ПСВ}$ по модулю $M$ $\Leftrightarrow$ $|Q| = \varphi (M)$ и отображение $f:Q \to \mathbb{Z}_M$ по правилу $q \to \bar q_M$ ($\bar q_M$ - класс вычетов по модулю $M$) переводит $Q$ в $\mathbb{Z}_M^{\times}$ (мультипликативную группу вычетов по модулю $M$).
Еще скажите тогда сразу: условие $|Q| = \varphi (M)$ (т.е. мощность множества равна $\varphi (M)$) обязательно или нет? Хотя отсюда:
vorvalm в сообщении #394187 писал(а):
Число вычетов ПСВ по модулю М определяет функция Эйлера
$\varphi(M)=\prod_2^p(p-1)$

следует, что оно нужно.

Только теперь придется все заново перечитывать. Читаем.
Тогда уже здесь:
vorvalm в сообщении #394187 писал(а):
В ПСВ по модулю р или по модулю М вычеты распoложены симметрично относительно числа 0,5р или числа 0,5М, т.е. $a_{1+n}+a_{\varphi(p)-n}=p$ или $a_{1+n}+a_{\varphi(M)-n}=M$, где (1+n)- порядковый номер вычета а.

неверно (например для $\{ 1;7;13;19\}$ - ПСВ по модулю $5$ - свойство не выполняется)
Это может быть и ладно, но тогда и
vorvalm в сообщении #394187 писал(а):
Теорема1. Число вычетов-близнецов в ПСВ по модулю $p>2$ равно $p-2=\varphi_2(p)$.

Неверна. Контрпример - та же $\{ 1;7;13;19\}$ - ПСВ по модулю $5$. Разница между любой парой чисел на равна 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение20.08.2011, 12:02 


31/12/10
1555
У меня складывается двоякое ощущение.
С одной стороны я вижу, что вы хотите разобраться в этой теме, но сдругой стороны я чуствую себя в роли подозреваемого, а вас - в роли следователя и мне все время приходится оправдываться.
Давайте убавим менторский тон. Следователь тоже иногда задает нелепые вопросы.
Как-то, будучи студентом КАИ на экзамене по математике я ответил по билету, но преподаватель начал гонять меня по всему курсу до тех пор, пока не поймал меня на гиперболоиде. Он был так рад, ...что все-таки поставил мне 5.
Теперь по теме.
Определение ПСВ писали не вы, но Эйлер, а к вашему определению я дал приписку, что оно неоднозначно. И почему такой резкий переход к мультипликации? До нее еще далеко.
Видно, что вы давно не держали в руках Бухштаба. Основной ПСВ считается та, у которой все вычеты меньше модуля. Все другие ПСВ по этому модулю должны оговариваться особо.
У меня есть свой контр пример. ПСВ по модулю р=5: 2, 4, 6, 8. Здесь все три пары близнецов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение20.08.2011, 12:40 
Модератор


16/01/07
1567
Северодвинск
vorvalm, Вы нарушаете правила дискуссионного раздела. Вы используете термины нестандартным образом, поэтому обязаны точно их определить, тем более, что Вас об этом просят. Если Вы этого не сделаете и будете ограничиваться отписками типа "я это определял в начале темы", переедем в Пургаторий.

vorvalm в сообщении #476368 писал(а):
Вы не совсем верно понимаете множество вычетов ПСВ(р).
Это не обязательно 1, 2, 3,......p-1
Например, 4, 5, 6,....p-1, p+1, p+2, p+3 - тоже ПСВ(р) или может быть
kp+1, tp+2, mp+3,......qp+(p-1)
vorvalm в сообщении #476445 писал(а):
Основной ПСВ считается та, у которой все вычеты меньше модуля. Все другие ПСВ по этому модулю должны оговариваться особо.
Так в каком же смысле Вы употребляете этот термин?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение20.08.2011, 13:19 
Заслуженный участник


08/04/08
8560

(Оффтоп)

vorvalm в сообщении #476445 писал(а):
Как-то, будучи студентом КАИ на экзамене по математике я ответил по билету, но преподаватель начал гонять меня по всему курсу до тех пор, пока не поймал меня на гиперболоиде. Он был так рад, ...что все-таки поставил мне 5.

:lol1: прикольно
vorvalm в сообщении #476445 писал(а):
У меня складывается двоякое ощущение.
С одной стороны я вижу, что вы хотите разобраться в этой теме, но сдругой стороны я чуствую себя в роли подозреваемого, а вас - в роли следователя и мне все время приходится оправдываться.
Давайте убавим менторский тон. Следователь тоже иногда задает нелепые вопросы.

Ну Вы же сами виноваты. Я же Вам одно и тоже пишу: определяйте понятия точно, ничего же понять нельзя в тексте. Мне кажется, что Вы незнакомы с языком теории множеств - я бы Вам очень советовал с ним познакомится - Вам бы и читателям Ваших постов стало бы гораздо легче. И еще хоть чуть-чуть с формальной логикой.
Вдобавок, желателен формальный вывод, иначе точность и смысл по ходу текста теряются.
Насчет эмоций я не знаю - здесь их удобно игнорировать, способ изложения мыслей (в виде фиксированного текста без интонации) этому способствует.

vorvalm в сообщении #476445 писал(а):
Определение ПСВ писали не вы, но Эйлер, а к вашему определению я дал приписку, что оно неоднозначно.

Я здесь определений не пишу, я пытаюсь угадать, что Вы имели ввиду.
Что такое "неоднозначное определение"?
vorvalm в сообщении #476445 писал(а):
У меня есть свой контр пример. ПСВ по модулю р=5: 2, 4, 6, 8. Здесь все три пары близнецов.

Вы шутите? Вы разве не знаете, что такое "контрпример". Контрпример может быть построен к утверждениям вида $(\forall x )P(x)$. А к утверждениям вида $\neg (\forall x )P(x) \equiv (\exists x) \neg P(x)$ не может быть построен в принципе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение20.08.2011, 15:37 


31/12/10
1555
Господа, это похоже на обструкцию.
Intry
Все основные термины, которые применяются в теме как правило обозначаются в начале темы.
Термин ПСВ - приведенная система вычетов дан в начале темы.
По Бухштабу такая ПСВ(основная) состоит из полжительных вычетов меньше модуля.
Но могут применяться и другие ПСВ, которые отличаются расположением вычетов от основной.
Тогда необходимо специальное пояснение о том, как расположены вычеты в этой ПСВ.
Если нет никаких пояснений, то ПСВ - основная.
Неужели это надо было указать в начале темы?
Sonic86
Слово "неоднозначно" относится не к определению ПСВ, а к раположению вычетов в ПСВ.
Насчет контр примера - конечно шутка. Я уважаю чувство юмора. Просто я хотел показать, что есть такие ПСВ, где все близнецы находятся среди вычетов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение20.08.2011, 19:58 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
vorvalm в сообщении #476539 писал(а):
Господа, это похоже на обструкцию.

Ничего подобного. Вы разве не знаете, что дает использование многосмысленных понятий в доказательстве?
vorvalm в сообщении #476539 писал(а):
Sonic86
Слово "неоднозначно" относится не к определению ПСВ, а к раположению вычетов в ПСВ.
Насчет контр примера - конечно шутка. Я уважаю чувство юмора. Просто я хотел показать, что есть такие ПСВ, где все близнецы находятся среди вычетов.

Шутки шутками, а теорема 1-то неверна получилась :roll: Или шутка важнее теоремы была?
Кратко заново: у Вас косяк в определении ПСВ. Если под $\text{ПСВ}_p$ понимать $\{ 1;2;...;p-1\}$, то теорема 2 пункт 2) неверен, а если под $\text{ПСВ}_p$ понимать произвольное подмножество множества целых чисел мощности $p-1$, являющимся приведенной системой вычетов по модулю $p$, то теорема 1 неверна.
Это не формальные придирки. Я Вам из Вашего "определения" смогу доказать в 3 строчки ВТФ, ГР, $P=NP$ и $P \neq NP$ и еще много чего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение20.08.2011, 20:45 


31/12/10
1555
Sonic86
Я извиняюсь, но у меня образовалось "окно". Еду отдыхать. Дней через 10 вернусь и все объясню.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение31.08.2011, 10:46 


31/12/10
1555
"Шаг вперед, два шага назад" Ленин.

Вернемся к истокам.
По Бухштабу полная система (ПС) вычетов по простому модулю р образуется из вычетов, взятых по одному из каждого класса по модулю р. Число их равно р.
Наименьшие натуралные вычеты ПС по модулю р: 1, 2, 3, .....р - 1, р.
Вопрос. Сколько чисел в этой системе взаимно простых с модулем?
Из всех вычетов ПС только один р не взаимно простой с модулем р.
Отсюда число таких чисел рвано р - 1. Это и есть ПСВ по модулю р.
За основную ПСВ принимакют ту, у которой натуральные вычеты меньше модуля.
Теперь переходим к более высокому порядку сортировки вычетов ПСВ.
Вопрс. Сколько чисел $a + d $ взаимно простых с модулем р и взаимно несравнимых по модулю, где а - вычет ПСВ, d - четное число ( разность $a + d - a = d$).
Очевидно, что при нечетном d при $p = 2$ таких чисел нет.
Оказывается, что число чисел $a + d$ зависит от разности d.
Если (p,d)=1, то число таких чисел равно $p-2=\varphi_2(p)$ (теорема 2/1)
Если p\d, то число этих чисел равно $p-1=\varphi(p)$ (теорема 2/2).
Все эти числа образуют свою ПСВ(p/d), вычеты которой отличаются от соответствующих вычетов исходной ПСВ(р) на величину d. Они могут совпадать с вычетами исходной ПСВ, но могут и не совпадать (очевидно при $(a+d)>p$). Обозначение ПСВ(p/d) - ПСВ по модулю р с разностью d.
Функциям $\varphi(p)$ и $\varphi_2(p)$ совершенно безразлично, какую ПСВ вы берете за исходную. Они однозначно дают число вычетов ПСВ(p/d): р - 1 или р - 2 соответственно.
Примеры:
1) ПСВ(5): 1, 2, 3, 4; при $d=2$ , ПСВ(5/2): 3, 4, 6. Вычеты 3, 4 совпадают. При $d=6$ , ПСВ(5/6): 7, 8, 9. При $d=10$ , ПСВ(5/10): 11, 12, 13, 14. Вычеты не совпадают.
2) ПСВ(5): 1, 7, 13, 19; при $d=2$ , ПСВ(5/2): 3, 9, 21. При $d=10$ , ПСВ(5/10): 11, 17, 23, 29.
3) ПСВ(5): 2, 4, 6, 8; при $d=2$ , ПСВ(5/2): 4, 6, 8. Все вычеты совпадают. При $d=6$ , ПСВ(5/6): 8, 12, 14. При $d=10$ , ПСВ(5/10): 12, 14, 16, 18. Вычеты не совпадают, т.к.$ (a+d)>p$.
И так будет в любой ПСВ по любому простому модулю.
Вопрос. К какой системе отнести разность d ? Естественно к исходной, т.к. система вычетов $a+d $ производная.
Теорему 1 можно было и не доказывать, т.к. она является следствием теоремы 2, но она была нужна для вывода формулы $p_{r+1}(p_{r+1}+1)\varphi_2(M)/M$.
Кстати, для ПСВ по нечетным модулям можно брать и нечетные разности d, в частности $d=1$, причем формулы для определения их числа те же самые.
Например, ПСВ(15): 1,2, 4, 7,8, 11, 13,14; при d=1 получим : 2, 8, 14. Все вычеты совпадают.
Только никак не могу найти ей сферу применения

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение31.08.2011, 17:35 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
vorvalm в сообщении #479179 писал(а):
Если (p,d)=1, то число таких чисел равно $p-2=\varphi_2(p)$ (теорема 2/1)

Перевод: для любого множества $Q$ и целого $d$ если $Q$ является ПСВ по модулю $p$ и $\text{НОД}(p,d)=1$, то мощность множества $\{ x: x=a+d, a \in Q, \text{НОД}(p,x)=1 \}$ равна $\varphi _2(p)=p-2$. Верно.
vorvalm в сообщении #479179 писал(а):
Кстати, для ПСВ по нечетным модулям можно брать и нечетные разности d, в частности $d=1$, причем формулы для определения их числа те же самые.

четность $d$ и $p>2$ не понадобились тоже. Для $p=2$ и нечетных $d$ мощность будет равна нулю (ну и ладно), а для нечетных $p$ число $d$ также может быть нечетным.
vorvalm в сообщении #479179 писал(а):
Если p\d, то число этих чисел равно $p-1=\varphi(p)$ (теорема 2/2).

Перевод: для любого множества $Q$ и целого $d$ если $Q$ является ПСВ по модулю $p$ и $p|d$, то мощность множества $\{ x: x=a+d, a \in Q, \text{НОД}(p,x)=1 \}$ равна $\varphi (p)=p-1$. Верно.
vorvalm в сообщении #479179 писал(а):
Все эти числа образуют свою ПСВ(p/d), вычеты которой отличаются от соответствующих вычетов исходной ПСВ(р) на величину d. Они могут совпадать с вычетами исходной ПСВ, но могут и не совпадать (очевидно при $(a+d)>p$). Обозначение ПСВ(p/d) - ПСВ по модулю р с разностью d.

Используйте лучше общепринятую символику: $\text{ПСВ}(p,d)$ - как функцию от пары $(p,d)$, знак $x/y$ используется для обозначения частного от деления $x$ на $y$.
То, что Вы обозначили $\text{ПСВ}(p/d)$ будет ПСВ лишь при $p|d$, а иначе одного вычета будет недоставать ($\varphi _2(p)<\varphi (p)$). Пример: $\{ 1\}$ не является ПСВ по модулю $3$.
Ну пока это вроде нигде не использовалось. Можно пока это не трогать.

Остальной текст я пока тоже не трогаю. Идем дальше.
vorvalm в сообщении #424222 писал(а):
Теорема 3. Функция Эйлера 2-го порядка мультипликативная. т.е.
$\varphi_2(p_rp_s)=\varphi_2(p_r)\varphi_2(p_s)=(p_r-2)(p_s-2)$ (Бухштаб,теоремы 112,114)

Верно, только
vorvalm в сообщении #424222 писал(а):
$p_rs_j+p_sr_i$ образуют ПСВ по модулю $m=p_rp_s$.

ПСВ они не образуют (лишь ее подмножество). Но это дальше не используется.
Могли бы тогда и общую формулу выписать:
$n>1 \Rightarrow \varphi _2 (n)=n \prod\limits_{p|n} \left( 1- \frac{2}{p}\right)$.
И что такое "близнец" я понял. Для $Q$, являющейся ПСВ по модулю $m$, $a \in Q$ и целого $d: \text{НОД}(d,m)$ близнецом $b(Q,a,d)$ называется число $a+d$ такое, что $\text{НОД}(a+d,m)$ (если такого числа не существует, значит говорим, что близнеца не существует).

vorvalm в сообщении #447484 писал(а):
Теорема 4. Число любых четных разностей d в ПСВ по модулю М выражается
функцией Эйлера 2-го порядка с коэффициентом $A_2$.
$Nd=A_2\varphi_2(M)$ где $A_2=\prod \frac {\varphi(p_s)}{\varphi_2(p_s)}$ , $p_s \mid d,M$

Это я понял так: $Nd:=Nd(M,d) = \varphi_2(M) \prod\limits_{p| \text{НОД}(d,M)} \frac {\varphi(p)}{\varphi_2(p)}$ (считаем, что знаменатель ненулевой). В частности, при $\text{НОД}(M,d)=1$ получаем $Nd(M,d) = \varphi_2(M)$ (общая формула теперь выше есть, хотя у автора вроде $M$ свободно от квадратов) и по последней формуле получаем $Nd(15,2) = \varphi_2(15) = (5-2)(3-2)=3$.
Однако, мультимножество всех положительных разностей всех элементов множества $\{ 1,2,4,7,8,11,13,14\}$, являющимся основной ПСВ по модулю $15$ имеет вид $[ 1,1,1,2,2,3,3,3,3,4,4,5,5,6,6,6,6,7,7,7,9,9,10,10,11,12,12,13]$ - там всего 2 числа $d=2$, а не 3.
Так что теорема 4 неверна :roll: Здесь только если как-то разности по модулю брать, то может получится верно (для $d=2, M=15$ 3-я разность - это разность между $16$ и $14$, где $16 \equiv 1 \pmod{15}$). Пусть автор уточняет, что за разности (если получится).

-- Ср авг 31, 2011 14:56:01 --

Sonic86 в сообщении #479294 писал(а):
Так что теорема 4 неверна :roll:

А хотя я понял: $Q$ - ПСВ по модулю $M$, значит $Nd(M,d) = \{ x:x=a+d, a \in Q, \text{НОД}(x,M)=1\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение31.08.2011, 20:08 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
vorvalm в сообщении #447484 писал(а):
Определение 1. Группа вычетов ПСВ - конечная совокупность последовательных или непоследовательных вычетов ПСВ, следующих друг за другом в порядке их возрастания.

Вот это я понимать отказываюсь. В таком виде группа вычетов ПСВ - это просто ПСВ, поскольку "Х - последовательный или непоследовательный вычет" $\Leftrightarrow$ "Х - вычет". Пишите определение нормально или поясняйте на примерах, если не можете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение01.09.2011, 08:10 


31/12/10
1555
Sonic86
Я весьма благодарен вам за детальный и аргументированный разбор моего сообщения
и особенно за перевод моего текста на язык математической логики. Это здорово!
В основном я согласен с вашими замечаниями и приму их к сведению.
В отношении определения группы вычетов вы все правильно поняли. Если число вычетов ПСВ
равно числу вычетов в группе, то это и будет группа вычетов $\varphi(M)$ - го размера.
Но в данной теме будут применяться группы максимум 4-го размера, т.е. состоящие их 4-х вычетов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение01.09.2011, 17:25 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
vorvalm в сообщении #479437 писал(а):
Я весьма благодарен вам за детальный и аргументированный разбор моего сообщения
и особенно за перевод моего текста на язык математической логики. Это здорово!
В основном я согласен с вашими замечаниями и приму их к сведению.

Не ну просто иначе непонятно.
vorvalm в сообщении #479437 писал(а):
В отношении определения группы вычетов вы все правильно поняли.

Так я не понял ничего :-) Формально вышло, что определение излишне (так не должно быть); приведите пример, я может и пойму дальше.
Или Вы под группой вычетов меете ввиду произвольное подмножество множества, являющегося ПСВ по модулю?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 608 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 41  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group