Пан-Геометрия

[alcoholist]

Руст в сообщении #473372 писал(а):

и максимумы для Минковского типа

Пардон! В финслеровой геометрии имя Минковского связано не с псевдоевклидовостью, а просто с нормированностью:)

-- Чт авг 04, 2011 09:02:21 --

Kallikanzarid в сообщении #473375 писал(а):

Локально, отлично!

а которые не локально, те называются кратчайшие

[epros]

Kallikanzarid, по-моему, Вы уж слишком сильно цепляетесь к словам. Если уж на то пошло, то то, что Вы боялись "потерять", правильнее называть "отрезком геодезической", имея в виду, что геодезическую можно как разбить на отрезки, так и продолжить за пределы отрезка.

[Руст]

alcoholist в сообщении #473376 писал(а):

Руст в сообщении #473372 писал(а):

и максимумы для Минковского типа

Пардон! В финслеровой геометрии имя Минковского связано не с псевдоевклидовостью, а просто с нормированностью:)

Если всегда малый шар выпуклый, то я называю Евклидова типа. Если выпукло дополнение, т.е. множество $\{y|r(x,y)\ge \epsilon\}$, то Минковского типа. Другие геометрии типа с метрикой $ds^2=dx^2+dy^2-dz^2-dt^2$ не Финслеровы, так как там не определены вариационные принципы.

[alcoholist]

Руст в сообщении #473384 писал(а):

то Минковского типа

не-не... нормы все-таки с выпуклыми телами во взаимно-однозначном соответствии

Норма, единичный шар которой -- куб (выпуклое тело), никак не может быть названа евклидовой

-- Чт авг 04, 2011 10:28:26 --

Руст в сообщении #473384 писал(а):

Если выпукло дополнение, т.е. множество $\{y|r(x,y)\ge \epsilon\}$

а как может быть выпукло дополнение???

-- Чт авг 04, 2011 10:29:11 --

Руст в сообщении #473384 писал(а):

Другие геометрии типа с метрикой $ds^2=dx^2+dy^2-dz^2-dt^2$ не Финслеровы

это не метрика)))

[epros]

alcoholist в сообщении #473385 писал(а):

Норма, единичный шар которой -- куб (выпуклое тело), никак не может быть названа евклидовой

А финслеровой может? Ведь там линии минимального расстояния определены неоднозначно...

Вообще, есть ли понятие ... гхм ... "строгой" выпуклости единичного шара? Я имею в виду, что отрезок, соединяющий точки поверхности, лежит внутри шара (за исключением концов). Или что-нибудь вроде этого.

[alcoholist]

epros в сообщении #473389 писал(а):

Вообще, есть ли понятие ... гхм ... "строгой" выпуклости единичного шара? Я имею в виду, что отрезок, соединяющий точки поверхности, лежит внутри шара (за исключением концов). Или что-нибудь вроде этого.

я об этом, кажется, говорил выше... иногда в формулировках требуется строгая выпуклость, иногда допускается не(центральная)симметричность тела, определяющего норму. Но, в любом случае, линейне пространство со строго выпуклой нормой (и с единственностью кратчайших) называется в этой науке пространством минковского, а не евклидовым

[Руст]

alcoholist в сообщении #473390 писал(а):

Но, в любом случае, линейне пространство со строго выпуклой нормой (и с единственностью кратчайших) называется в этой науке пространством минковского, а не евклидовым

Пространство с метрикой $ds^2=dx^2+dy^2$ по вашему называется пространством Минковского, а пространство $ds^2=dx^2-dy^2$ и вообще не Финслерово.

[Kallikanzarid]

alcoholist в сообщении #473390 писал(а):

линейне пространство со строго выпуклой нормой

Что вы под этом понимаете? Можете привести пример нормированного векторного пространства, не удовлетворяющего этому условию?

[Руст]

Если взять шар малого радиуса с центром в т. х и две точки y,z на малом $\epsilon$ расстоянии от x, то $r(x,a)<\epsilon$ для точки $a=\lambda y+(1-\lambda)z, 0<\lambda <1$. Это строгая выпуклость.
А пространства типа Минковского (важные для физики) вообще не могут быть определены через нормы. Можно нормы заменить псевдонормами и определить их как пространства с вогнутой индикатрисой. Если индикатриса не выпукла и не вогнута, то вариационные принципы не работают и нет преобразования Лежандра, сопоставляющее скоростям - импульсы в физике или касательному пространству сопоставляющие кокасательное пространство.

[alcoholist]

Руст в сообщении #473405 писал(а):

Пространство с метрикой $ds^2=dx^2+dy^2$ по вашему называется пространством Минковского, а пространство $ds^2=dx^2-dy^2$ и вообще не Финслерово.

Совершенно верно. Только первое пространство традиционно называется евклидовым (что не мешает ему быть пространством Минковского).

-- Чт авг 04, 2011 16:49:10 --

Kallikanzarid в сообщении #473410 писал(а):

alcoholist в сообщении #473390 писал(а):
линейне пространство со строго выпуклой нормой

Что вы под этом понимаете? Можете привести пример нормированного векторного пространства, не удовлетворяющего этому условию?

Да. $\mathbb{R}^2$ с нормой $\|v\|=|v_x|+|v_y|$ -- единичный шар не является строго выпуклым

-- Чт авг 04, 2011 16:53:28 --

Руст в сообщении #473422 писал(а):

А пространства типа Минковского (важные для физики) вообще не могут быть определены через нормы

Это вопрос терминологии. Я называю пространством Минковского любое нормированное пространство.

Как риманово многообразие является локально-евклидовым, так финслерово -- локально-минковским.

[Руст]

alcoholist в сообщении #473450 писал(а):

Руст в сообщении #473422 писал(а):

А пространства типа Минковского (важные для физики) вообще не могут быть определены через нормы

Это вопрос терминологии. Я называю пространством Минковского любое нормированное пространство.

Как риманово многообразие является локально-евклидовым, так финслерово -- локально-минковским.

Во всех учебниках пространством Минковского называется пространство с метрикой $ds^2=dt^2-\sum_i dx_i^2$. Оно не может определяться через нормы. Во первых $ds$ не всегда определено, во вторых метрика не удовлетворяет неравенству треугольника $|a+b|\le |a|+|b|$, а удовлетворяет обратному неравенству, в третьих из $|a|=0$ не следует $a=0$. Тем не менее для физики интересны именно геометрии такого типа, которых в случае Финслеровой геометрии я называю Минковского типа, а ваши Евклидова типа.

[alcoholist]

Руст в сообщении #473464 писал(а):

Во всех учебниках пространством Минковского называется пространство с (ПСЕВДО)метрикой $ds^2=dt^2-\sum_i dx_i^2$.

Померяемся источниками?-))

Я говорю об устоявшейся терминологии в дифференциальной геометрии. Но знаком и с той, о которой говорите Вы. В любом случае -- это не предмет спора.

[Руст]

alcoholist в сообщении #473469 писал(а):

Померяемся источниками?-))

Я говорю об устоявшейся терминологии в дифференциальной геометрии. Но знаком и с той, о которой говорите Вы. В любом случае -- это не предмет спора.

Устоявшейся??
Наберите например в gogle пространство Минковского. Посчитайте, сколько источников определяет пространство Минковского как вы и сколько как я понимаю.

[alcoholist]

Руст в сообщении #473481 писал(а):

Наберите например в gogle пространство Минковского

я оговорился заранее: не в гугле, а в дг... в любом случае -- это непринципиально: я дал понять, что имею ввиду

[Gortaur]

Подолью масла: читая про пространства Финслера всюду встречал употребление пространства Минковского как частного случая, где нет зависимости от точки - а не в смысле пространства с псевдонормой.