Бесконечность простых чисел-близнецов

[vorvalm]

В связи с тем, что в постах была нарушена методическая последовательность
изложения материала, пришлось все перекраивать. Извините.

Для решения этой проблемы необходимо использовать приведенные системы
вычетов (ПСВ) по модулю $M(p)=\prod_2^p(p)$ (произведение простых чисел от 2 до р).Обозначение: М(р) будем применять при конкретном р,а если это неважно, то просто М,
а - вычет ПСВ, d - разность между вычетами,
Nd - число разностей d в ПСВ, р - всегда простое число.
Число вычетов ПСВ по модулю М определяет функция Эйлера
$\varphi(M)=\prod_2^p(p-1)$
Например, ПСВ по модулю $M(5)=2\star3\star5=30, \varphi(30)=1\star2\star4=8$
1, 7, 11,13, 17,19, 23, 29.
Чтобы найти вычеты ПСВ по модулю $M(7)=210$, надо увеличивать все вычеты ПСВ по модулю 30 на 30 до 210, затем убрать числа, кратные 7. Это вычеты по модулю 30, умноженные на 7.
Вычеты ПСВ взаимно простые с модулем и взаимно несравнимые по модулю.
В ПСВ по модулю р или по модулю М вычеты распoложены симметрично относительно числа 0,5р или числа 0,5М, т.е. $a_{1+n}+a_{\varphi(p)-n}=p$ или $a_{1+n}+a_{\varphi(M)-n}=M$, где (1+n)- порядковый номер вычета а.
Замечательной особенностью ПСВ по модулю $M(p_r)$ является то. что вычеты а интервале $1 < a < p^2_{r+1}$ представляют непрерывный ряд простых чисел, исключая первые r простые, составляющие модуль.
Модуль М(р) при $p\rightarrow\infty$ растет факториально, верхняя граница простых чисел ПСВ растет как $ p^2$, а нижняя граница растет как р.
Интервал простых чисел при этом растет, однако доля его в модуле уменьшается.
ПСВ позволяет производить абсолютно точные расчеты с вычетами ПСВ в любой комбинации, что отностися и к интервалу простых чисел. Но для этого необходим новый аппарат, включающий в себя понятия группы вычетов и функции Эйлера высших порядков.
Число вычетов ПСВ, имеющих близнецов, определяется функцией Эйлера второго порядка по простому модулю $\varphi_2(p)$ и по составному модулю М - $\varphi_2(M)$ (новое понятие).
Теорема1. Число вычетов-близнецов в ПСВ по модулю $p>2$ равно $p-2=\varphi_2(p)$.
Доказательство. Рассмотрим ПСВ по модулю $p>2$: 1, 2, 3.....(p-2),(p-1). Только один вычет (р-2) не имеет своего близнеца, т.к. $p-2+2=p$. Остальные вычеты их имеют. Отсюда $\varphi_2(p)=\varphi(p)-1=p-2$. При $p=2$ , ПСВ $=1 , 1+2=3$ взаимно простое с $p=2$ и $\varphi_2(2)=1$.
$\varphi_2(M)=\prod \varphi_2(p)=\prod_3^p(p-2)$. Доказательство мультипликативности $\varphi_2(p)$ см. ниже.
Например, в ПСВ по модулю 30 число близнецов $\varphi_2(30)=1\star3=3$.
Это11,13, 17,19, 29,31. В ПСВ по М(7) $\varphi_2(210)=1\star3\star5=15$.
Отношение $\frac {\varphi_2(M)}M$ - средняя плотность близнецов в модуле, следовательно, число близнецов, приходящееся на интервал простых чисел будет равно:
$p^2\frac {\varphi_2(M)}M$
Эта формула аналогична известной формуле В.Бруна (Норвегия 1920г.), но более точная.
$\pi_2(x)\leqslant\frac{Cx}{(\ln x)^2}$
Но это не доказывает бесконечности простых близнецов.
Для доказательства этой проблемы необходимо дальнейшее расширение
понятия функции Эйлера (высших порядков).
Это требует более объемного доказательства.

[vorvalm]

Теорема 2. Число разностей d в ПСВ по модулю р
1) при условии $(p,d)=1$ определяется функцией $\varphi_2(p)$,
2) при условии $p\mid d$ - определяется функцией $\varphi(p)$.
Доказательство.1)Если $(p,d)=1$ и $p>d$, то $d=a_m$, т.е. является вычетом ПСВ по модулю р и найдется один вычет $a_n$, когда $a_m+a_n=p$.Если $p<d$, тогда $d=kp+a_m$ , $a_n+a_m+kp=p(1+k)$ и $Nd=\varphi_2(p)$.
2)Если $p\mid d$, то $d=kp$ и $(a+kp)$ - вычет ПСВ, т.е. все вычеты ПСВ имеют разности d и $Nd=\varphi(p)$.
Теорема 3. Функция Эйлера 2-го порядка мультипликативная. т.е.
$\varphi_2(p_rp_s)=\varphi_2(p_r)\varphi_2(p_s)=(p_r-2)(p_s-2)$ (Бухштаб,теоремы 112,114)
Доказательство. Пусть х пробегает значения $r_1, r_2,...r_i$ вычетов ПСВ по модулю $p_r$, а у пробегает значения $s_1, s_2,...s_j$ вычетов ПСВ по модулю $p_s$.
Составим числа вида $xp_s+yp_r$, которые соответствуют различным парам чисел r и s. Число таких чисел равно $\varphi(p_r)\varphi(p_s)$.
Так как $(p_r,p_s)=1$, то числа $p_rs_j+p_sr_i$ образуют ПСВ по модулю $m=p_rp_s$.
Составим таблицу этих чисел в следующем порядке:
$p_r+p_s$, $2p_r+p_s$ . . . . . . . . . . . . . . .$\varphi(p_s)p_r+p_s$,
$p_r+2p_s$, $2p_r+2p_s$, . . . . . . . . . . . $\varphi(p_s)p_r+2p_s$,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
$ p_r+\varphi(p_r)p_s$, $2p_r+\varphi(p_r)p_s$,. . . . . . ..$\varphi(p_s)p_r+\varphi(p_r)p_s$
Числа каждой строки - ПСВ по модулю $p_r$, а числа каждой колонки - ПСВ по модулю $p_s$.В каждой строке и в каждой колонке есть по одному вычету,не имеющему своего близнеца.
При данном расположении чисел в таблице вычеты, не имеющие близнецов,
составляют одну строку и одну клонку. Любая строка и клонка имеют общий
вычет, отсюда
$\varphi_2(p_rp_s)=\varphi(p_r)\varphi(p_s)-(\varphi(p_r)+\varphi(p_s))+1=(\varphi(p_r)-1)(\varphi(p_s)-1)=(p_r-2)(p_s-2)$.

[vorvalm]

Теорема 4. Число любых четных разностей d в ПСВ по модулю М выражается
функцией Эйлера 2-го порядка с коэффициентом $A_2$.
$Nd=A_2\varphi_2(M)$ где $A_2=\prod \frac {\varphi(p_s)}{\varphi_2(p_s)}$ , $p_s \mid d,M$
Доказательство. Рассматриваем разность d в ПСВ по простым модулям. На
основании теоремы 2 число вычетов с разностью d в ПСВ по модулям
$p_s \mid d$ равно $\varphi(p_s)$. Для всех других ПСВ по модулям р, когда
$(p,d)=1$, число разностей d равно $\varphi_2(p)$. На основании теоремы 3
сомножители $\varphi_2(p_s)$ надо заменить на $\varphi(p_s)$ в функции
$\varphi_2(M)$ для всех $p_s \mid d$, т.е.
$Nd=\varphi_2(M) \prod \frac{\varphi(p_s)}{\varphi_2(p_s)} , p_s\mid d,M$
В число разностей Nd входят все d независимо от групп, в которые они
входят.
Определение 1. Группа вычетов ПСВ - конечная совокупность последовательных или
непоследовательных вычетов ПСВ, следующих друг за другом в порядке их
возрастания.
Число вычетов в группе определяет размер группы. Группа принадлежит данной ПСВ, если наименьший вычет группы меньше модуля. Запись групп.
ИМЯ $[d]=(\delta_1,\delta_2,...\delta_{n-1})$
где ИМЯ - латинские буквы B, C, D, E, F, G, H, которые мы будем присваивать
группам соответственно 2, 3, 4 ,5, 6, 7, 8-го размера. Группы размером больше
8 можно обозначать любой буквой, кроме этих.
d - общая разность между крайними вычетами группы. $d=\sum \delta$
$\delta$ - разности между соседними вычетами группы.
Эта эапись удобна тем, что видна структура группы по разностям.
Для расчетов нужно применять другую запись, удобную для программирования
в виде массива на языке С++.
ИМЯ$[n]=(d_0, d_1, d_3,....d_t,....d_{n-1})$ где n - размер группы,
$d_0=0$ - первый вычет группы,
$d_1=\delta_1, d_2=\delta_1+\delta_2, d_3=\delta_1+\delta_2+\delta_3,......$
$d_t$ - текущая разность,
$d_{n-1}$ - общая разность.
Пример. В[2] - близнецы, $D[8]=(2,4,2)$ или $D[4]=(2,6,8)$ - 4 вычета с $\delta=2,4,2$.
Группа B[d] - два соседних вычета с разностью d.
Разность d - между любыми вычетами ПСВ.

[vorvalm]

Для определения числа различных групп вычетов в ПСВ вводим новое понятие - функции Эйлера высших порядков.
Определение 2. Функции Эйлера n-го порядка $\varphi_n(p)$ по простому модулю р и $\varphi_n(M)$ по составному модулю М определяют число определенных групп вычетов n-го размера в ПСВ по модулю р и по модулю М соответственно.
Общая формула этих функций:
1) по модулю р: $\varphi_n(p)=p-n$ для $p>n$, при $p \leqslant n$, $\varphi_n(p)=1$.
2) по модулю М: $\varphi_n(M)=\prod \varphi_n(p)=\prod_{p>n}^p (p-n) , p\mid M$
При $n=1$ это функция Эйлера $\varphi(M)=\prod \varphi(p)$ обыкновенная.
При $n=2$ - функция Эйлера 2-го порядка $\varphi_2(M)=\prod \varphi_2(p)$, про которую мы уже все знаем.
Все эти функции названы в честь величайшего математика всех времен и народов,автора ПСВ.
Все функции Эйлера мултипликативны. Это доказано для $\varphi(p)$ и $\varphi_2(p)$ и легко доказывется для других функций этого ряда по методу теоремы 3 или по Бухштабу, теоремы 112,114.
Для нашей темы, кроме функции $\varphi_2(M)$, потребуется функция $\varphi_4(M)$, т.е. функция Эйлера 4-го порядка.
Определение 3. Функции Эйлера 4-го порядка $\varphi_4(p)$ по простому модулю и $\varphi_4(M)$ по составному модулю М определяют число определенных групп вычетов 4-го размера D[4] в ПСВ по модулю р и по модулю М соответственно.
$\varphi_4(M)=\prod \varphi_4(p)=\prod_5^p (p-4) , p\mid M $,
$ \varphi_4(2)=1 ,\varphi_4(3)=1$.
Два последних равенства требуют пояснений.
В ПСВ по модулю $p=2$ всего один вычет - 1 и число любых групп независимо от их размера равно 1, т.к. все разности $d_t$ групп четные числа и любая разность $d_t+1$ взаимно простая с $p=2$. В ПСВ по модулю $p=3$ два вычета - 1 и 2. Группы 4-го размера имеют 4 вычета и 3 разности $(d_1,d_2,d_3)$ относительно первого вычета $d_0$ (вторая форма записи групп). Для того, чтобы группа D[4] была в ПСВ по модулю $p=3$, должно выполнятся условие: $d_1+1,d_2+1,d_3+1$ или $d_1+2,d_2+2,d_3+2$ все были взаимно простыми с $p=3$, иначе такая группа в ПСВ по модулю $p=3$ не существует.
Очевидно, что если какая-либо разность $d_t$ этой группы сравнима по модулю $p=3$ с другой разностью этой группы, то это равносильно "уменьшению" размера группы с $n=4$ до $n=3$, т.к. сравнимые разности одновременно взаимно простые с $p=3$. Для того, чтобы "понизить" размер группы до $n=2$, надо иметь в составе группы две сравнимых разности $d_t$, что мы и имеем в группах D[4], число которых по функции $\varphi_4(3)=3-(4-2)=1$, т.е. функция $\varphi_4(p)$ определяет число групп D[4], если в группе как минимум две сравнимых разности по модулю $p=3$.
Например, у группы $D[18]=(6,6,6)$ имеем 3 сравнимых разности по модулю $p=3$ и $\varphi_4(3)=3-(4-3)=2.$
И действително мы имеем две группы в ПСВ по модулю 30:
1, 7, 13, 19; и 11, 17, 23, 29.
Из этого следует, что нужна новая функция, которая учитывает число сравнимых разностей в группе.

[vorvalm]

Определение 4. Функция m(p) равна числу разностей $d_t$ группы вычетов, сравнимых по модулю р с какой-либо другой разностью этой группы, включая $d_0$. Числа р должны быть в составе модуля М.
Определение 5. Функция $K(p)=\varphi_n(p)+m(p)= p+m(p) -n$ определяет число любых групп вычетов
n-го размера в ПСВ по модулю р, если $K(p)>0$. При $K(p)\leqslant 0$ таких групп в ПСВ нет.
Функция К(р) в таком виде мало пригодна, т.к. привязана к одной группе
функцией m(p) и уже не является мультипликативной. Но выход есть. Надо разделить функцию К(р) на две составляющие:
1) мультипликативную часть, когда $m(p)=0$ , $K(p)=\varphi_n(p)$ и
2) постоянный для данной группы коэффициент $A_n=\frac {K(p)}{\varphi_n(p)}$, который будет учитывать функцию m(p) при $m(p)>0$ и $K(p)>\varphi_n(p)$, т.к. $A_n\varphi_n(p)=K(p)$.
Если сравнения разностей группы возможно по другим $p_s$, то $A_n=\prod_{p_s} \frac{K(p_s)}{\varphi_n(p_s)}$, т.к.
$K(p_s)K(p_t)=A_{ns}\varphi_n(p_s)A_{nt}\varphi_n(p_t)=A_n\varphi_n(p_sp_t)$
и число групп в ПСВ по модулю М будет равно $A_n\varphi_n(M)$.
Теорема 5. Число групп n-го размера в ПСВ по модулю р равно функции Эйлера n-го порядка с коэффициентом $A_n$, т.е. $ A_n\varphi_n(p)=K(p)=p+m(p) -n$.
Доказательство. Рассмотрим группу $Q[n]=(d_0, d_1,d_2,...d_t,...d_{n-1})$ в ПСВ по модулю р. Здесь возможны варианты.
1) Если $d_{n-1}<p$ и в группе Q[n] нет сравнимых разностей по модулю р $(m(p)=0)$, то все разности группы - вычеты ПСВ по модулю р. Тогда для (n-1) разностей группы Q[n] найдется (n-1) вычетов ПСВ, когда $a_n+d_t=p$, т.е. $\varphi(p) -(n -1)= p -n = \varphi_n(p)$.
2) Если $d_{n-1} > p$ и некоторые $d_t>p$, то при тех же условиях случая 1) имеем
$d_t=a_m+kp , (a_m<p) , a_n+a_m=p , a_n+d_t=p(k+1)$, т.е. случай 1).
3) Если в сучаях 1) и 2) среди разностей $d_t$ есть сравнимые по модулю р $(m(p)>0)$, то им будет соответствовать один и те же вычет $a_n$, у которого нет групп Q[n] и размер группы "уменьшается" на величину m(p), т.е.
$\varphi_n(p) - (n -1 - m(p))=p+m(p) -n$.
4) Если $p\leqslant n$ и среди разностей группы нет сравнимых по модулю р, то все вычеты ПСВ по модулю р в сумме с разностями $d_t$ будут равны $a_n+d_t=p$ или $kp$, т.е. все вычеты будут "заняты" разностями $d_t$ и для группы $Q[n]$ нет места в ПСВ. Никакие группы при таких условиях в ПСВ быть не могут.
5) Если $p\leqslant n$ но $m(p)>0$, то все зависит от соотношения $p-(n -m(p))$.
Примеры. Группа $D[16]=(4,2,4,2,4)$ или $D[6]=(0,4,6,10,12,16)$. Сравнения разностей по модулям:
$p=3 ; 0,6,12$ и $4,10,16; m(3)=4 , K(3)= 3+4 -6=1$.
$p=5 ; 0,10$ и $6,16 ; m(5)=2 , K(5)=5+2 -6=1$. Группа существует в любой ПСВ.
Группа $E[14]=(2,4,2,6)$ или $E[5]=(0,2,6,8,14)$. Сравнения разностей по модулям:
$p=3; 0,6$ и $2,8,14; m(3)=3 , K(3)=3+3 -5=1$.
$p=5; m(5)=0 , K(5)= 5 -5=0$. Такой группы нет в ПСВ. Сравнивать по модулю $p=7$ нет смысла.

[vorvalm]

Присвоим функции К(р) имя "проходимость", т.к. при $K(p)>0$ группы "проходят" в ПСВ по модулю р.
Основное назначение функции К(р) - определять, существуют(проходят) ли группы в ПСВ и если да,
то определять коэффициент $A_n$.
Для проверки "проходимости" групп достаточно их проверить по модулям $p\leqslant n$, а для определения коэффициента $A_n$ надо вычислять К(р) по всем р, по которым возможны сравнения разностей группы, но только по тем, которые входят в состав модуля М.

Преобразуем ПСВ по модулю М. Для этого увеличим вычеты от 1 до 0,5М на величину М и отбросим вычеты от 1 до 0,5М.
Назовем этот модуль (1,5-0,5)M. В такой ПСВ число вычетов и их групп осталось без изменений, но изменилось их расположение относительно центра ПСВ.
В центральной части этой ПСВ располагаются вычеты:

$-p_{r+1}^2, ...-p_t,..-p_s,..-p_{r+1}, -1(M)+1,+p_{r+1},..+p_s,..+p_t,...+p_{r+1}^2.$

Центром ПСВ стали близнецы $M\pm 1$.
Весь интервал простых чисел от $-p_{r+1}^2$ до $+p_{r+1}^2$ будем называть диапазоном простых чисел Dp.

[vorvalm]

Теорема 6. Число близнецов в ряду простых чисел бесконечно.
Доказательство. Допустим, что число близнецов конечно. Тогда есть такой достаточно большой модуль М, когда в интервале простых чисел ПСВ $1 < p < p_{r+1}^2$ близнецов нет. Но они есть среди вычетов ПСВ в количестве $\varphi_2(M)$.
Из этих вычетов - близнецов выберем две пары с общей разностью между крайними вычетами - $2p_t$ и будем их рассматривать в ПСВ по модулю (1,5-0,5)M. Число разностей $d=2p_t$ равно $\varphi_2(M)$. Одна из них есть в диапазоне Dp пока без близнецов.
Две пары близнецов - это группа вычетов 4-го размера: $D[4]=(0, 2, 2p_t-2, 2p_t)$ где $p_t$ из диапазона Dp.
Ее надо проверить на проходимость только по модулю $p=3$.
Определяем $K(3)=3+m(3)-n$, для чего находим все возможные сравнения разностей группы.
1) $0 ,(2p_t-2)$ и $2 ,2p_t $ - два сравнения с одним общим модулем $(2p_t-2)=2(p_t-1)$.
$p_t$ - старший из близнецов из класса (6q+1), следовательно $2(p_t-1)=12q$.Oтсюда $K(3)=3+2-4=1$.
Группа существует в любой ПСВ по модулю М.
2) $2, (2p_t-2)$ - модуль сравнения $(2p_t-4)=2(p_t-2)$, где $(p_t-2)$ - меньший из близнецов - вычет ПСВ, взаимно простой с модулем М и не может иметь простые делители, входящие в модуль М, значит $m(p)=0$.
3) $0 , 2p_t$ ; $ p_t> p_r , m(p_t)=0$.
4) $2p_t - (2p_t-2)=2$. По модулю 2 проходимость любой группы равна 1.
Итак, группа D[4] c близнецами существует в ПСВ по любому модулю. Число таких групп равно $A_4\varphi_4(M)$.
Но нас особо это число не интересует. Нам важно знать, какое это число: четное или нечетное.
Сама функция $\varphi_4(M)$ нечетная. Значит все зависит от $A_4$. Знаменатель $A_4$ - $\varphi_4(p)$ нечетное число. Четность числителя К(р) при четном n зависит от четности m(p). При четном m(p) - K(p) нечетна.
В нашем случае по модулю $p=3 , m(3)=2 , K(3)=1$. Cреди простых делителей числа $(p_r-1)$ могут быть и другие, кроме $p=3$, но в любом случае К(р) будет нечетным,
т.к. число сравнений по этим модулям равно - 2.
Таким образом, число групп с близнецами нечетно и при симметричном расположении вычетов ПСВ по модулю (1,5-0,5)М относительно числа М, одна из групп обязана находится в центре ПСВ, т.е. среди простых чисел. В выборе модуля мы не ограничены и наше начальное предположение неверно. Число простых близнецов бесконечно.
Доказательство защищено авторским правом в 2008 г

[vorvalm]

исправлено

[nnosipov]

vorvalm в сообщении #451094 писал(а):

Доказательство защищено авторским правом в 2008г.

И в каком журнале это "доказательство" опубликовано?

[vorvalm]

Для получения авторского права публикаций не требуется. Требуются деньги.
Вы же знаете, советская система не допускает доказательств "снизу".
Публикутся только академики.

[vorvalm]

Приведенное доказательство ни в коей мере не претендует на математическую
строгость. Это всего лишь сжатый до предела конспект моей работы по этой теме, где все теоремы выверены по Бухштабу. Я считаю, что учебник А.А.Бухштаба для пединститутов по элементарной "Теории чисел"(1966г) - шедевр среди других учебников. В нем все понятно даже школьнику и не скучно.

[Someone]

vorvalm в сообщении #451435 писал(а):

Приведенное доказательство ни в коей мере не претендует на математическую
строгость.

Это означает, что доказательства нет.

[vorvalm]

Эпиграф. "Я Солженицина не читал, но все равно осуждаю". Совок.
Someone
Вы кого хотите в этом убедить? Меня, себя или участников форума?
Если меня, то бесполезно. Скорее всего себя. И если от этого вам легче, то
пусть будет так, а участники форума разберутся сами.
Но вы не сможете отрицать того, что в предложенном изложении, подчеркиваю, изложении доказательства применен совершенно новый в теории чисел метод
и совершенно новый аппарат с новыми понятиями и определениями. А это
всегда у большинства вызывает негативную реакцию, т.к. не с чем сравнивать.
Но как всегда все новое проходит 3 этапа:1) этого не может быть,2) а в этом
что-то есть,3) так это ж так просто. Давайте дождемся 3-го этапа.

[Someone]

vorvalm в сообщении #451867 писал(а):

Вы кого хотите в этом убедить?

Никого, а тем более Вас, я убеждать не собираюсь. Я просто констатирую факт: "доказательство", не претендующее на математическую строгость, математическим доказательством не является.

vorvalm в сообщении #451182 писал(а):

Для получения авторского права публикаций не требуется. Требуются деньги.

Математики патентов не читают, математики читают математические журналы.

[zhoraster]

Тема перемещена в "Карантин".

vorvalm, Вам необходимо:
- оформить все формулы в ТеХе, как того требуют правила форума.
- дать строгие определения понятий, которые Вы используете.
- строго сформулировать утверждения, которые Вы собираетесь доказывать.

Фразы в духе

Цитата:

Приведенное доказательство ни в коей мере не претендует на математическую
строгость.

означают, что предмета дискуссии нет. В таком случае тема будет перемещена в "Пургаторий (М)". Если же предмет дискуссии есть, то давайте строгие выкладки.

После внесения всех исправлений сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.