Основания математики - элементарное рассмотрение

[vek88]

vek88 в сообщении #460607 писал(а):

Ведь "совокупность, мыслимая как единое целое" ничего не определяет, поскольку к математике не имеет никакого отношения.

Пардон, ошибся. Это определение Рассела (см. Википедию)

Цитата:

Множество суть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое.

А Кантор дал определение (см. Википедию)

Цитата:

Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M).

Разумеется, традиционные определения множеств натуральных, рациональных и действительных чисел согласуются с этим определением.

А вот множество всех множеств ... как-то не очень? ИМХО само определение Кантора не математическое, а скорее естественнонаучное или философское.

Наконец, традиционно используемое канторовское определение множества (см. Википедию), как

Цитата:

единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством

откровенно нарушает принятый в реальной математической практике "иерархический" принцип определения множеств, поскольку дает возможность строить разного рода "циклические" определения, приводящие, в частности, к парадоксам. По этой причине данное определение можно смело использовать лишь при соблюдении иерерхии определений множеств. В остальных случаях необходима осторожность.

[epros]

vek88 в сообщении #460838 писал(а):

Наконец, традиционно используемое канторовское определение множества (см. Википедию), как

Цитата:

единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством

откровенно нарушает принятый в реальной математической практике "иерархический" принцип определения множеств, поскольку дает возможность строить разного рода "циклические" определения, приводящие, в частности, к парадоксам.

Свойство уже имеет имя, так что проблема не в этом. А в чём? А в том, что когда мы начинаем рассматривать любое свойство как объект, у нас появляется возможность определять объекты через самих себя: "Объект, который бреет все те и только те объекты, которые не бреют себя". Если мы попытаемся сконструировать такой объект, то зациклимся на определении того, должен ли он брить себя.

[Jnrty]

vek88 в сообщении #460607 писал(а):

И кто-то здесь может дать определение множества?

Да нету никакого определения множества. Если хотите, "множество - это объект теории множеств". Только нужно помнить, что в некоторых теориях множеств есть объекты, которые множествами не являются (наиболее известные примеры: классы, атомы). Но тогда там есть средство для того, чтобы отличить множество от "не-множества". Можно рассматривать его как определение множества в данной теории.
Например, в теории множеств с классами: "множеством называется класс, который является элементом какого-нибудь класса". Но зато нет определения класса.

[vek88]

epros в сообщении #461004 писал(а):

Свойство уже имеет имя, так что проблема не в этом. А в чём? А в том, что когда мы начинаем рассматривать любое свойство как объект, у нас появляется возможность определять объекты через самих себя: "Объект, который бреет все те и только те объекты, которые не бреют себя". Если мы попытаемся сконструировать такой объект, то зациклимся на определении того, должен ли он брить себя.

Именно поэтому мы в реальной наивной математической практике ИМХО сначала определяем те или иные объекты, а уж потом говорим о множестве этих объектов. Другими словами, сначала объект - потом уже множество этих объектов.

Это не обязательно! Но это достаточное условие для того, чтобы в классической математике избежать противоречий и/или парадоксов (а в К-системах обеспечить полноту определений). Без этого мы должны будем долго и нудно, если вообще сможем, доказывать непротиворечивость наших конструкций.

Jnrty в сообщении #461037 писал(а):

Да нету никакого определения множества.

Правильно. Поэтому в реальной наивной математике мы и не замахиваемся на определение множества всех множеств ... тем более, не являющихся членами самих себя.

Итак, претендую дать ответ на мой вопрос: почему реальная математическая практика непротиворечива?

Все дело в том, что в реальной практике - не только математической - мы всегда сначала определяем объекты, а потом только говорим о множествах этих объектов.

Так что иерархия, Ватсон, иерархия.

[vek88]

Для закрепления пройденного предлагаю общественности порешать задачи, максимально приближенные к реальной математической практике.

Задача 1. Предположим мы каким-либо образом определили некие объекты и множества этих объектов. Будем говорить, что эти множества образуют универсум множеств.

Построим множество $R$ всех тех и только тех множеств универсума, которые не принадлежат себе.

Принадлежит ли множество $R$ нашему универсуму?

[vek88]

Цитата:

Все мозги разбил на части, все извилины заплел,
И канатчиковы власти колят нам второй укол

Задача 2. Пусть $U$ - произвольное множество множеств. Определим диагональное множество $D$ как множество всех тех и только тех элементов $U$, которые принадлежат сами себе.

Принадлежит ли дополнение множества $D$ множеству $U$?

[vek88]

Цитата:

К человеку с кошкой едет неотложка:
Человеку бедному мозг больной свело

Доктор едет-едет сквозь снежную равнину.
Порошок целебный людям он везет.
Человек и кошка порошок тот примут
И печаль отступит и тоска пройдет.

Задача 3. Приведите пример самосодержащего множества $A$, т.е. такого множества, которое принадлежит самому себе: $A \in A$. При этом следуйте правилу: сначала определять объекты, а потом – множества этих объектов.

[vek88]

Цитата:

Солнце село за рекой
За приемный за покой.
Отпустите, санитары,
Посмотрите, я какой!

Задача 4. Докажите что множество всех множеств не существует.

[LaTeXScience]

У меня есть мысль по поводу парадокса Рассела.
Например, разделим все числа (точки на прямой) на два класса. Число принадлежит первому классу, если следующие за ним числа одного знака. Число принадлежит второму классу, если оно не принадлежит первому. Определим число ноль как граничную точку, определяемую этим разбиением.
Таким образом, мы определили объект (число ноль) ссылаясь на множество каких-то объектов (все числа), а потом говорим, что сам этот объект принадлежит этому множеству.
Число ноль нам не кажется парадоксальным, а вот множество, которое содержит все множества, которые не содержат самого себя, - да. Вот и думайте почему.

vek88 в сообщении #461189 писал(а):

Все дело в том, что в реальной практике - не только математической - мы всегда сначала определяем объекты, а потом только говорим о множествах этих объектов.

Вот это неправда. Есть теорема о существовании корня у знакопеременной на промежутке функции. Местонахождение корня там определяется именно что разбиением промежутка (множество, которое содержит этот (корень) объект) подобному тому способу, что я описал выше, только там будет уже не знак числа, а знак значения функции в точке. Таким образом, при определении корня мы ссылаемся на промежуток, а потом говорим, что само это число принадлежит этому промежутку. Получаем "порочный круг".

[vek88]

Цитата:

Год 2000 апреля 43 числа.

Сегодняшний день - есть день величайшего торжества! В Испании есть
король. Он отыскался. Этот король я. Именно только сегодня об этом узнал я.
Признаюсь, меня вдруг как будто молнией осветило.

LaTeXScience

Вы уж очень витиевато выражаетесь:

LaTeXScience в сообщении #465955 писал(а):

vek88 в сообщении #461189 писал(а):

Все дело в том, что в реальной практике - не только математической - мы всегда сначала определяем объекты, а потом только говорим о множествах этих объектов.

Вот это неправда. Есть теорема о существовании корня у знакопеременной на промежутке функции. Местонахождение корня там определяется именно что разбиением промежутка (множество, которое содержит этот (корень) объект) подобному тому способу, что я описал выше, только там будет уже не знак числа, а знак значения функции в точке. Таким образом, при определении корня мы ссылаемся на промежуток, а потом говорим, что само это число принадлежит этому промежутку. Получаем "порочный круг".

Где же здесь порочный круг? Ведь определив числовую прямую, мы уже и все ее отрезки знаем. А дальше пожалуйста - делите какой-либо отрезок пополам и ищите корень непрерывной знакопеременной функции.

А про Ваш ноль ... чего ж там думать? Максимально запутано - да, но абсолютно прозрачно и Рассел ИМХО и близко тут не был. Это, фактически, пример Дедекиндова сечения в области вещественных чисел.

[LaTeXScience]

vek88 в сообщении #466141 писал(а):

Ведь определив числовую прямую, мы уже и все ее отрезки знаем. А дальше пожалуйста - делите какой-либо отрезок пополам и ищите корень непрерывной знакопеременной функции.

Я не говорил делить пополам. У нас есть знакопеременная на интервале функция (да, непрерывная). Все точки интервала мы делим на два класса. Точка относится к первому классу, если функция не меняет знака вправо от нее вплоть до конца интервала, и ко второму классу, если это не имеет места. Граничная точка, определяемая этим делением, и является корнем. Она сама принадлежит множеству точек интервала. Тем самым мы получили "порочный круг". Упомянутое вещественное число определяется со ссылкой на совокупность вещественных чисел (в некотором интервале), а затем само причисляется к этой совокупности.

-- 07.07.2011, 20:51 --

vek88 в сообщении #466141 писал(а):

Это, фактически, пример Дедекиндова сечения в области вещественных чисел.

Да не важно что это, главное, что мы определили (или "выделили") объект (таким образом, как я описывал выше) ссылаясь на совокупность других объектов, и потом причислили к ней данный объект. Точно так же и в парадоксе Рассела мы определяем множество $T$ ссылаясь на совокупность всех множеств (они были разделены на два рода (первый - множества, которые содержат себя, второй - множества, которые не содержат себя) и множество $T$ было образовано из множеств второго рода). После этого оно само было причислено к этой совокупности.

[vek88]

LaTeXScience в сообщении #466155 писал(а):

Я не говорил делить пополам. У нас есть знакопеременная на интервале функция (да, непрерывная). Все точки интервала мы делим на два класса. Точка относится к первому классу, если функция не меняет знака вправо от нее вплоть до конца интервала, и ко второму классу, если это не имеет места. Граничная точка, определяемая этим делением, и является корнем. Она сама принадлежит множеству точек интервала. Тем самым мы получили "порочный круг". Упомянутое вещественное число определяется со ссылкой на совокупность вещественных чисел (в некотором интервале), а затем само причисляется к этой совокупности.

Блин, вообще то я не планировал копать основания математики столь глубоко ... аж до семантики естественного языка. Однако, придется.

Итак, Вы путаете два смысла слова определить:
1. Дать определение.
2. Найти, вычислить, доказать существование среди уже известных (в смысле 1) объектов, например, среди действительных чисел.
И это две большие разницы.

Дык вот - Рассел дал определение своего множества $R$. И здесь порочный круг в том смысле, что мы нарисовали, якобы, множество всех множеств, а потом пытаемся определить множество, которого там нет.

А корень знакопеременной функции мы находим или вычисляем, или, на худой конец, доказываем его существование. При этом никакого порочного круга нет - есть четкий алгоритм вычисления с любой заданной точностью (традиционный, делением пополам, или Ваш, или ...). А все действительные числа, отрезки и множества ДЧ мы считаем уже определенными (в смысле 1) априори - до начала поиска корня (см. традиционный матан).

И, наконец. Как то нехорошо получается - я задал 4 задачи в качестве домашнего задания. А Вы делаете вид, что никакого домашнего задания не было.

Итак, советую сначала сдать зачет. Для этого решите хотя бы пару задач из четырех (это на троечку). А уж потом выступайте в нашей теме. А пока незачет.

[LaTeXScience]

vek88
Я предвидел Ваш ответ, но надеялся, что Вы сами сообразите...
Несмотря на приведенный мною выше пример с корнем, способы рассуждения, применяемые в анализе, считаются правильными, и это обосновывается, например, следующим образом. Ведь созданное число не создано вновь с помощью данного определения. Скорее оно уже дано само по себе внутри совокупности действительных чисел и только выделено из нее с помощью объяснения, ссылающегося, правда, на эту совокупность.
Однако то же самое можно сказать и относительно парадокса Рассела: множество $T$ само по себе уже дано заранее внутри совокупности всех множеств и как раз выделено из этой совокупности с помощью объяснения, ссылающегося на эту совокупность.

[vek88]

LaTeXScience в сообщении #466302 писал(а):

Ведь созданное число не создано вновь с помощью данного определения. Скорее оно уже дано само по себе внутри совокупности действительных чисел и только выделено из нее с помощью объяснения, ссылающегося, правда, на эту совокупность.

Именно это я и пытался Вам объяснить - Ваше определение нуля или корня выделяет (=находит, вычисляет, ... - смысл 2 в post466212.html#p466212) число из уже имеющейся совокупности.

LaTeXScience в сообщении #466302 писал(а):

Однако то же самое можно сказать и относительно парадокса Рассела

А вот здесь не то же самое! Именно поэтому я и пытаюсь сподвигнуть Вас на решение моих 4-х задач. И вот Вам подсказка. Имеет место

Теорема. Для всякого множества множеств $U$ существует множество $R$ такое, что $R \notin U$.

Отсюда немедленно получаем

Следствие. Множество всех множеств не существует.

А теперь заключаем, что парадоксам Кантора и Рассела пипец.

ЗЫ. Приведенная выше Теорема ИМХО согласуется с К-конструктивизмом, т.е. ИМХО является теоремой К-конструктивной теории множеств. См. стр. 132 в http://narod.ru/disk/2413304001/%D0%9A% ... .djvu.html

[vek88]

vek88 в сообщении #466367 писал(а):

А теперь заключаем, что парадоксам Кантора и Рассела пипец.

Уважаемые господа!

Прошу это мое высказывание не считать нападкой на Кантора или Рассела. Ну немножко погорячились дедушки, не более того.

А что касается Кантора ... так я здесь ИМХО единственный защитник его наивной теории множеств.

Так что? Кто еще на нас с Кантором?