Основания математики - элементарное рассмотрение

[vek88]

Как было указано выше

vek88 в сообщении #284663 писал(а):

Полные К-системы нужны нам в качестве надежного формального аппарата построения (автоматически) непротиворечивых формальных теорий.

Разумеется, построенные теории мы можем изучать в метатеориях.

Так, например, для парадокса Рассела в К-системе очевидна (или не очевидна и требуются пояснения - что думают коллеги?) метатеорема

$$(R \in R) \leftrightarrow (R \notin R).$$

Однако нас эта теорема не пугает – она просто сигнализирует нам о неполноте построенной К-системы. Конкретно о том, что утверждение $R \in R$ - неразрешимо (ни истинно, ни ложно).

[vek88]

Шиза косит наши ряды - короче, я погряз в парадоксах. И вот какой вопрос меня заинтересовал. А кто нибудь сталкивался с описанием необходимых и/или достаточных условий возникновения парадоксов в связи с теми или иными определениями?

На основании конкретных примеров можно заключить, что для возникновения парадокса необходимо (но не достаточно в общем случае) выполнение двух условий:
1. Определение циклическое.
2. В нем используется отрицание (явно или неявно).

Идеология К-систем подтверждает это.

Кто-нибудь знает что-нибудь более конкретное в этой области?

[vek88]

Че то все молчат - темнятся. А ведь наверняка что-то кто-то где-то знает. Ну да ладно, попробую сам что-нибудь ляпнуть по поводу парадоксов. А именно, попробую поконструировать их с помощью К-систем. За основу возьму бедного Рассела ..., а лучше брадобрея - в плане структуры исключений они одинаковы.

Итак, увеличим количество брадобреев в деревне - для начала пусть их два: А и В. Далее все просто:
1. Брадобрей А бреет всех тех и только тех, кто не бреется у брадобрея В.
2. Брадобрей В бреет всех тех и только тех, кто не бреется у брадобрея А.

Задаемся вопросом бреет ли брадобрей А самого себя? Отношение $x$ бреется у $y$ обозначим $x \in y$. Тогда наш вопрос формулируется в виде: истинно или ложно $A \in A$?

В К-системе это представляется в виде

$$\frac{x \notin B}{x \in A}, \frac{x \notin A}{x \in B}.$$

А чтобы уменьшить объем писанины и сделать наглядной структуру исключений, опустим "обозначения" для $\notin$ и $\neg$:

$$\frac{\ominus(x \in B)}{x \in A}, \frac{\ominus(x \in A)}{x \in B}.$$

Понятно, что для всех остальных жителей деревни каким-то образом определено, у какого брадобрея они бреются. Вопрос в том, у кого бреются сами брадобреи. Разберемся с А. Мы видим, что для слов $A \in A, A \in B$ имеются выводы

$$P=\frac{\ominus(A \in B)}{A \in A}, Q=\frac{\ominus(A \in A)}{A \in B}.$$

По определению исключений на множестве выводов $P<Q, Q<P$. С учетом этого выводы $P,Q$ не являются ни И-выводами, ни Л-выводами. Следовательно, слова $A \in A, A \in B$ неразрешимы.

Таким образом, наше построение выводит за пределы полных К-систем. Вместе с тем, заметим, что при традиционном подходе это построение не приводит к серьезным неприятностям, получаем лишь неоднозначность интерпретации. В самом деле, здесь справделивы метатеоремы

$$A \in A \leftrightarrow \neg(A \in B),$$

$$\neg(A \in A) \leftrightarrow A \in B.$$

Соответственно, можно считать, что А бреет себя сам, а можно считать, что он бреется у В.

[vek88]

Интересный факт. Если есть единственное правило, применимое к брадобрею А, а именно правило

vek88 в сообщении #369315 писал(а):

1. Брадобрей А бреет всех тех и только тех, кто не бреется у брадобрея В.

то соответствующая К-система полна. В этом случае к А применимо только правило

$$\frac{\ominus(x \in B)}{x \in A}.$$

Соответственно, утверждение $A \in A$ имеет вывод

$$\frac{\ominus(A \in B)}{A \in A},$$

который является И-выводом, т.к. не имеет исключений (поскольку теперь нет правил для вывода слова $A \in B$). Значит, утверждение $A \in A$ истинно - брадобрей А бреется сам (никакой неоднозначности не возникает).

В то же время при традиционном рассмотрении сохраняется неоднозначность: А может бриться сам, а может бриться у В.

Таким образом, в определенном смысле идеология полных К-систем более "жестко" относится к интерпретации определений тех или иных объектов по сравнению с традиционным (неформальным) подходом.

[Лукомор]

vek88 в сообщении #369367 писал(а):

В то же время при традиционном рассмотрении сохраняется неоднозначность: А может бриться сам, а может бриться у В.

Это верно также для любого жителя деревни.
Любой житель деревни может бриться сам, либо может не бриться сам, тогда он будет бриться у брадобрея.
Возьмём ещё один крайний случай:
в деревне нет ни одного брадобрея.
Тогда часть жителей будет бриться сама, другая часть будет носить усы и бороду

vek88 в сообщении #369315 писал(а):

Итак, увеличим количество брадобреев в деревне - для начала пусть их два: А и В. Далее все просто:
1. Брадобрей А бреет всех тех и только тех, кто не бреется у брадобрея В.
2. Брадобрей В бреет всех тех и только тех, кто не бреется у брадобрея А.

ТУт всё просто: брадобрей А бреется у брадобрея В, а брадобрей В бреется у брадобрея А.
Тогда брадобрей А не бреется сам, и брадобрей В не бреется сам.
При этом брадобрей А бреет всех, кто не бреется сам, и брадобрей В бреет всех, кто не бреется сам.
Никакого противоречия в этом случае нет.

[vek88]

Лукомор

Наконец нашелся участник форума, который решился вникнуть в суть и сказать что-то дельное. И это здорово.

Что касается меня, то беру таймаут, поскольку только что закончил укладку 300 кг бетона, а он как водится не укладывался. Попозже вечером постараюсь придти в себя после бетонирования (это у меня хобби такое), прокомментировать Ваш ответ и ... пойти дальше в плане рассмотрения констукций парадоксов.

С уважением,
vek88

[vek88]

(Оффтоп)

Хотел после бетонирования отдохнуть, но не тут то было. Один из наших котов оставил отпечатки лапок на свежеуложенном бетоне. Поэтому, не откладывая на завтра, пришлось устанавливать мой любимый термос для бетона с подогревом и для защиты от наших животных, и для ускорения созревания бетона.

Так что отдохнуть как следует не удалось, но ужин в какой-то степени восстановил силы. Так что попытаюсь сказать что-то по теме.

Выскажусь по мотивам, навеянным сообщением Лукомор post369451.html#p369451.

При этом воспользуюсь старой доброй рекомендацией - пусть лучше мне не хватит времени, чем меня не поймут. Поскольку же времени мне, по всей видимости, хватит, постарюсь излагать свои сообщения предельно понятно с помощью простых примеров, подсказанных Лукомор.

Сразу подчеркну, что при рассмотрении парадоксов я не пытаюсь навязать идеологию К-систем, как единственно верную. И не призываю отказываться от традиционной классической логики. Моя цель более скромная - показать как можно "разобраться" с парадоксами элементарными средствами, хотя и с применением азов здравого смысла, теории формальных систем и классической логики.

Итак, начнем с рассмотрения примера

Лукомор в сообщении #369451 писал(а):

Возьмём ещё один крайний случай:
в деревне нет ни одного брадобрея.
Тогда часть жителей будет бриться сама, другая часть будет носить усы и бороду.

В этом случае формализовать ситуацию можно простым перечисление тех, кто бреется сам. При этом подразумевается, что в этот список включены те и только те жители деревни, которые бреются.

В формальных системах, например, в К-системе, это же можно формализовать перечисление аксиом вида "житель $i$ бреется" для всех бреющихся жителей и только для них. Здесь индекс $i$ используется для нумерации жителей. В принятых выше обозначениях эти аксиомы будут иметь вид

$$A_i \in A_i,$$

где $A_i$ обозначает $i$-го жителя деревни.

(Оффтоп)

Да простят меня коллеги за использование символа $\in$ для обозначения отношения "брейства". Просто пока не нашел ничего лучшего. To be continued.

[Лукомор]

Для vek88:
Ещё один простой пример.
На острове живёт всего один человек.
Можно ли его назвать "брадобреем" если он бреется каждое утро?
Ведь в этом случае он "бреет всех жителей острова"...

[vek88]

Лукомор в сообщении #369930 писал(а):

Для vek88:
Ещё один простой пример.
На острове живёт всего один человек.
Можно ли его назвать "брадобреем" если он бреется каждое утро?
Ведь в этом случае он "бреет всех жителей острова"...

(Оффтоп)

ИМХО этот вопрос не имеет отношения к теме - это вопрос терминологии, а мы рассматриваем математические парадоксы. И вряд ли нам нужно здесь заморачиваться на то, что обычно брадобрей - это человек, бреющий других. В математике мы творим свои определения по собственному усмотрению.

Итак, продолжим усложнять пример - пусть в деревне появился один брадобрей A, который бреет все тех и только тех, кто не бреется сам. Это значит, что в дополнение к аксиомам вида $A_i \in A_i$ появится правило

$$\frac{\ominus (x \in x)}{x \in A}.$$

Подчеркнем, что выделенная жирным шрифтом словесная формулировка эквивалентна этому правилу только при условии, что больше нет никаких других правил или аксиом, определяющих у кого бреется брадобрей А. При этом, как мы показали ранее, утверждение $A \in A$ неразрешимо в К-системе. А в классической логике мы получаем противоречие, поскольку имеет место метатеорема

$$A \in A \leftrightarrow \neg (A\in A).$$

Покажем как это правило применяется к другим жителям, отличным от брадобрея. Предположим сначала, что $A_1 \in A_1$. Тогда эта аксиома является своим собственным выводом - и это вывод буз исключений, следовательно, это И-вывод, а аксиома истинна (было бы странно, если бы это было не так, но мы стараемся подробно рассмотреть как работает аппарат К-систем). Эта аксиома будет И-исключением из вывода

$$\frac{\ominus (A_1 \in A_1)}{A_1 \in A},$$

который, следовательно, является Л-выводом. Таким образом, утверждение $A_1 \in A_1$ истинно, а утверждение $A_1 \in A$ ложно в К-системе.

А теперь, предположим, что $A_2$ сам не бреется, т.е. аксиомы $A_2 \in A_2$ нет в К-системе. Тогда вывод

$$\frac{\ominus (A_2 \in A_2)}{A_2 \in A},$$

не имеет исключений, следовательно это И-вывод. А значит утверждение $A_2 \in A$ истинно, поскольку имеет И-вывод. Т.е. $A_2$ бреется у брадобрея А.

Таким образом, применительно к другим жителям деревни все работает корректно.

Если же добавить аксиому $A \in A$, то К-система станет полной и все будет прекрасно - аксиома $A \in A$ является своим выводом без исключений, следовательно она является И-выводом, а значит эта аксиома истинна. Она же будет И-исключением из вывода

$$\frac{\ominus (A \in A)}{A \in A},$$

который, следовательно, является Л-выводом.

Однако при этом мы "разорвали связь" с исходным словесным определением который бреет все тех и только тех, кто не бреется сам, ограничив область применимости этого определения только всеми жителями деревни кроме брадобрея.

[Лукомор]

vek88 в сообщении #370115 писал(а):

Однако при этом мы "разорвали связь" с исходным словесным определением который бреет все тех и только тех, кто не бреется сам, ограничив область применимости этого определения только всеми жителями деревни кроме брадобрея.

Ну вот, начали за здравие, а кончили за упокой!
Какое исходное определение?
Определение кого?
Начать надо с определения терминов "Брить кого-либо" и "Бриться - т.е брить самого себя".
Если в процессе участвуют два человека, то "брадобрей А бреет клиента В", соответственно "Клиент В бреется у брадобрея А".
Если "С бреется сам", то он при этом никого не бреет, так как брить может только брадобрей, а С брадобреем не является.
В этом случае он также не является и клиентом брадобрея, поэтому можно сказать, что он не бреется (у брадобрея).
Таким образом "С бреется сам" означает, что С не бреет клиентов, и не бреется у брадобрея, короче никого не бреет, и ни у кого не бреется.
Исходя из этого, брадобрей, если он не носит бороду и усы, что тоже не противоречит определению,
в тот момент когда бреется, не бреет клиента, и не бреется у брадобрея. А следовательно никакого противоречия не возникает...
Вся путаница возникает из-за употребления слов брить и бриться в разных смыслах.
Брить клиента и брить себя... Бриться у брадобрея и бриться самому...
Это всё разные действия.
Назовём брадобрея - бреющим, клиента - бреемым, а того, кто бреет себя сам - бреющимся.
Тогда ваше определение будет выглядеть так:"Бреющий бреет всех бреемых, и только бреемых".
Отсюда ясно, что бреющий не может быть бреемым, а бреющийся не является ни бреющим, ни бреемым.
Но бреющий может быть или не быть бреющимся, это не противоречит определению.

[vek88]

Мы приняли определение понятия бреется

vek88 в сообщении #369315 писал(а):

Отношение $x$ бреется у $y$ обозначим $x \in y$.

ИМХО этого достаточно. В частности, если истинно утверждение $A \in A$, то значит $A$ бреется сам. А если $A \in B$, то значит $A$ бреется у $B$ (и $B$ бреет жителя $A$).

Почему Вас это не устраивает?

Или Вы хотите описать полностью реальную жизнь людей на почве бритья во всем ее многообразии и в динамике ее протекания во времени? Тогда это уже не математика, а статистика реальной жизни. Мне как-то этим заниматься не с руки.

[Лукомор]

vek88 в сообщении #370414 писал(а):

А если $A \in B$, то значит $A$ бреется у $B$ (и $B$ бреет жителя $A$).

Почему Вас это не устраивает?

Меня вполне устраивает!
Просто возникает двусмысленность:
А (бреется=бреет себя) у В.
С (бреется=бреет себя) сам.
Приехали!
А - бреет (себя у брадобрея).
В - бреет (А).
С - бреет (себя сам).
Получилось три брадобрея из трёх.
Реально брадобрей один - тот, который: В бреет А.

[vek88]

Лукомор в сообщении #370537 писал(а):

vek88 в сообщении #370414 писал(а):

А если $A \in B$, то значит $A$ бреется у $B$ (и $B$ бреет жителя $A$).

Почему Вас это не устраивает?

Меня вполне устраивает!
Просто возникает двусмысленность:
А (бреется=бреет себя) у В.
С (бреется=бреет себя) сам.
Приехали!
А - бреет (себя у брадобрея).
В - бреет (А).
С - бреет (себя сам).
Получилось три брадобрея из трёх.
Реально брадобрей один - тот, который: В бреет А.

Да уж, приехали. И ничего тут не поделаешь - таков великий и могучий естественный вообще и русский, в частности, язык. В нем всегда можно найти второй, третий и т.д. смысл.

Поэтому в дальнейшем предлагаю уйти от многозначности великого и могучего. И использовать наше отношение "брейства", которое мы обозначили через $\in$. Да и вообще, легенда о брадобрее и жителях деревни понадобилась всего лишь для оживления скушной математической сути, которая состоит в следующем.

Мы рассматриваем различные определения некоторого бинарного отношения на некотором конечном множестве объектов. Это отношение мы обозначили через $\in$. А объекты обозначаем буквами латинского алфавита, при необходимости, с индексами. При этом, если истинно утверждение $x \in y$, мы говорим, что объект $x$ находится в отношении $\in$ к объекту $y$.

И как спрашивал кто-то в фильме Man in black, так лучше?

[vek88]

Итак, мы ушли от многозначности великого и могучего. Теперь пересмотрим все сказанное выше о парадоксах, но уже без брадобреев, а в скушном математическом изложении.

Простейший способ определить наше отношение $\in$ на конечном множестве объектов - это просто перечислить пары объектов, состоящих в этом отношении. Пусть, например, имеются объекты $A,B,C,D$. Задав аксиомы

$$A \in A, B\in A, C \in D,$$

мы четко определили какие объекты с какими находятся в отношении $\in$. Разумеется, никаких парадоксов при таком способе определения отношения не возникает.

А теперь попробуем использовать для определения отношения вместо аксиом правила или условия, которым должно удовлетворять отношение. Пусть снова имеется множество 4-х объектов$A,B,C,D$. А отношение мы определяем правилом/условием $x \in A$ тогда и только тогда, когда $x \notin x$. Или, в математической записи,

$$(x \in A) \leftrightarrow (x \notin x).$$

Рассмотрим, как мы применяем это правило для определения истинности утверждения $A \in B$. Поскольку к этому утверждению наше правило/условие не применимо, естественно заключить, что это утверждение ложно. Другими словами, поскольку нам не удалось доказать его истинность, естественно считать его ложным. Соответственно, его отрицание истинно, т.е. $A \notin B$.

А вот к утверждению $A \in A$ это правило применимо в виде конкретного условия

$$(A \in A) \leftrightarrow (A \notin A).$$

И теперь попытка считать утверждение $A \in A$ истинным автоматически приводит к тому, что оно ложно, и наоборот - предположение о его ложности влечет его истинность. А это означает противоречие.

(Оффтоп)

To be continued

[vek88]

Здесь уместен небольшой методологический комментарий к только что полученному противоречию.

Удивительно, но сто лет назад противоречия подобного рода сильно напугали математиков. И вот почему. В классическом исчислении высказываний известно, что из противоречия можно вывести истинность любого высказывания. Следовательно, наличие вышеприведенного противоречия якобы подрывает основы всей математики.

Теперь мы поумнели и понимаем, что наличие противоречия может означать и нечто другое, а именно, что классическое исчисление высказываний может в определенных случаях не иметь места быть.

А что такое классическое исчисление высказываний? Это когда у нас каждое высказывание (=утверждение) либо истинно, либо ложно. Так что сегодня мы понимаем ограниченность наших возможностей по присвоению высказываниям непротиворечивых истинностных значений. Где-то мы можем назначить всем рассматриваемым утверждениям два истинностных значения: либо ИСТИНА, либо ЛОЖЬ (но не оба вместе!). А иногда мы этого сделать не можем и приходится использовать три истинностных значения: ИСТИНА, ЛОЖЬ и НЕРАЗРЕШИМО (или НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ).

Соответственно, в последнем примере приходится допустить, что классическая (=двузначная) логика не работает, а невозможность присвоить непротиворечивым образом значения ИСТИНА или ЛОЖЬ выражению $A \in A$ просто означет, что это выражение неразрешимо.