2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27 ... 35  След.
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение13.04.2011, 18:06 


15/10/09
1344
Пусть $P(n)$, некоторый предикат, определенный на множестве $N$ натуральных чисел. Здесь и далее переменная $n$ принимает в качестве значения произвольное натуральное число. Далее $n|$ обозначает натуральное число, непосредственно следующее за $n$.

Принцип математической индукции формулируется так $$  (P(0) \wedge \forall n (P(n) \rightarrow P(n|))) \rightarrow \forall n P(n).$$Таким образом, если нам удалось для предиката $P(n)$ доказать два утверждения $$P(0), \forall n (P(n) \rightarrow P(n|)),$$ то этот предикат истинен для всех натуральных числел, т.е. $\forall n P(n).$

Доказательство принципа математической индукции.

1. Итак, предположим, что доказаны два утверждения $$P(0), \forall n (P(n) \rightarrow P(n|)).$$ Далее мы собираемся показать, что в этом случае предикат $P(n)$ истинен для всех натуральных числел, т.е. $\forall n (P(n).$

2. Чтобы иметь возможность рассуждать о натуральных числах, определим их в (финитной) формальной системе. Пусть для определенности это будет каноническое исчисление Поста. В этом случае натуральные числа определяются следующим образом.

Знаки: $0, |$
Переменная: $x$
Аксиома: $0$
Правило вывода: $$\frac{x}{x|}$$3. Чтобы работать в «однотипной системе», представим утверждения пункта 1 настоящего доказательства в этой же канонической системе, добавив следующие знаки, аксиому и правило.

Знаки: $P, (, )$
Аксиома: $P(0)$
Правило вывода: $$\frac{P(x)}{P(x|)}$$4. Сравним аксиому и правило пункта 3 с определением натуральных чисел пункта 2. Сразу бросается в глаза некое "подобие" правил для предиката $P$ и правил, определяющих натуральные числа. Отсюда следует, что утверждение $P(n)$ выводимо для любого натурального числа $n$. Докажем это.

Пусть $n$ натуральное число. Это значит, что существует его вывод в построенном каноническом исчислении. Возьмем в этом выводе вхождение каждого натурального числа "в скобки" $P()$. Получим вывод утверждения $P(n)$. Следовательно, $P(n)$ выводимо для любого натурального $n$. Что и требовалось доказать.

Примечание. Здесь мы пока имели обычное каноническое исчисление. Поэтому И-вывод - это просто вывод, а истинность утверждения – это просто его выводимость.

5. Осталось доказать истинность утверждения $$\forall n P(n).$$Вот здесь уже понадобится К-система, а именно, определение квантора всеобщности.

Определение квантора $\forall$ списываем со стр. 123 "Представление в ЭВМ ..." http://narod.ru/disk/2413304001/%D0%9A% ... .djvu.html, упрощая применительно к нашему случаю. Таким образом, мы строим К-систему, включая в нее ранее построенные в этом доказательстве знаки, переменные, аксиомы и правила, и добавляя

Вспомогательные знаки: $H, \forall $
Переменная типа натуральное число: $n$
Правила (определяют квантор всеобщности):
$$\frac{\ominus P(n)}{H},$$ $$\frac{\ominus H}{\forall n P(n)}.$$Поясним почему выражение $\forall n P(n)$ истинно.

Заметим, что это выражение имеет единственный вывод - применение второго из вышеприведенных правил. Этот вывод имеет в качестве исключений (по определению исключения в К-системе на стр. 122) все выводы константы $H$. Докажем, что все эти исключения являются Л-выводами. А значит сам вывод - И-вывод (и поэтому выражение с квантором истинно).

Все выводы константы $H$ являются применениями первого правила для различных натуральных чисел $n$. И каждый такой вывод является Л-выводом, поскольку имеет в качестве исключения И-вывод утверждения $P(n)$ для каждого натурального числа $n$ (соответствующие выводы построены в пункте 4 настоящего доказательства).

Доказан принцип математической индукции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение15.04.2011, 14:56 


15/10/09
1344
Есть ли еще какие-либо соображения по поводу моего вопроса
vek88 в сообщении #433755 писал(а):
Почему наша реальная математическая практика непротиворечива?
При этом обращаю внимание на ИМХО удивительный факт - ведь мы в большинстве своем, если даже и знаем, то не используем в повседневной математической деятельности ZFC или иные аксиоматизации теории множеств (а в большинстве своем мы и не знаем этих аксиоматизаций).

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение15.04.2011, 23:33 


02/05/09
580
Я очень извиняюсь, но есть необходимость публично спросить, и есть желание публично получить ответ, мне крайне любопытно обсуждение!!!, но встрять возможности нет, кто разрешит задать пару вопросов в личной переписке?

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение16.04.2011, 16:43 


15/10/09
1344
докер в сообщении #435316 писал(а):
есть необходимость публично спросить, и есть желание публично получить ответ,
Ну и спрашивайте публично - в чем проблема?

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение16.04.2011, 20:44 


02/05/09
580
Я публично хочу получить разрешение на личную переписку. Крамолу при всех озвучивать затруднительно, и в этом есть справедливость. Я не близка к математике,
но стремлюсь всеми силами. Я полагаю что именно математика очерчивает границу восприятия, и имея желание выйти за пределы, надо разбираться(мне), не куда дальше продвинутся, а где в основе математики упущения. У вас не принято полагаться на ощущения, но у меня именно ощущение чего-то сильно не хватает в основе, объема не хватает(образно говоря) как то плоско. На форуме обсуждают интуицию, но не как алгоритм более высокого порядка в сравнении с логикой, ее и алгоритмом не считают. Мне бы одного товарища для беседы хватило(но крамольного), а всех беспокоить нет нужды.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение16.04.2011, 21:32 


15/10/09
1344
докер в сообщении #435636 писал(а):
Я публично хочу получить разрешение на личную переписку. Крамолу при всех озвучивать затруднительно, и в этом есть справедливость. Я не близка к математике, но стремлюсь всеми силами. Я полагаю что именно математика очерчивает границу восприятия, и имея желание выйти за пределы, надо разбираться(мне), не куда дальше продвинутся, а где в основе математики упущения. У вас не принято полагаться на ощущения, но у меня именно ощущение чего-то сильно не хватает в основе, объема не хватает(образно говоря) как то плоско. На форуме обсуждают интуицию, но не как алгоритм более высокого порядка в сравнении с логикой, ее и алгоритмом не считают. Мне бы одного товарища для беседы хватило(но крамольного), а всех беспокоить нет нужды.
докер

Зря стесняетесь озвучивать крамолу. Как говорит Козьма Прутков
Цитата:
Не говори в походе, что слаб,
Смотри как шагает Глазенап
И, кстати, в личной переписке Вас могут побить гораздо сильнее. А в открытую - на форуме - вряд ли сильно будут бить. Если, разумеется, Вы не будете позволять себе слишком многого. Ну, например, не кладите ноги на стол, как это делаю я - мне это можно, а Вам нет.

Так что категорически советую: спрашивайте и ничего не бойтесь - ведь не корову проигрываете.

А можете вааще свою тему открыть, если сочтете нужным.

А личной перепиской ... ИМХО, сомневаюсь, что кто-то этим будет заниматься. Во всяком случае, я этого делать не буду.

С уважением,
vek88

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение16.04.2011, 22:03 


02/05/09
580
Я не стесняюсь и не боюсь, причина в другом, не зачем проламывать стены которые за спиной. Меня категорически интересует мотив с которым тот или иной выходит на форум, от этого и зависит пойдет или не пойдет человек на личную переписку, лично ваш vek88 не интерес предсказуем и нормален. Если такого парня не найдется я подожду еще, жду же почти два года на вашем форуме(только на вашем).

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение16.04.2011, 22:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
vek88 в сообщении #434390 писал(а):
4. Сравним аксиому и правило пункта 3 с определением натуральных чисел пункта 2. Сразу бросается в глаза некое "подобие" правил для предиката $P$ и правил, определяющих натуральные числа. Отсюда следует, что утверждение $P(n)$ выводимо для любого натурального числа $n$. Докажем это.

Пусть $n$ натуральное число. Это значит, что существует его вывод в построенном каноническом исчислении. Возьмем в этом выводе вхождение каждого натурального числа "в скобки" $P()$. Получим вывод утверждения $P(n)$. Следовательно, $P(n)$ выводимо для любого натурального $n$. Что и требовалось доказать.
Не получим. Вдруг при каком-нибудь $n$ будет $\neg P(n)$? Вы вспоминайте всё время множество $\mathbb N+\mathbb Z$. Правило из пункта 2 порождает всё это множество, а правило из пункта 3 - только $\mathbb N$.
И вообще, операция "возьмём в скобки" какая-то удивительная. Такой операции в математической логике нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение17.04.2011, 00:33 


02/05/09
580
Хотя с другой стороны можно и при всех. Система счисления для начала интересует. Двоичная понятно. Десятичная, есть вопрос. Если десятичная от десяти пальцев, то глядя на ладошки очевидна ось симметрии 5 и 5, счет идет от 5 до 1с одной стороны и от 1 до 5 с другой, откуда она десятичная тогда?. Десятичная смотрится как раздутая двоичная. Деление интересует, если один кирпич разделить пополам получится 0.5 кирпича, а если делится клетка(живая) получается 2 клетки. Почему когда делят, опираются на результат деления кирпичей , а не на результат деления клеток? Я двигаюсь от аналогий, полагаю что у интуиции природа аналогий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение17.04.2011, 16:28 


15/10/09
1344
Someone в сообщении #435655 писал(а):
vek88 в сообщении #434390 писал(а):
4. Сравним аксиому и правило пункта 3 с определением натуральных чисел пункта 2. Сразу бросается в глаза некое "подобие" правил для предиката $P$ и правил, определяющих натуральные числа. Отсюда следует, что утверждение $P(n)$ выводимо для любого натурального числа $n$. Докажем это.

Пусть $n$ натуральное число. Это значит, что существует его вывод в построенном каноническом исчислении. Возьмем в этом выводе вхождение каждого натурального числа "в скобки" $P()$. Получим вывод утверждения $P(n)$. Следовательно, $P(n)$ выводимо для любого натурального $n$. Что и требовалось доказать.
(1) Не получим. Вдруг при каком-нибудь $n$ будет $\neg P(n)$? (2) Вы вспоминайте всё время множество $\mathbb N+\mathbb Z$. Правило из пункта 2 порождает всё это множество, а правило из пункта 3 - только $\mathbb N$.
(3) И вообще, операция "возьмём в скобки" какая-то удивительная. Такой операции в математической логике нет.
1. А не соблаговолит ли почтенный Someone привести пример $\neg P(n)$?

2. ИМХО и пункт 2 и пункт 3, по сути, порождают одно и то же. В первом случае, цепочка $0, 0|, ..., 0|||, ...$, во втором, $P(0), P(0|), ..., P(0|||), ...$. Чем эти две цепочки принципиально различаются, я не понимаю. Причем здесь $\mathbb N+\mathbb Z$?

3. А причем здесь, математическая логика? К примеру, когда мы говорим о подобии треугольников, это что - математическая логика? В содержательном (=интуитивном, наивном) доказательстве мы имеем право использовать все, что нам понравится - лишь бы это было очевидно и понятно всем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение17.04.2011, 16:57 


15/11/09
1489
vek88 в сообщении #435895 писал(а):
В содержательном (=интуитивном, наивном) доказательстве мы имеем право использовать все, что нам понравится - лишь бы это было очевидно и понятно всем.



Интуитивно сума ряда не зависит от порядка суммирования, а вот для условно сходящихся рядов это не так. Или вот еще «обман» интуиции. Определим многомерное Булево пространство двумя способами.

Первый – элементами булевого пространства размерности N являются всевозможные последовательности из нулей и единиц длинны N.

Второй способ – пусть определенно булево пространство размерности N-1, тогда элементами булево пространство размерности N являются элементы получаемые из булевого пространства размерности N-1 сначала дописыванием ко всем элементам «0», а потом «1».

Понятно что для любого конечного N эти определения совпадают, причем можно для доказательства использовать метод индукции, однако при переходе к бесконечности мощность первого булевого пространства континуум, второго счетно. Вопрос, как корректно применить метод индукции, чтобы не получить этого противоречия?

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение17.04.2011, 17:01 


15/10/09
1344
Someone в сообщении #435655 писал(а):
И вообще, операция "возьмём в скобки" какая-то удивительная. Такой операции в математической логике нет.
EvgenyGR

Ну Вы сначала хоть посмотрите, о чем идет речь. А потом пишите.

ЗЫ. Я, конечно, понимаю, что сейчас воскресенье - и мы все расслабляемся ... кто как может. Я вот пиво допиваю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение17.04.2011, 17:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
vek88 в сообщении #435895 писал(а):
1. А не соблаговолит ли почтенный Someone привести пример $\neg P(n)$?
Да в модели $\mathbb N+\mathbb Z$ пусть $P(n)$ истинно, если $n\in\mathbb N$, и ложно, если $n\in\mathbb Z$.

Послушайте, ведь не случайно же аксиомы индукции (в бесконечном количестве!) в арифметике формулируются явно, для каждого предиката отдельно, хотя там тоже весь натуральный ряд порождается Вашим правилом. Вы хоть над этим задумайтесь.

vek88 в сообщении #435895 писал(а):
2. ИМХО и пункт 2 и пункт 3, по сути, порождают одно и то же. В первом случае, цепочка $0, 0|, ..., 0|||, ...$, во втором, $P(0), P(0|), ..., P(0|||), ...$. Чем эти две цепочки принципиально различаются, я не понимаю. Причем здесь $\mathbb N+\mathbb Z$?
При том, что это множество является моделью первого правила, но не обязано заодно быть и моделью второго только на том основании, что второе правило "похоже" на первое.

vek88 в сообщении #435895 писал(а):
А причем здесь, математическая логика?
При том, что выводы в математике делаются по законам математической логики.

vek88 в сообщении #435895 писал(а):
В содержательном (=интуитивном, наивном) доказательстве мы имеем право использовать все, что нам понравится - лишь бы это было очевидно и понятно всем.
Тогда Вы ошиблись адресом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение17.04.2011, 17:12 


15/10/09
1344
Someone в сообщении #435914 писал(а):
При том, что это множество является моделью первого правила, но не обязано заодно быть и моделью второго только на том основании, что второе правило "похоже" на первое.
Я говорю о конкретной теории в конкретной формальной системе. Причем здесь модель? ИМХО здесь моделью и не пахнет.

И вааще, Вы ведь знаете мою нелюбовь к моделям. Хотя это не должно вводить Вас в заблуждение - тяпнуть, кого-угодно за какую хотите модель - и за любое место модели - могу.

-- Вс апр 17, 2011 17:18:37 --

vek88 в сообщении #435919 писал(а):
При том, что выводы в математике делаются по законам математической логики.
И где же я нарушил законы .. математической логики, пардон?

-- Вс апр 17, 2011 17:21:09 --

Someone в сообщении #435914 писал(а):
Тогда Вы ошиблись адресом.
А это то Вы к чему сказали, при всем уважении к Вам? Это я говорю вполне серьезно - уже больше года на форуме и вижу, что Вы очень много знаете и многому я готов у Вас поучиться.

ЗЫ. Ребята, давайте жить дружно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение17.04.2011, 18:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
vek88 в сообщении #435919 писал(а):
Я говорю о конкретной теории в конкретной формальной системе. Причем здесь модель?
При том, что конкретная формальная теория обязана иметь модель, если она непротиворечива, и что построение модели - это часто кратчайший способ доказать независимость некоторого утверждения от аксиом теории. Я требуемую модель предъявил, и поэтому делаю вывод, что Ваше "доказательство" ничего не доказывает. Любите Вы модели или не любите - не имеет никакого значения.

vek88 в сообщении #435919 писал(а):
И где же я нарушил законы .. математической логики, пардон?
В математической логике нет такого правила вывода - "приписывание скобок "P(" слева и ")" справа от формулы. Такая процедура законна при построении формулы из символов алфавита, но к математической логике отношения не имеет.

vek88 в сообщении #435919 писал(а):
А это то Вы к чему сказали, при всем уважении к Вам?
К тому, что в математике нельзя использовать "всё, что нам понравится", и если Вы так думаете, как написали, то Вам надо не на математический форум, а в другое место.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 512 ]  На страницу Пред.  1 ... 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27 ... 35  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group