Для vek88:
Ещё один простой пример.
На острове живёт всего один человек.
Можно ли его назвать "брадобреем" если он бреется каждое утро?
Ведь в этом случае он "бреет всех жителей острова"...
(Оффтоп)
ИМХО этот вопрос не имеет отношения к теме - это вопрос терминологии, а мы рассматриваем математические парадоксы. И вряд ли нам нужно здесь заморачиваться на то, что обычно брадобрей - это человек, бреющий других. В математике мы творим свои определения по собственному усмотрению.
Итак, продолжим усложнять пример - пусть в деревне появился один брадобрей A,
который бреет все тех и только тех, кто не бреется сам. Это значит, что в дополнение к аксиомам вида

появится
правило 
Подчеркнем, что выделенная жирным шрифтом словесная формулировка эквивалентна этому правилу только при условии, что
больше нет никаких других правил или аксиом, определяющих у кого бреется брадобрей А. При этом, как мы показали ранее, утверждение

неразрешимо в К-системе. А в классической логике мы получаем
противоречие, поскольку имеет место метатеорема

Покажем как это правило применяется к другим жителям, отличным от брадобрея. Предположим сначала, что

. Тогда эта аксиома является своим собственным выводом - и это вывод буз исключений, следовательно, это И-вывод, а аксиома истинна (было бы странно, если бы это было не так, но мы стараемся подробно рассмотреть как работает аппарат К-систем). Эта аксиома будет И-исключением из вывода

который, следовательно, является Л-выводом. Таким образом, утверждение

истинно, а утверждение

ложно в К-системе.
А теперь, предположим, что

сам не бреется, т.е. аксиомы

нет в К-системе. Тогда вывод

не имеет исключений, следовательно это И-вывод. А значит утверждение

истинно, поскольку имеет И-вывод. Т.е.

бреется у брадобрея А.
Таким образом, применительно к другим жителям деревни все работает корректно.
Если же добавить аксиому

, то К-система станет полной и все будет прекрасно - аксиома

является своим выводом без исключений, следовательно она является И-выводом, а значит эта аксиома истинна. Она же будет И-исключением из вывода

который, следовательно, является Л-выводом.
Однако при этом мы "разорвали связь" с исходным словесным определением
который бреет все тех и только тех, кто не бреется сам, ограничив область применимости этого определения только всеми жителями деревни
кроме брадобрея.