2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 41  След.
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение19.08.2011, 16:11 


31/12/10
1555
Определение разности d дано в самом начале темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение19.08.2011, 19:55 
Заслуженный участник


08/04/08
8558
vorvalm в сообщении #476272 писал(а):
Определение разности d дано в самом начале темы.

Нашел это:
vorvalm в сообщении #394187 писал(а):
а - вычет ПСВ, d - разность между вычетами,

Перевод: $d>0$ - разность $\text{ПСВ}_M \Leftrightarrow (\exists x,y \in \text{ПСВ}_M)y-x=d$. Значит $0$ - не разность.
Тогда
vorvalm в сообщении #424222 писал(а):
Теорема 2. Число разностей d в ПСВ по модулю р
1) при условии $(p,d)=1$ определяется функцией $\varphi_2(p)$,
2) при условии $p\mid d$ - определяется функцией $\varphi(p)$.
Доказательство.1)Если $(p,d)=1$ и $p>d$, то $d=a_m$, т.е. является вычетом ПСВ по модулю р и найдется один вычет $a_n$, когда $a_m+a_n=p$.Если $p<d$, тогда $d=kp+a_m$ , $a_n+a_m+kp=p(1+k)$ и $Nd=\varphi_2(p)$.
2)Если $p\mid d$, то $d=kp$ и $(a+kp)$ - вычет ПСВ, т.е. все вычеты ПСВ имеют разности d и $Nd=\varphi(p)$.

Так, ну при $p=2$ теорема 2 пункт 1) неверна, поскольку $\text{ПСВ}_2 = \{ 1\}$ - положительных разностей здесь не получишь. При $p>2$ пункт 1) верен: множество всех возможных положительных разностей, составленных из чисел $\text{ПСВ}_p = \{ 1;2;...;p-1\}$ - то множество $\{ 1;...p-2\}$, его мощность равна $p-2 = \varphi _2(p)$. В частности, мы видим, что $p<d$. Из этого получается, что пункт 2 неверен, поскольку если $p|d$, то $p \geqslant d$, что противоречит $p<d$, а значит число разностей 2-го типа равно 0.

Из доказательства видна какая-то смутная догадка о том, что автор вместо $\text{ПСВ}_p$ использует немного другое множество $\{ x: x\ \in \mathbb{N}, A \leqslant x \leqslant B, \text{НОД}(x,p)=1\}$, но каковы были $A,B$ я не догадался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение20.08.2011, 08:30 


31/12/10
1555
Функция $\varphi_2(p)$ - для модулей р>2.
Модуль р=2 рассматривается отдельно как исключение.
Любая четная разность - взаимно простая с 1 .
Вы не совсем верно понимаете множество вычетов ПСВ(р).
Это не обязательно 1, 2, 3,......p-1
Например, 4, 5, 6,....p-1, p+1, p+2, p+3 - тоже ПСВ(р) или может быть
kp+1, tp+2, mp+3,......qp+(p-1)
В теореме 2 отдельно рассмотрен случай p<d.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение20.08.2011, 09:58 
Заслуженный участник


08/04/08
8558
vorvalm в сообщении #476368 писал(а):
Функция $\varphi_2(p)$ - для модулей р>2.
Модуль р=2 рассматривается отдельно как исключение.
Любая четная разность - взаимно простая с 1 .

Ну это ладно, я просто для полноты картины выяснил.
vorvalm в сообщении #476368 писал(а):
Вы не совсем верно понимаете множество вычетов ПСВ(р).
Это не обязательно 1, 2, 3,......p-1
Например, 4, 5, 6,....p-1, p+1, p+2, p+3 - тоже ПСВ(р) или может быть
kp+1, tp+2, mp+3,......qp+(p-1)
В теореме 2 отдельно рассмотрен случай p<d.

Ура! Я добился!
А я же Вам писал определение ПСВ. Что ж Вы сразу не сказали, что не так.
Значит тогда так:
Множество $Q$ является $\text{ПСВ}$ по модулю $M$ $\Leftrightarrow$ $|Q| = \varphi (M)$ и отображение $f:Q \to \mathbb{Z}_M$ по правилу $q \to \bar q_M$ ($\bar q_M$ - класс вычетов по модулю $M$) переводит $Q$ в $\mathbb{Z}_M^{\times}$ (мультипликативную группу вычетов по модулю $M$).
Еще скажите тогда сразу: условие $|Q| = \varphi (M)$ (т.е. мощность множества равна $\varphi (M)$) обязательно или нет? Хотя отсюда:
vorvalm в сообщении #394187 писал(а):
Число вычетов ПСВ по модулю М определяет функция Эйлера
$\varphi(M)=\prod_2^p(p-1)$

следует, что оно нужно.

Только теперь придется все заново перечитывать. Читаем.
Тогда уже здесь:
vorvalm в сообщении #394187 писал(а):
В ПСВ по модулю р или по модулю М вычеты распoложены симметрично относительно числа 0,5р или числа 0,5М, т.е. $a_{1+n}+a_{\varphi(p)-n}=p$ или $a_{1+n}+a_{\varphi(M)-n}=M$, где (1+n)- порядковый номер вычета а.

неверно (например для $\{ 1;7;13;19\}$ - ПСВ по модулю $5$ - свойство не выполняется)
Это может быть и ладно, но тогда и
vorvalm в сообщении #394187 писал(а):
Теорема1. Число вычетов-близнецов в ПСВ по модулю $p>2$ равно $p-2=\varphi_2(p)$.

Неверна. Контрпример - та же $\{ 1;7;13;19\}$ - ПСВ по модулю $5$. Разница между любой парой чисел на равна 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение20.08.2011, 12:02 


31/12/10
1555
У меня складывается двоякое ощущение.
С одной стороны я вижу, что вы хотите разобраться в этой теме, но сдругой стороны я чуствую себя в роли подозреваемого, а вас - в роли следователя и мне все время приходится оправдываться.
Давайте убавим менторский тон. Следователь тоже иногда задает нелепые вопросы.
Как-то, будучи студентом КАИ на экзамене по математике я ответил по билету, но преподаватель начал гонять меня по всему курсу до тех пор, пока не поймал меня на гиперболоиде. Он был так рад, ...что все-таки поставил мне 5.
Теперь по теме.
Определение ПСВ писали не вы, но Эйлер, а к вашему определению я дал приписку, что оно неоднозначно. И почему такой резкий переход к мультипликации? До нее еще далеко.
Видно, что вы давно не держали в руках Бухштаба. Основной ПСВ считается та, у которой все вычеты меньше модуля. Все другие ПСВ по этому модулю должны оговариваться особо.
У меня есть свой контр пример. ПСВ по модулю р=5: 2, 4, 6, 8. Здесь все три пары близнецов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение20.08.2011, 12:40 
Модератор


16/01/07
1567
Северодвинск
vorvalm, Вы нарушаете правила дискуссионного раздела. Вы используете термины нестандартным образом, поэтому обязаны точно их определить, тем более, что Вас об этом просят. Если Вы этого не сделаете и будете ограничиваться отписками типа "я это определял в начале темы", переедем в Пургаторий.

vorvalm в сообщении #476368 писал(а):
Вы не совсем верно понимаете множество вычетов ПСВ(р).
Это не обязательно 1, 2, 3,......p-1
Например, 4, 5, 6,....p-1, p+1, p+2, p+3 - тоже ПСВ(р) или может быть
kp+1, tp+2, mp+3,......qp+(p-1)
vorvalm в сообщении #476445 писал(а):
Основной ПСВ считается та, у которой все вычеты меньше модуля. Все другие ПСВ по этому модулю должны оговариваться особо.
Так в каком же смысле Вы употребляете этот термин?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение20.08.2011, 13:19 
Заслуженный участник


08/04/08
8558

(Оффтоп)

vorvalm в сообщении #476445 писал(а):
Как-то, будучи студентом КАИ на экзамене по математике я ответил по билету, но преподаватель начал гонять меня по всему курсу до тех пор, пока не поймал меня на гиперболоиде. Он был так рад, ...что все-таки поставил мне 5.

:lol1: прикольно
vorvalm в сообщении #476445 писал(а):
У меня складывается двоякое ощущение.
С одной стороны я вижу, что вы хотите разобраться в этой теме, но сдругой стороны я чуствую себя в роли подозреваемого, а вас - в роли следователя и мне все время приходится оправдываться.
Давайте убавим менторский тон. Следователь тоже иногда задает нелепые вопросы.

Ну Вы же сами виноваты. Я же Вам одно и тоже пишу: определяйте понятия точно, ничего же понять нельзя в тексте. Мне кажется, что Вы незнакомы с языком теории множеств - я бы Вам очень советовал с ним познакомится - Вам бы и читателям Ваших постов стало бы гораздо легче. И еще хоть чуть-чуть с формальной логикой.
Вдобавок, желателен формальный вывод, иначе точность и смысл по ходу текста теряются.
Насчет эмоций я не знаю - здесь их удобно игнорировать, способ изложения мыслей (в виде фиксированного текста без интонации) этому способствует.

vorvalm в сообщении #476445 писал(а):
Определение ПСВ писали не вы, но Эйлер, а к вашему определению я дал приписку, что оно неоднозначно.

Я здесь определений не пишу, я пытаюсь угадать, что Вы имели ввиду.
Что такое "неоднозначное определение"?
vorvalm в сообщении #476445 писал(а):
У меня есть свой контр пример. ПСВ по модулю р=5: 2, 4, 6, 8. Здесь все три пары близнецов.

Вы шутите? Вы разве не знаете, что такое "контрпример". Контрпример может быть построен к утверждениям вида $(\forall x )P(x)$. А к утверждениям вида $\neg (\forall x )P(x) \equiv (\exists x) \neg P(x)$ не может быть построен в принципе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение20.08.2011, 15:37 


31/12/10
1555
Господа, это похоже на обструкцию.
Intry
Все основные термины, которые применяются в теме как правило обозначаются в начале темы.
Термин ПСВ - приведенная система вычетов дан в начале темы.
По Бухштабу такая ПСВ(основная) состоит из полжительных вычетов меньше модуля.
Но могут применяться и другие ПСВ, которые отличаются расположением вычетов от основной.
Тогда необходимо специальное пояснение о том, как расположены вычеты в этой ПСВ.
Если нет никаких пояснений, то ПСВ - основная.
Неужели это надо было указать в начале темы?
Sonic86
Слово "неоднозначно" относится не к определению ПСВ, а к раположению вычетов в ПСВ.
Насчет контр примера - конечно шутка. Я уважаю чувство юмора. Просто я хотел показать, что есть такие ПСВ, где все близнецы находятся среди вычетов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение20.08.2011, 19:58 
Заслуженный участник


08/04/08
8558
vorvalm в сообщении #476539 писал(а):
Господа, это похоже на обструкцию.

Ничего подобного. Вы разве не знаете, что дает использование многосмысленных понятий в доказательстве?
vorvalm в сообщении #476539 писал(а):
Sonic86
Слово "неоднозначно" относится не к определению ПСВ, а к раположению вычетов в ПСВ.
Насчет контр примера - конечно шутка. Я уважаю чувство юмора. Просто я хотел показать, что есть такие ПСВ, где все близнецы находятся среди вычетов.

Шутки шутками, а теорема 1-то неверна получилась :roll: Или шутка важнее теоремы была?
Кратко заново: у Вас косяк в определении ПСВ. Если под $\text{ПСВ}_p$ понимать $\{ 1;2;...;p-1\}$, то теорема 2 пункт 2) неверен, а если под $\text{ПСВ}_p$ понимать произвольное подмножество множества целых чисел мощности $p-1$, являющимся приведенной системой вычетов по модулю $p$, то теорема 1 неверна.
Это не формальные придирки. Я Вам из Вашего "определения" смогу доказать в 3 строчки ВТФ, ГР, $P=NP$ и $P \neq NP$ и еще много чего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение20.08.2011, 20:45 


31/12/10
1555
Sonic86
Я извиняюсь, но у меня образовалось "окно". Еду отдыхать. Дней через 10 вернусь и все объясню.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение31.08.2011, 10:46 


31/12/10
1555
"Шаг вперед, два шага назад" Ленин.

Вернемся к истокам.
По Бухштабу полная система (ПС) вычетов по простому модулю р образуется из вычетов, взятых по одному из каждого класса по модулю р. Число их равно р.
Наименьшие натуралные вычеты ПС по модулю р: 1, 2, 3, .....р - 1, р.
Вопрос. Сколько чисел в этой системе взаимно простых с модулем?
Из всех вычетов ПС только один р не взаимно простой с модулем р.
Отсюда число таких чисел рвано р - 1. Это и есть ПСВ по модулю р.
За основную ПСВ принимакют ту, у которой натуральные вычеты меньше модуля.
Теперь переходим к более высокому порядку сортировки вычетов ПСВ.
Вопрс. Сколько чисел $a + d $ взаимно простых с модулем р и взаимно несравнимых по модулю, где а - вычет ПСВ, d - четное число ( разность $a + d - a = d$).
Очевидно, что при нечетном d при $p = 2$ таких чисел нет.
Оказывается, что число чисел $a + d$ зависит от разности d.
Если (p,d)=1, то число таких чисел равно $p-2=\varphi_2(p)$ (теорема 2/1)
Если p\d, то число этих чисел равно $p-1=\varphi(p)$ (теорема 2/2).
Все эти числа образуют свою ПСВ(p/d), вычеты которой отличаются от соответствующих вычетов исходной ПСВ(р) на величину d. Они могут совпадать с вычетами исходной ПСВ, но могут и не совпадать (очевидно при $(a+d)>p$). Обозначение ПСВ(p/d) - ПСВ по модулю р с разностью d.
Функциям $\varphi(p)$ и $\varphi_2(p)$ совершенно безразлично, какую ПСВ вы берете за исходную. Они однозначно дают число вычетов ПСВ(p/d): р - 1 или р - 2 соответственно.
Примеры:
1) ПСВ(5): 1, 2, 3, 4; при $d=2$ , ПСВ(5/2): 3, 4, 6. Вычеты 3, 4 совпадают. При $d=6$ , ПСВ(5/6): 7, 8, 9. При $d=10$ , ПСВ(5/10): 11, 12, 13, 14. Вычеты не совпадают.
2) ПСВ(5): 1, 7, 13, 19; при $d=2$ , ПСВ(5/2): 3, 9, 21. При $d=10$ , ПСВ(5/10): 11, 17, 23, 29.
3) ПСВ(5): 2, 4, 6, 8; при $d=2$ , ПСВ(5/2): 4, 6, 8. Все вычеты совпадают. При $d=6$ , ПСВ(5/6): 8, 12, 14. При $d=10$ , ПСВ(5/10): 12, 14, 16, 18. Вычеты не совпадают, т.к.$ (a+d)>p$.
И так будет в любой ПСВ по любому простому модулю.
Вопрос. К какой системе отнести разность d ? Естественно к исходной, т.к. система вычетов $a+d $ производная.
Теорему 1 можно было и не доказывать, т.к. она является следствием теоремы 2, но она была нужна для вывода формулы $p_{r+1}(p_{r+1}+1)\varphi_2(M)/M$.
Кстати, для ПСВ по нечетным модулям можно брать и нечетные разности d, в частности $d=1$, причем формулы для определения их числа те же самые.
Например, ПСВ(15): 1,2, 4, 7,8, 11, 13,14; при d=1 получим : 2, 8, 14. Все вычеты совпадают.
Только никак не могу найти ей сферу применения

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение31.08.2011, 17:35 
Заслуженный участник


08/04/08
8558
vorvalm в сообщении #479179 писал(а):
Если (p,d)=1, то число таких чисел равно $p-2=\varphi_2(p)$ (теорема 2/1)

Перевод: для любого множества $Q$ и целого $d$ если $Q$ является ПСВ по модулю $p$ и $\text{НОД}(p,d)=1$, то мощность множества $\{ x: x=a+d, a \in Q, \text{НОД}(p,x)=1 \}$ равна $\varphi _2(p)=p-2$. Верно.
vorvalm в сообщении #479179 писал(а):
Кстати, для ПСВ по нечетным модулям можно брать и нечетные разности d, в частности $d=1$, причем формулы для определения их числа те же самые.

четность $d$ и $p>2$ не понадобились тоже. Для $p=2$ и нечетных $d$ мощность будет равна нулю (ну и ладно), а для нечетных $p$ число $d$ также может быть нечетным.
vorvalm в сообщении #479179 писал(а):
Если p\d, то число этих чисел равно $p-1=\varphi(p)$ (теорема 2/2).

Перевод: для любого множества $Q$ и целого $d$ если $Q$ является ПСВ по модулю $p$ и $p|d$, то мощность множества $\{ x: x=a+d, a \in Q, \text{НОД}(p,x)=1 \}$ равна $\varphi (p)=p-1$. Верно.
vorvalm в сообщении #479179 писал(а):
Все эти числа образуют свою ПСВ(p/d), вычеты которой отличаются от соответствующих вычетов исходной ПСВ(р) на величину d. Они могут совпадать с вычетами исходной ПСВ, но могут и не совпадать (очевидно при $(a+d)>p$). Обозначение ПСВ(p/d) - ПСВ по модулю р с разностью d.

Используйте лучше общепринятую символику: $\text{ПСВ}(p,d)$ - как функцию от пары $(p,d)$, знак $x/y$ используется для обозначения частного от деления $x$ на $y$.
То, что Вы обозначили $\text{ПСВ}(p/d)$ будет ПСВ лишь при $p|d$, а иначе одного вычета будет недоставать ($\varphi _2(p)<\varphi (p)$). Пример: $\{ 1\}$ не является ПСВ по модулю $3$.
Ну пока это вроде нигде не использовалось. Можно пока это не трогать.

Остальной текст я пока тоже не трогаю. Идем дальше.
vorvalm в сообщении #424222 писал(а):
Теорема 3. Функция Эйлера 2-го порядка мультипликативная. т.е.
$\varphi_2(p_rp_s)=\varphi_2(p_r)\varphi_2(p_s)=(p_r-2)(p_s-2)$ (Бухштаб,теоремы 112,114)

Верно, только
vorvalm в сообщении #424222 писал(а):
$p_rs_j+p_sr_i$ образуют ПСВ по модулю $m=p_rp_s$.

ПСВ они не образуют (лишь ее подмножество). Но это дальше не используется.
Могли бы тогда и общую формулу выписать:
$n>1 \Rightarrow \varphi _2 (n)=n \prod\limits_{p|n} \left( 1- \frac{2}{p}\right)$.
И что такое "близнец" я понял. Для $Q$, являющейся ПСВ по модулю $m$, $a \in Q$ и целого $d: \text{НОД}(d,m)$ близнецом $b(Q,a,d)$ называется число $a+d$ такое, что $\text{НОД}(a+d,m)$ (если такого числа не существует, значит говорим, что близнеца не существует).

vorvalm в сообщении #447484 писал(а):
Теорема 4. Число любых четных разностей d в ПСВ по модулю М выражается
функцией Эйлера 2-го порядка с коэффициентом $A_2$.
$Nd=A_2\varphi_2(M)$ где $A_2=\prod \frac {\varphi(p_s)}{\varphi_2(p_s)}$ , $p_s \mid d,M$

Это я понял так: $Nd:=Nd(M,d) = \varphi_2(M) \prod\limits_{p| \text{НОД}(d,M)} \frac {\varphi(p)}{\varphi_2(p)}$ (считаем, что знаменатель ненулевой). В частности, при $\text{НОД}(M,d)=1$ получаем $Nd(M,d) = \varphi_2(M)$ (общая формула теперь выше есть, хотя у автора вроде $M$ свободно от квадратов) и по последней формуле получаем $Nd(15,2) = \varphi_2(15) = (5-2)(3-2)=3$.
Однако, мультимножество всех положительных разностей всех элементов множества $\{ 1,2,4,7,8,11,13,14\}$, являющимся основной ПСВ по модулю $15$ имеет вид $[ 1,1,1,2,2,3,3,3,3,4,4,5,5,6,6,6,6,7,7,7,9,9,10,10,11,12,12,13]$ - там всего 2 числа $d=2$, а не 3.
Так что теорема 4 неверна :roll: Здесь только если как-то разности по модулю брать, то может получится верно (для $d=2, M=15$ 3-я разность - это разность между $16$ и $14$, где $16 \equiv 1 \pmod{15}$). Пусть автор уточняет, что за разности (если получится).

-- Ср авг 31, 2011 14:56:01 --

Sonic86 в сообщении #479294 писал(а):
Так что теорема 4 неверна :roll:

А хотя я понял: $Q$ - ПСВ по модулю $M$, значит $Nd(M,d) = \{ x:x=a+d, a \in Q, \text{НОД}(x,M)=1\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение31.08.2011, 20:08 
Заслуженный участник


08/04/08
8558
vorvalm в сообщении #447484 писал(а):
Определение 1. Группа вычетов ПСВ - конечная совокупность последовательных или непоследовательных вычетов ПСВ, следующих друг за другом в порядке их возрастания.

Вот это я понимать отказываюсь. В таком виде группа вычетов ПСВ - это просто ПСВ, поскольку "Х - последовательный или непоследовательный вычет" $\Leftrightarrow$ "Х - вычет". Пишите определение нормально или поясняйте на примерах, если не можете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение01.09.2011, 08:10 


31/12/10
1555
Sonic86
Я весьма благодарен вам за детальный и аргументированный разбор моего сообщения
и особенно за перевод моего текста на язык математической логики. Это здорово!
В основном я согласен с вашими замечаниями и приму их к сведению.
В отношении определения группы вычетов вы все правильно поняли. Если число вычетов ПСВ
равно числу вычетов в группе, то это и будет группа вычетов $\varphi(M)$ - го размера.
Но в данной теме будут применяться группы максимум 4-го размера, т.е. состоящие их 4-х вычетов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение01.09.2011, 17:25 
Заслуженный участник


08/04/08
8558
vorvalm в сообщении #479437 писал(а):
Я весьма благодарен вам за детальный и аргументированный разбор моего сообщения
и особенно за перевод моего текста на язык математической логики. Это здорово!
В основном я согласен с вашими замечаниями и приму их к сведению.

Не ну просто иначе непонятно.
vorvalm в сообщении #479437 писал(а):
В отношении определения группы вычетов вы все правильно поняли.

Так я не понял ничего :-) Формально вышло, что определение излишне (так не должно быть); приведите пример, я может и пойму дальше.
Или Вы под группой вычетов меете ввиду произвольное подмножество множества, являющегося ПСВ по модулю?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 608 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 41  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Dmitriy40


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group