Премия за бесконечность

[AGu]

dmd в сообщении #448316 писал(а):

Видео опубликовали.

(1) В этом докладе Я.Сергеева нет ничего нового по сравнению с любой статьей Я.Сергеева о гросс-единице.
(2) В любой статье Я.Сергеева о гросс-единице по сути дела нет ничего нового по сравнению с тем, что было известно специалистам до опубликования статей Я.Сергеева о гросс-единице.
(3) Для специалистов теоретические изыскания Я.Сергеева о гросс-единице были и остаются тривиальными.
(4) Теоретические изыскания Я.Сергеева о гросс-единице не имеют и не могут иметь практического применения без преодоления игнорируемых Я.Сергеевым чисто теоретических препятствий.
(5) Точный (и даже более мощный) аналог запатентованного Я.Сергеевым гросс-калькулятора давно создан и выложен в Интернет в качестве бесплатной скриптовой забавы.

dmd писал(а):

Сразу могу заметить, автор неверно обозначает определенность для гроссуан в нулевой степени и ноль в гроссуановой степени - они неопределенности.

Поскольку гросс-единица является натуральным числом (пусть и бесконечно большим, но натуральным), все, что верно для любого натурального числа, верно и для гросс-единицы. В частности, нулевая степень гросс-единицы равна единице и т.п.

[Crutoy Pazan]

обратная гросс-единица есть бесконечно малая величина, с тз конечных величин она есть точно нуль, вы говорите что гросс-единица подчиняется всем законам натуральных чисел, те при умножении на ноль дает ноль, но ноль есть обратный гроссиан, и при умножении на гросс-единицу даст единицу
Противоречие

[AGu]

Crutoy Pazan в сообщении #448361 писал(а):

обратная гросс-единица есть бесконечно малая величина

Верно.

Crutoy Pazan писал(а):

с тз конечных величин она есть точно нуль

Я не знаком с точкой зрения конечных величин.
С моей точки зрения (и с точки зрения специалистов в области нестандартного анализа) она не равна нулю.

Crutoy Pazan писал(а):

вы говорите что гросс-единица подчиняется всем законам натуральных чисел

Да, говорю.

Crutoy Pazan писал(а):

те при умножении на ноль дает ноль

Верно.

Crutoy Pazan писал(а):

но ноль есть обратный гроссиан

Это не так.

Crutoy Pazan писал(а):

и при умножении на гросс-единицу даст единицу

Ноль при умножении на гросс-единицу даст ноль, а обратное число к гросс-единице при умножении на гросс-единицу даст единицу.

Crutoy Pazan писал(а):

Противоречие

Не вижу никаких противоречий.

[Crutoy Pazan]

Цитата:

Я не знаком с точкой зрения конечных величин.

арифметика относительности

Цитата:

С моей точки зрения (и с точки зрения специалистов в области нестандартного анализа) она не равна нулю.

нет равна(еще так Эйлер считал)
Вы согласны с тем, что два конечных числа называются различными, если разность между ними есть суть конечное число?
это принципиальный вопрос

[AGu]

Crutoy Pazan в сообщении #448375 писал(а):

Цитата:

Я не знаком с точкой зрения конечных величин.

арифметика относительности

Увы, мы с Гуглом не знаем, что это такое. На запрос "нестандартный анализ" Гугл выдает более 25 тысяч ссылок, а на запрос "арифметика относительности" — ноль.

Crutoy Pazan писал(а):

нет равна(еще так Эйлер считал)

Осмелюсь сказать, что Эйлера нужно уметь "правильно понимать". Это не так просто. Многие годы все математики мира не могли с этим справиться.

Crutoy Pazan писал(а):

Вы согласны с тем, что два конечных числа называются различными, если разность между ними есть суть конечное число?

Для ответа я вынужден спросить, что Вы понимаете под "конечным числом". В нестандартном анализе конечным (в более современном варианте — ограниченным, limited) действительным числом называют число, модуль которого не является бесконечно большим. Если принять это определение, то ответ на Ваш вопрос — "нет", ибо ноль — конечное число.

Я подозреваю, что под "конечным числом" Вы можете иметь в виду то, что в нестандартном анализе называется "стандартным числом". Тогда ответ на Ваш вопрос — тоже "нет", причем по той же причине: ноль — стандартное число. Но если Вашу фразу чуток изменить, то ответом станет "да": два стандартных числа различны тогда и только тогда, когда разность между ними является стандартным ненулевым числом.

[Crutoy Pazan]

Цитата:

Увы, мы с Гуглом не знаем, что это такое. На запрос "нестандартный анализ" Гугл выдает более 25 тысяч ссылок, а на запрос "арифметика относительности" — ноль.

это мое изобретение

Цитата:

Осмелюсь сказать, что Эйлера нужно уметь "правильно понимать". Это не так просто. Многие годы все математики мира не могли с этим справиться.

согласен

Цитата:

Но если Вашу фразу чуток изменить, то ответом станет "да": два стандартных числа различны тогда и только тогда, когда разность между ними является стандартным ненулевым числом.

отлично! значить ноль и обратная гросс-единица(бесконечно малая величина) неотличимы друг от друга с тз стандартных чисел?

[AGu]

Crutoy Pazan в сообщении #448388 писал(а):

отлично! значить ноль и обратная гросс-единица(бесконечно малая величина) неотличимы друг от друга с тз стандартных чисел?

Если я правильно понял вопрос, то да. Точнее говоря, разность между этими двумя вещественными числами бесконечно мала, т.е. ее модуль меньше любого строго положительного стандартного вещественного числа. Еще можно сказать, что между этими двумя вещественными числами нет ни одного стандартного. А еще можно сказать, что эти два числа хоть и различны, но имеют равные точные значения (еще говорят "стандартные значения" или "тени"). На всякий случай: точным значением ограниченного (limited) вещественного числа называется (единственное) бесконечно близкое к нему стандартное число.

[Crutoy Pazan]

ну вот, наше понимание сошлось значить, если мы стандартную единичку разделим на стандартный ноль, то получим нестандартную гросс-единицу(бесконечно большое число)
Согласны?

[Kallikanzarid]

AGu
Калькулятор понравился

[AGu]

Crutoy Pazan в сообщении #448395 писал(а):

значить, если мы стандартную единичку разделим на стандартный ноль, то получим нестандартную гросс-единицу(бесконечно большое число)
Согласны?

Разумеется, нет. Будучи математиком, я знаю, что деление на ноль традиционно считается неопределенным, поскольку попытки его определить, какими бы корректными и естественными они по началу ни казались, рано или поздно приводят к неинтуитивностям, несогласованностям и прочим несуразностям.

В этой связи я хотел бы подчеркнуть, что нестандартный анализ является консервативным расширением традиционного анализа. (Точнее говоря, нестандартная теория множеств является консервативным расширением традиционной теории множеств.) Это означает, что любое утверждение, сформулированное в традиционных терминах и доказуемое нестандартными средствами, может быть доказано и традиционными средствами (т.е. без привлечения нестандартного анализа). И это замечательно. По этой причине все математики, принимающие традиционную теорию множеств, совершенно спокойно принимают и нестандартный анализ в качестве "законного" доказательного средства. И по той же причине все, что "принято/разрешено/запрещено" в традиционной математике, остается "принимаемым/разрешаемым/запрещаемым" и в нестандартном анализе. Это относится и к делению на ноль. Ни в традиционной математике, ни в нестандартном анализе на ноль делить не принято.

Возвращаясь к Вашему вопросу, могу заметить, что если (стандартную) единицу разделить на ненулевое бесконечно малое положительное число, то получится бесконечно большое число. В частности, если единицу разделить на (ненулевое бесконечно малое положительное) число, обратное к гросс-единице, то получится (бесконечно большая) гросс-единица. И это, надеюсь, не удивительно.

[Crutoy Pazan]

Цитата:

Разумеется, нет. Будучи математиком, я знаю, что деление на ноль традиционно считается неопределенным, поскольку попытки его определить, какими бы корректными и естественными они по началу ни казались, рано или поздно приводят к неинтуитивностям, несогласованностям и прочим несуразностям.

да-с, но если очень осторожно...?

Цитата:

В этой связи я хотел бы подчеркнуть, что нестандартный анализ является консервативным расширением традиционного анализа. (Точнее говоря, нестандартная теория множеств является консервативным расширением традиционной теории множеств.) Это означает, что любое утверждение, сформулированное в традиционных терминах и доказуемое нестандартными средствами, может быть доказано и традиционными средствами (т.е. без привлечения нестандартного анализа). И это замечательно. По этой причине все математики, принимающие традиционную теорию множеств, совершенно спокойно принимают и нестандартный анализ в качестве "законного" доказательного средства. И по той же причине все, что "принято/разрешено/запрещено" в традиционной математике, остается "принимаемым/разрешаемым/запрещаемым" и в нестандартном анализе. Это относится и к делению на ноль. Ни в традиционной математике, ни в нестандартном анализе на ноль делить не принято.

согласен, но только в нестандартном анализе отрицается постулат Архимеда

Цитата:

Возвращаясь к Вашему вопросу, могу заметить, что если (стандартную) единицу разделить на ненулевое бесконечно малое положительное число, то получится бесконечно большое число. В частности, если единицу разделить на (ненулевое бесконечно малое положительное) число, обратное к гросс-единице, то получится (бесконечно большая) гросс-единица. И это, надеюсь, не удивительно.

Неудивительно, удивительно другое- бесконечно малого положительного числа на вещественной оси не существует!Оно полностью совпадает с нулем-понимаете?-число либо имеет какую-то конечную величину, либо ее вообще не имеет-переходных форм нет и быть не может
просто с тз стандартной математики с нулем работать неудобно-он не содержит никакой информации-а вот если мы отправимся в мир инфентезимальных величин, то я согласен-что они НЕ равны нулю, но вот с тз СТАНДАРТНЫХ чисел они неотличимы от нуля!-НЕОТЛИЧИМЫ-а раз неотличимы, то их можно считать нулями в соответствующих множествах-это же очевидно!У того же Ньютона было что $x+dx=x$;$dx\neq 0$

[AGu]

Crutoy Pazan в сообщении #448756 писал(а):

согласен, но только в нестандартном анализе отрицается постулат Архимеда

Еще раз: нестандартный анализ не отрицает ничего, что верно в традиционном анализе. В традиционном анализе есть принцип Архимеда $\Rightarrow$ он есть и в нестандартном анализе. Он там есть в абсолютно неизменном виде. Он нарушается лишь при «неосторожном обращении с понятиями», т.е. фактически при подмене понятий. На всякий случай поясняю. И в традиционном, и в нестандартном анализе верно следующее: для любых вещественных чисел $x,y>0$ существует такое натуральное число $n$, что $nx>y$. Но в нестандартном анализе не верно следующее: для любых вещественных чисел $x,y>0$ существует такое стандартное натуральное число $n$, что $nx>y$. Заметьте, последнее — это не принцип Архимеда, это его «искаженная» версия, в которую вторглось чужеродное слово «стандартное».

Crutoy Pazan писал(а):

бесконечно малого положительного числа на вещественной оси не существует!Оно полностью совпадает с нулем-понимаете?

Увы, нет. Если это Ваше утверждение сформулировано в рамках нестандартного анализа, то оно неверно. (Одна из основных целей нестандартного анализа — предоставить логическую базу для работы с бесконечно малыми числами, включающую, разумеется, формальное определение понятия «бесконечно малое число» и аксиомы, обеспечивающие существование таких чисел.) Если же Ваше утверждение сформулировано в рамках традиционного анализа, то оно бессмысленно, так как содержит неопределимый в традиционном анализе термин «бесконечно малое число».

Crutoy Pazan писал(а):

число либо имеет какую-то конечную величину, либо ее вообще не имеет-переходных форм нет и быть не может

Понятие «величина числа» мне не знакомо. В нестандартном анализе (как и в традиционном анализе) все понятия имеют четкие формальные определения и все используемые утверждения имеют четкие формальные записи. Ваше же утверждение не поддается формализации ни в традиционном, ни в нестандартном смысле. Его можно будет серьезно обсуждать лишь в том случае, если возникнут определения используемых в нем понятий, а само утверждение можно будет записать в формальном виде. Увы, таковы жестокие каноны современной математики.

Crutoy Pazan писал(а):

если мы отправимся в мир инфентезимальных величин, то я согласен-что они НЕ равны нулю, но вот с тз СТАНДАРТНЫХ чисел они неотличимы от нуля!-НЕОТЛИЧИМЫ

Сколь гигантские буквы Вы бы ни использовали, это не поможет превратить бессмыслицу в формальное высказывание. Фраза «с тз СТАНДАРТНЫХ чисел они неотличимы» была и остается для меня бессмыслицей. Поддающийся пониманию аналог этой бессмыслицы я уже приводил: бесконечно малые числа имеют равные точные значения. Эта фраза имеет смысл и ее формальная запись доказуема в рамках нестандартного анализа.

Crutoy Pazan писал(а):

а раз неотличимы, то их можно считать нулями в соответствующих множествах-это же очевидно!

Отступая от формализма, разумеется, можно договориться считать равным то, что равным не является, но в этом случае следует проявлять должную осторожность и при необходимости делать соответствующие оговорки. В противном случае будут неизбежно возникать «противоречия». Кстати, на одно из таких противоречий Вы сами и указали в начале нашей беседы. Посчитав равными какие-то неравные объекты, Вы с легкостью получили «противоречие», которого нет на формальном уровне.

Crutoy Pazan писал(а):

У того же Ньютона было что $x+dx=x$;$dx\neq 0$

Ньютона, как и Эйлера, нужно уметь «правильно понимать».

Похоже, мы уже достаточно сильно отклонились от темы, чтобы я мог позволить себе написать следующее...

Уважаемый Crutoy Pazan, уверяю Вас, Вам не удастся загнать меня в логическую ловушку. Вы уж простите мне мой нечаянный снобизм, но я действительно уверенно стою на ногах. Я это говорю не ради выпендрежа, а в надежде, что Вы отложите свои «наезды» (разумеется, безобидные) на нестандартный анализ до достаточно глубокого изучения его логических основ и избавите меня от вынужденной «защиты» этой науки.

[Crutoy Pazan]

Спасибо за разъяснения-но у меня возникла парочка вопросов

Цитата:

И в традиционном, и в нестандартном анализе верно следующее: для любых вещественных чисел $x,y>0$ существует такое натуральное число $n$, что $nx>y$. Но в нестандартном анализе не верно следующее: для любых вещественных чисел $x,y>0$ существует такое стандартное натуральное число $n$, что $nx>y$. Заметьте, последнее — это не принцип Архимеда, это его «искаженная» версия, в которую вторглось чужеродное слово «стандартное».

натуральное число по определению конечное, и след, в терминах нестандартного анализа, стандартное, разве эти постулаты не одно и то же?

Цитата:

Увы, таковы жестокие каноны современной математики.

да-с, интуитивно понимаю, а вот формализировать не могу

Цитата:

Поддающийся пониманию аналог этой бессмыслицы я уже приводил: бесконечно малые числа имеют равные точные значения

Вот-это ключевой момент!-ведь точные значения могут быть только стандартными числами-верно?Поэтому я и говорю, что стандартные числа "воспринимают" только стандартные, а у бесконечно малых только их точную стандартную часть-я конечно понимаю, что слово "воспринимает" относится более к философии, но все же....

Цитата:

Уважаемый Crutoy Pazan, уверяю Вас, Вам не удастся загнать меня в логическую ловушку. Вы уж простите мне мой нечаянный снобизм, но я действительно уверенно стою на ногах. Я это говорю не ради выпендрежа, а в надежде, что Вы отложите свои «наезды» (разумеется, безобидные) на нестандартный анализ до достаточно глубокого изучения его логических основ и избавите меня от вынужденной «защиты» этой науки.

просто хочется разобраться- все зависит от точки зрения(как в случае с квантово-волновым дуализмом)- само понятие "равно" НЕинвариатно , те является относительным-что такое"равно"?Вот наглядным пример-мы хотим сравнить объекты наложением, они совпали-значить равны, но это только для макромира, на микроуровне существуют такие маленькие частицы, что наш макромир их считает "нулями"
с тз макромира они равны, а вот на микроуровне они различны
Вот так и здесь

(Оффтоп)

А Вы можете мне показать, где на числовой прямой находится бесконечно малое число, которое не совпадает с нулем?

[Kallikanzarid]

Crutoy Pazan в сообщении #448827 писал(а):

просто хочется разобраться- все зависит от точки зрения(как в случае с квантово-волновым дуализмом)- само понятие "равно" НЕинвариатно

Остапа несло...

[AGu]

Crutoy Pazan в сообщении #448827 писал(а):

натуральное число по определению конечное

В нестандартном анализе это не так. Там все натуральные числа подразделяются на стандартные (или, если угодно, «конечные») и нестандартные (каждое из которых оказывается бесконечно большим, т.е. больше любого стандартного). Таким образом, среди натуральных чисел (самых что ни на есть классических натуральных чисел, понимаемых в традиционном смысле этого фундаментального понятия) есть как стандартные («конечные»), так и нестандартные.

Crutoy Pazan писал(а):

и след, в терминах нестандартного анализа, стандартное, разве эти постулаты не одно и то же?

Надеюсь, теперь Вы понимаете, что нет.

Crutoy Pazan писал(а):

Вот-это ключевой момент!-ведь точные значения могут быть только стандартными числами-верно?

Верно.

Crutoy Pazan писал(а):

Поэтому я и говорю, что стандартные числа "воспринимают" только стандартные, а у бесконечно малых только их точную стандартную часть

Мне, конечно, трудно преодолеть свою тягу к формализму, но так уж и быть, со скидкой на Вашу махровую неформальность — готов согласиться.

Crutoy Pazan писал(а):

Вот наглядным пример-мы хотим сравнить объекты наложением, они совпали-значить равны, но это только для макромира, на микроуровне существуют такие маленькие частицы, что наш макромир их считает "нулями" с тз макромира они равны, а вот на микроуровне они различны
Вот так и здесь

Пожалуй, опять-таки соглашусь (с той же скидкой). На неформальном уровне Вы всё прекрасно понимаете.

Crutoy Pazan писал(а):

А Вы можете мне показать, где на числовой прямой находится бесконечно малое число, которое не совпадает с нулем?

Увы, Вы требуете от меня невозможного. Я даже саму числовую прямую не смогу показать.