Пан-Геометрия

[Руст]

В любом случае этот термин в вашем употреблении меньше употребляется. Физики вообще не употребляют. Да и в математеке пространство Минковского понимается как в физике, смотри например Википедею.

[alcoholist]

Согласен. Но в моей науке так повелось:(

[alcoholist]

вот, статья из вашей вики... где в моем смысле употребление http://en.wikipedia.org/wiki/Finsler_manifold

[Руст]

alcoholist в сообщении #473590 писал(а):

вот, статья из вашей вики... где в моем смысле употребление http://en.wikipedia.org/wiki/Finsler_manifold

Там ни одного слова о пространствах Минковского. Есть только определение нормы Минковского, причем и оно употребляется не в том смысле как вы здесь говорили (как инвариантные относительно трансляций). Это соответствует норме касательных векторов Евклидова типа Финслеровых пространств в моем понимании.

[Kallikanzarid]

alcoholist
Руст
Вам еще не надоело?

[alcoholist]

Kallikanzarid в сообщении #473595 писал(а):

Вам еще не надоело?

надоело

[bayak]

Руст, где-то тут Вы утверждали, что псевдоевклидово пространство с сигнатурой (2,-2) не интересно для вариационного исчисления. Не могли бы пояснить свою мысль?

[Руст]

Когда в $ds^2$ появляется знаконеопределенность (и положительные и отрицательные), то существуют пути соединяющие любые две точки с нулевой длиной. Но максимума длины пути (среди измеримых) при такой сигнатуре так же не существует. Существует замкнутый измеримый путь с ненулевой длиной. Вообще вариационные методы работают только в случае Финслерова пространства, когда индикатриса $F(x,dx)=1$ (dx самостоятельная переменная а не дифференциал х) выпукло или вогнуто. Я и разделяю в соответствии с этим Финслеровы пространства на Евклидова типа и Минковского типа.

[bayak]

Руст, а где об этом можно почитать? Как-то не хочется верить, что знаконеопределенность отменяет экстремальность прямых линий.

[Руст]

bayak в сообщении #473713 писал(а):

Руст, а где об этом можно почитать? Как-то не хочется верить, что знаконеопределенность отменяет экстремальность прямых линий.

Это легко проверить (простое упражнение).

[bayak]

Руст в сообщении #473718 писал(а):

Это легко проверить (простое упражнение).

Имеется ввиду треугольник? А если все интервалы сторон треугольника одного знака (физическое условие), тогда как?

[Руст]

bayak в сообщении #473725 писал(а):

Руст в сообщении #473718 писал(а):

Это легко проверить (простое упражнение).

Имеется ввиду треугольник? А если все интервалы сторон треугольника одного знака (физическое условие), тогда как?

Что за знаки у сторон треугольника?

Давайте для простоты рассмотрим пространство куда вкладывается $ds^2=dt^2+dx^2-dy^2-dz^2$.
Любые две точки можно соединить путем нулевой длины (световыми лучами из двух кусков). Это верно и в пространстве Минковского. За счет этого можно перейти из начальной точки до другой точки, до которого расстояние положительно. Это дает замкнутые пути с положительной длиной, соответственно не может быть и максимума. Когда сигнатура только с одним плюсом, то появляется избежать такие замкнутые пути из условия, чтобы $dt$ имел постоянный знак. При нашей сигнатуре отсутствует такая упорядоченность (по росту времени), запрещающий замкнутые пути с ненулевой длиной.

[bayak]

Руст в сообщении #473731 писал(а):

Что за знаки у сторон треугольника?

Для каждой из трёх сторон треугольника выполнено условие $\Delta x^{2}>0$.

-- Пт авг 05, 2011 22:46:57 --

Руст в сообщении #473731 писал(а):

bayak в сообщении #473725 писал(а):

Руст в сообщении #473718 писал(а):

Это легко проверить (простое упражнение).

Имеется ввиду треугольник? А если все интервалы сторон треугольника одного знака (физическое условие), тогда как?

Давайте для простоты рассмотрим пространство куда вкладывается $ds^2=dt^2+dx^2-dy^2-dz^2$.
Любые две точки можно соединить путем нулевой длины (световыми лучами из двух кусков). Это верно и в пространстве Минковского. За счет этого можно перейти из начальной точки до другой точки, до которого расстояние положительно. Это дает замкнутые пути с положительной длиной, соответственно не может быть и максимума. Когда сигнатура только с одним плюсом, то появляется избежать такие замкнутые пути из условия, чтобы $dt$ имел постоянный знак. При нашей сигнатуре отсутствует такая упорядоченность (по росту времени), запрещающий замкнутые пути с ненулевой длиной.

Моё условие исключает Ваши примеры?

[Руст]

Ничего не исключает. Возьмите точки ;(0,0),(5,3),(2,1) в пространстве $ds^2=dt^2-dx^2$.

[bayak]

Руст в сообщении #473776 писал(а):

Ничего не исключает. Возьмите точки ;(0,0),(5,3),(2,1) в пространстве $ds^2=dt^2-dx^2$.

Ну как же, ни одного вектора нулевой длины и, соответственно, ни одного пути нулевой длины нет. Чего ещё не хватает для оценки вариации пути? Кстати, это условие физики называют требованием времениподобности пути.

Хотя, если подумать, то на вариацию пути должны быть наложены ещё более жёсткие ограничения - между парой точек надо разрешить только такой соединяющий их путь, который не пересекает светоподобные полуконусы с вершинами в этих точках.